Принцип наименьшего действия

При́нцип наиме́ньшего де́йствия Га́мильтона (также просто принцип Гамильтона), точнее при́нцип стациона́рности де́йствия — способ получения уравнений движения физической системы при помощи поиска стационарного (часто — экстремального, обычно, в связи со сложившейся традицией определения знака действия, наименьшего) значения специального функционала — действия. Назван в честь Уильяма Гамильтона, использовавшего этот принцип для построения так называемого гамильтонова формализма в классической механике.

Действие определяется как скалярный функционал от траектории движения физической системы, равный интегралу лагранжиана по времени $S = \int\limits_{t_1}^{t_2} L \left( \mathbf{ q }, \dot{ \mathbf{ q } }, t \right) \, \dd t$, где $\mathbf{ q }$ — вектор обобщённых координат, $\dot{ \mathbf{ q } }$ — его производная по времени $t$, $L$ — лагранжиан.

Принцип наименьшего действия означает, что его вариация равна нулю: $\var S = 0$;

История

Принцип наименьшего действия (в данном случае, быстрейшего пути) был предложен Пьером Ферма в качестве объяснения оптических явлений — отражения и преломления. В 1744 Леонард Эйлер опубликовал труд по вариационному исчислению, Пьер Луи де Мопертюи дал формулировку принципа с использованием понятия «количества движения» для света, а Леонард Эйлер распространил принцип на механику, утверждая, что траектория тела минимизирует $\int m \mathbf{ v } \dd \mathbf{ s }$.

Дальнейшее развитие и обобщение принципа провели Жозеф Луи Лагранж, Карл Густав Якоб Якоби и Уильям Роуэн Гамильтон, давший ему вид $\var S = \var \int\limits_{t_1}^{t_2} L \left( \mathbf{ q } \left( t \right), \dot{ \mathbf{ q } } \left( t \right), t \right) \dd t = 0$ и положивший этот принцип в основании своей механики.

См. также

• Действие (физическая величина)

Ссылки

• Принцип наименьшего действия в Википедии