Комплексное число

Компле́ксные чи́сла — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается $\mathbb{C}$. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма $x + iy$, где $x$ и $y$ — вещественные числа, $i$ — мнимая единица, то есть одно из чисел, удовлетворяющих уравнению $i^2=-1$. Общепринятым произношением является компле́ксное число́, хотя произношение ко́мплексное число́ также встречается.

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры.

Определения

Стандартное

Формально, комплексное число $z$ — это упорядоченная пара вещественных чисел $(x, y)$ с введёнными на них следующим образом операциями сложения и умножения:

• $(x , y) + (x' , y') = (x + x' , y + y') \,$
• $(x , y) \cdot (x' , y') = (xx' - yy' , xy' + yx'). \,$

Мнимая единица в такой системе представляется парой $i=(0,1) \,$. Поэтому ошибочно определение числа $i$ как единственного числа, удовлетворяющего уравнению $i^2=-1$, так как число $(-i)$ также удовлетворяет этому уравнению. Следует также заметить, что выражение вида $i=\sqrt{-1}$ некорректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел.

Матричное

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида $$\begin{pmatrix} x & y \\ -y & \;\; x \end{pmatrix}$$ с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \;\; 1 \end{pmatrix}$$ , мнимой единице — $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \;\; 0 \end{pmatrix}$$

все эти определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел $\mathbb{R}$, как и любые другие конструкции поля разложения многочлена x²+1

Действия над комплексными числами

• Сложение

  $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$

• Вычитание

  $(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$

• Умножение

  $(a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i$

• Деление

  $\,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,$

Связанные определения

Комплексная переменная обычно обозначается $z$. Пусть $x$ и $y$ суть вещественные числа, такие, что $z=x+iy$. Тогда

• Числа $x = \Re(z)$ или $\operatorname{Re}(z)$ и $y = \Im(z)$ или $\operatorname{Im}(z)$ называются соответственно вещественной (Real) и мнимой (Imaginary) частями $z$.
  • Если $x=0$, то $z$ называется мнимым или чисто мнимым.
• Комплексное число $\bar z=x-iy$ называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к $z$.
• Число $|z| = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{z\bar z}$ называется модулем числа $z$
• Угол $\varphi$ такой, что $\cos \varphi = x \cdot |z|^{-1}$ и $\sin \varphi = y \cdot |z|^{-1}$, называется аргументом $z$.

Представление комплексных чисел

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа $z$ в виде $x + iy$, $x,y \in \mathbb{R}$, называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел может быть вычислена непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, с учётом тождества $i^2 = -1$.

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную $x$ и мнимую $y$ части комплексного числа выразить через модуль $r=|z|$ и аргумент $\varphi$ ($x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$), то комплексное число $z$ можно записать в тригонометрической форме $$z=r(\cos\varphi+i \sin\varphi).$$ Также может быть полезна следующая форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера $$z=re^{i\varphi},$$ где $e^{i\varphi}$ - расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Геометрическое представление

Если на плоскости по оси абсцисс расположить действительную часть, а по оси ординат — мнимую, то комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами $x$ и $y$ (или её радиус-вектор, что тоже самое), а модуль и аргумент будут полярными координатами этой точки.

В геометрическом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Отсюда, в частности, получается Формула Муавра.

Формула Муавра

Формула, позволяющая возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид: $$z^n=[r(\cos \varphi +i\sin \varphi)]^n = r^n(\cos n\varphi +i\sin n\varphi),$$

где $r$ — модуль, а $\varphi$ — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 г.

Эта формула применима при вычислении корней n-ой степени из комплексного числа. $$z^{1/n}=[r(\cos (\varphi+2\pi k) +i\sin (\varphi+2\pi k))]^{1/n} =$$
$= r^{1/n}\left(\cos \frac{\varphi+2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),$
$\quad k=0,1..n-1$

Георгий Александров нашел самый общий вид формулы Муавра: $$(x+y\,i)^n=\sqrt{(x^2+y^2)^n}\bigg [\cos\bigg(\frac{n\pi}{2}-\frac{n\pi}{2}\frac{|x|}{x} +n\operatorname{arctg}{\frac{|y|}{x} } \bigg )+i \, \frac{|y|}{y}\sin\bigg(\frac{n\pi}{2}-\frac{n\pi}{2}\frac{|x|}{x} +n\operatorname{arctg}{\frac{|y|}{x}} \bigg) \bigg]$$

где x,y,n - любые действительные числа.

Сопряжённые числа

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число $z=x+iy$, то число $\bar z=x-iy$ называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к $z$ (часто обозначается также $z^*$). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком. Отметим, что сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами: $$(x+iy)+(x-iy)=2x$$ $$(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2$$ Однако, при делении двух сопряженных комплексных чисел получим число комплексное: $$\frac{x+iy}{x-iy}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+i \, \frac{2xy}{x^2+y^2}$$ В 2016 году российский математик Георгий Александров выявил, что выражение $$(x+iy)^n+(x-iy)^n$$ также является действительным числом при любой действительной степени n. Тождество Александрова: $$(x+iy)^n+(x-iy)^n=2\sqrt{(x^2+y^2)^n} \cos \left [\frac{n\pi}{2}\left (1-\frac{|x|}{x} \right )+n \cdot \operatorname{arctg}\left (\frac{|y|}{x} \right ) \right ]$$

История

Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению.

Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.

Выражения вида $a+b\sqrt{-1}$, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI-XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием»^{[Источник?]}.

Задача о выражении корней степени $n$ из данного числа была в основном решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ $i=\sqrt{-1}$ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius. Он же высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 г, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя ([[::en:Caspar Wessel|англ.]]), (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году.

Геометрическое представление комплексных чисел, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы (Аргана (фр.)), повторявшей независимо выводы Весселя.

Арифметическая теория комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837). Ему же принадлежит обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.

Функции комплексного переменного

• Гамма-функция
• Гиперболические функции
• Дзета-функция Римана
• Логарифм
• Степенная функция
• W-функция Ламберта

Обобщения

• Гиперкомплексные числа — конечномерные алгебры над полем вещественных чисел.

Сноски

• Понтрягин Л., «Комплексные числа», Квант, № 3, 1982.
• Арнольд В. И., «Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов», МЦНМО, 2002
• Простой калькулятор комплексных чисел
• CaRevol Jet — Формульный калькулятор комплексных чисел под Windows.
• Елисеев В.И., «Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного», Центр научно-технического творчества молодежи Алгоритм. - М.:, НИАТ. - 1990. Шифр Д7-90/83308