Тонкая структура

ВведениеПравить

В атомной физике тонкая структура описывает расщепление спектральных линий атомов.

Макроскопическая структура спектральных линий - это число линий и их расположение. Она определяется разницей в энергетических уровнях различных атомных орбиталей. Однако при более детальном исследовании каждая линия проявляет свою детальную тонкую структуру. Эта структура объясняется малыми взаимодействиями, которые немного сдвигают и расщепляют энергетические уровни. Их можно анализировать методами теории возмущений. Тонкая структура атома водорода на самом деле представляет собой две независимые поправки к боровским энергиям: одна из-за релятивистского движения электрона, а вторая из-за связи спин-орбита.

Релятивистские поправкиПравить

В классической теории кинетический член гамильтониана:

T = p 2 2 m T=\frac{p^{2}}{2m}

Однако, учитывая СТО, мы должны использовать релятивистское выражение для кинетической энергии,

T = p 2 c 2 + m 2 c 4 m c 2 T=\sqrt{p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}-mc^{2}

где первый член - это общая релятивистская энергия, а второй член - это энергия покоя электрона. Раскладывая это в ряд, получаем

T = p 2 2 m p 4 8 m 3 c 2 + T=\frac{p^{2}}{2m}-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}+\dots

Тогда поправка первого порядка к гамильтониану равна

H = p 4 8 m 3 c 2 H'=-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}

Используя это как возмущение, мы можем вычислить релятивистские энергетические поправки первого порядка.

E n ( 1 ) = ψ 0 | H | ψ 0 = 1 8 m 3 c 2 ψ 0 | p 4 | ψ 0 = 1 8 m 3 c 2 ψ 0 | p 2 p 2 | ψ 0 E_{n}^{(1)}=\langle\psi^{0}\vert H'\vert\psi^{0}\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{4}\vert\psi^{0}\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{0}\rangle

где ψ 0 \psi^{0} - невозмущенная волновая функция. Вспоминая невозмущенный гамильтониан, мы видим

H 0 | ψ 0 = E n | ψ 0 H^{0}\vert\psi^{0}\rangle=E_{n}\vert\psi^{0}\rangle

( p 2 2 m + U ) | ψ 0 = E n | ψ 0 \left(\frac{p^{2}}{2m}+U\right)\vert\psi^{0}\rangle=E_{n}\vert\psi^{0}\rangle

p 2 | ψ 0 = 2 m ( E n U ) | ψ 0 p^{2}\vert\psi^{0}\rangle=2m(E_{n}-U)\vert\psi^{0}\rangle

Далее мы можем использовать этот результат для вычисления релятивистской поправки:

E n ( 1 ) = 1 8 m 3 c 2 ψ 0 | p 2 p 2 | ψ 0 E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{0}\rangle

E n ( 1 ) = 1 8 m 3 c 2 ψ 0 | ( 2 m ) 2 ( E n U ) 2 | ψ 0 E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert (2m)^{2}(E_{n}-U)^{2}\vert\psi^{0}\rangle

E n ( 1 ) = 1 2 m c 2 ( E n 2 2 E n U + U 2 ) E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{2mc^{2}}(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle U\rangle +\langle U^{2}\rangle )

Для атома водорода, U = e 2 r U=\frac{e^{2}}{r} , U = e 2 a 0 n 2 \langle U\rangle=\frac{e^{2}}{a_{0}n^{2}} и U 2 = e 4 ( l + 1 / 2 ) n 3 a 0 2 \langle U^{2}\rangle=\frac{e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}} где a0 - боровский радиус, n - главное квантовое число и l - орбитальное квантовое число. Следовательно, релятивистская поправка для атома водорода равна

E n ( 1 ) = 1 2 m c 2 ( E n 2 2 E n e 2 a 0 n 2 + e 4 ( l + 1 / 2 ) n 3 a 0 2 ) = E n 2 2 m c 2 ( 4 n l + 1 / 2 3 ) E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{2mc^{2}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}\frac{e^{2}}{a_{0}n^{2}} +\frac{e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}\right)=-\frac{E_{n}^{2}}{2mc^{2}}\left(\frac{4n}{l+1/2}-3\right)

Связь спин-орбитаПравить

Поправка спин-орбита появляется, когда мы из стандартной системы отсчёта (где электрон облетает вокруг ядра) переходим в систему, где электрон покоится, а ядро облетает вокруг него. В этом случае движущееся ядро представляет собой эффективную петлю с током, которая в свою очередь создаёт магнитное поле. Однако электрон сам по себе имеет магнитный момент из-за спина. Два магнитных вектора, B \vec B и μ s \vec\mu_s сцепляются вместе так, что появляется определённая энергия, зависящая от их относительной ориентации. Так появляется энергетическая поправка вида

Δ E S O = ξ ( r ) L S \Delta E_{SO} = \xi (r)\vec L \cdot \vec S

Страница: 0

en Fine structure

ПримечанияПравить

См. такжеПравить

СсылкиПравить

ЛитератураПравить

  • Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). — Prentice Hall, 2004. — ISBN 0-13-805326-Xо книгеРегулярное выражение «ISBN» классифицировало значение «ISBN013805326X» как недопустимое.
  • Introductory Quantum Mechanics. — Addison-Wesley, 2002. — ISBN 0-8053-8714-5о книгеРегулярное выражение «ISBN» классифицировало значение «ISBN0805387145» как недопустимое.

Для статьиПравить