Рациональное число

Рациона́льное число́ — число, представляемое обыкновенной дробью m n \frac{m}{n} , где m m целое число, n n натуральное число. При этом число m m называется числителем, а число n n знаменателем дроби m n \frac{m}{n} .

Множество рациональных чисел обозначается Q \mathbb{Q} и может быть записано в виде Q = { x R m Z , n N : x = m n } . \mathbb{Q} = \left\{ x\in \mathbb{R} \mid \exists m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} : x=\frac{m}{n} \right\}. Множество Q \mathbb{Q} является счётным.

Множество рациональных чисел Q \mathbb{Q} является полем (а именно, полем частных кольца целых чисел Z \mathbb{Z} ) относительно операций сложения и умножения дробей.

Каждое рациональное число является алгебраическим.

Формальное определениеEdit

Формально рациональные числа определяются как множество классов эквивалентности пар { ( m , n ) m Z , n N } \left\{ (m,\;n) \mid m \in \mathbb{Z},\;n \in \mathbb{N} \right\} по отношению эквивалентности ( m , n ) ( m , n ) (m,\;n)\sim (m',\;n') , если m n = m n m\cdot n'=m'\cdot n . При этом операции сложения и умножения определяются следующим образом:

  • ( m 1 , n 1 ) + ( m 2 , n 2 ) = ( m 1 n 2 + m 2 n 1 , n 1 n 2 ) ; \left(m_1,\;n_1\right) + \left(m_2,\;n_2\right) = \left(m_1\cdot n_2 + m_2\cdot n_1,\;n_1\cdot n_2\right);
  • ( m 1 , n 1 ) ( m 2 , n 2 ) = ( m 1 m 2 , n 1 n 2 ) . \left(m_1,\;n_1\right)\cdot\left(m_2,\;n_2\right) = \left(m_1\cdot m_2,\;n_1 \cdot n_2\right).

Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, дроби 3/5, 7/8, 1/2 — правильные дроби, 8/3, 9/5 — неправильные дроби. Всякое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1. Число, записанное в виде натурального числа и правильной дроби (например, 2 3/7) называется смешанным.

Счётность множестваEdit

Докажем, что множество всех пар натуральных чисел счётно. Назовём высотой пары ( p , q ) \left(p, q \right) число p + q p + q . Имеется ровно n 1 n - 1 пара с высотой n ( n > 1 ) n \left(n > 1 \right) , а именно ( 1 , n 1 ) , ( 2 , n 2 ) , . . . , ( n 1 , 1 ) \left(1, n - 1 \right), \left(2, n - 2 \right), ..., \left(n - 1, 1 \right) . Обозначим P n P_n конечное множество пар высотой n n . Очевидно, множество P = n N P n P=\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}} P_n , как объединение счётного числа конечных множеств, счётно.

Каждому положительному дробному числу взаимнооднозначно соответствует несократимая дробь p q \frac{p}{q} и, следовательно, пара натуральных чисел ( p , q ) \left(p, q \right) . Множество пар, соответствующих несократимым дробям есть подмножество множества P P , а значит, как подмножество счётного множества является или конечным, или счётным. Подмножество рациональных чисел 1 1 , 1 2 , 1 3 , . . . 1 n , . . . \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, ... \frac{1}{n}, ... , очевидно, счётно, из чего следует, что и множество рациональных чисел счётно.

ЛитератураEdit

  • И.Кушнир. Справочник по математике для школьников. — Киев: АСТАРТА, 1998. — 520 с.
  • П.С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М.: глав. ред. физ.-мат. лит. изд. "Наука", 1977
  • И.Л.Хмельницкий. Введение в теорию алгебраических систем

См. такжеEdit

Числа

натуральные | целые | рациональные | алгебраические | вещественные | комплексные | кватернионы | числа Кэли

иррациональные | трансцендентные


p-адические