Рациональное число

Рациона́льное число́ — число, представляемое обыкновенной дробью $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, $n$ — натуральное число. При этом число $m$ называется числителем, а число $n$ — знаменателем дроби $\frac{m}{n}$.

Множество рациональных чисел обозначается $\mathbb{Q}$ и может быть записано в виде $$\mathbb{Q} = \left\{ x\in \mathbb{R} \mid \exists m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} : x=\frac{m}{n} \right\}.$$ Множество $\mathbb{Q}$ является счётным.

Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ является полем (а именно, полем частных кольца целых чисел $\mathbb{Z}$) относительно операций сложения и умножения дробей.

Каждое рациональное число является алгебраическим.

Формальное определение

Формально рациональные числа определяются как множество классов эквивалентности пар $\left\{ (m,\;n) \mid m \in \mathbb{Z},\;n \in \mathbb{N} \right\}$ по отношению эквивалентности $(m,\;n)\sim (m',\;n')$, если $m\cdot n'=m'\cdot n$. При этом операции сложения и умножения определяются следующим образом:

• $\left(m_1,\;n_1\right) + \left(m_2,\;n_2\right) = \left(m_1\cdot n_2 + m_2\cdot n_1,\;n_1\cdot n_2\right);$
• $\left(m_1,\;n_1\right)\cdot\left(m_2,\;n_2\right) = \left(m_1\cdot m_2,\;n_1 \cdot n_2\right).$

Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, дроби 3/5, 7/8, 1/2 — правильные дроби, 8/3, 9/5 — неправильные дроби. Всякое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1. Число, записанное в виде натурального числа и правильной дроби (например, 2 3/7) называется смешанным.

Счётность множества

Докажем, что множество всех пар натуральных чисел счётно. Назовём высотой пары $\left(p, q \right)$ число $p + q$. Имеется ровно $n - 1$ пара с высотой $n \left(n > 1 \right)$, а именно $\left(1, n - 1 \right), \left(2, n - 2 \right), ..., \left(n - 1, 1 \right)$. Обозначим $P_n$ конечное множество пар высотой $n$. Очевидно, множество $P=\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}} P_n$, как объединение счётного числа конечных множеств, счётно.

Каждому положительному дробному числу взаимнооднозначно соответствует несократимая дробь $\frac{p}{q}$ и, следовательно, пара натуральных чисел $\left(p, q \right)$. Множество пар, соответствующих несократимым дробям есть подмножество множества $P$, а значит, как подмножество счётного множества является или конечным, или счётным. Подмножество рациональных чисел $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, ... \frac{1}{n}, ...$, очевидно, счётно, из чего следует, что и множество рациональных чисел счётно.

Литература

• И.Кушнир. Справочник по математике для школьников. — Киев: АСТАРТА, 1998. — 520 с.
• П.С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М.: глав. ред. физ.-мат. лит. изд. "Наука", 1977
• И.Л.Хмельницкий. Введение в теорию алгебраических систем

См. также

• Иррациональное число
• Дроби Фарея