Уравнения Чейза-Осипова-Ланчестера

Уравне́ния Че́йза-О́сипова-Ла́нчестера, в англоязычной литературе известные как зако́ны Ла́нчестера (Lanchester's laws), а в популярной русской как уравнения Острогра́дского-Ла́нчестера; также уравне́ния дина́мики бо́я — система дифференциальных уравнений, описывающих убыль сражающихся сторон с течением времени.

Есть два вида уравнений: линейные, первого рода или честного боя, для рукопашного боя или неприцельного огня и квадратичные или второго рода, для прицельного огня, характерного для современного боя.

Эти уравнения описывают непрерывный бой. Дискретный или залповый бой описывается моделью залпового боя.

Линейные уравнения

Линейные уравнения представляют тривиальный случай: происходит размен сил, динамика потерь в котором описывается уравнением $\alpha\left(A_0 - A(t)\right) = \beta\left(B_0 - B(t)\right)$ , после которого слабейшая сторона полностью погибает, а сильнейшая уменьшается на величину, равную силе слабейшей, делённой на превосходство победителя в удельной огневой мощи: $\begin{cases}A_f = A_0 - \frac{\beta}{\alpha}B_0 \\ B_f = 0\end{cases}$ , где $A_0$ и $A_f$ — силы сильнейшей стороны в начале и конце боя, а $B_0$ и $B_f$ — силы слабейшей стороны; $\alpha$ и $\beta$ — удельная огневая мощь сторон. Если включить огневую мощь в силу сторон, то от коэффициентов $\alpha$ и $\beta$ в формулах можно избавиться: $A_0 - A(t) = B_0 - B(t)$ .

Квадратичные уравнения

Квадратичные уравнения, описывающие современный бой, основываются на предположении, что ущерб, наносимый одной стороной за единицу времени другой, пропорционален силе этой стороны: $\begin{cases}dA = - \beta B(t) dt \\ dB = - \alpha A(t) dt \end{cases}$, где $A(t)$ и $B(t)$ — силы сторон в момент $t$, а $\alpha$ и $\beta$ — их огневая мощь.

Если включить огневую мощь в силы сторон, путём умножения численности на квадратный корень удельной огневой мощи (см. ниже), то есть привести их к стандартным дивизиям, уравнения примут вид: $\begin{cases}dA = - kB(t) dt \\ dB = - kA(t) dt \end{cases}$ , где $k$ — коэффициент, определяющий действенность поражающих средств сторон.

Если принять $A_0 = A(0)$ и $B_0 = B(0)$ за силы сторон в начале боя, то аналитическое решение уравнений таково: $$\begin{cases} A(t) = A_0 \ch t \sqrt{\alpha\beta} - B_0 \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} \sh t \sqrt{\alpha\beta} \\ B(t) = B_0 \ch t \sqrt{\alpha\beta} - A_0 \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} \sh t \sqrt{\alpha\beta} \end{cases} \tag{при разной огневой мощи}$$ $$\begin{cases} A(t) = A_0 \ch kt - B_0 \sh kt \\ B(t) = B_0 \ch kt - A_0 \sh kt \end{cases} \tag{в приведённых единицах}$$

Соотношение потерь в момент $t$ в ходе боя будет подчиняться уравнениям: $$\alpha\left(A^2(t) - A^2_0\right) = \beta\left(B^2(t) - B^2_0\right) = \left(A^2_0 + B^2_0\right)\sh^2 t\sqrt{\alpha\beta} - \sqrt{\alpha\beta}A_0B_0\sh 2t\sqrt{\alpha\beta} \tag{при разной огневой мощи}$$ $$A^2(t) - A^2_0 = B^2(t) - B^2_0 = \left(A^2_0 + B^2_0\right)\sh^2 kt - kA_0B_0\sh 2kt \tag{в приведённых единицах}$$

Другими, словами, разность квадратов сил в приведённых единицах в ходе боя сохраняется: $$\begin{equation} \label{conservation} A^2(t) - B^2(t) = A^2_0 - B^2_0 \end{equation}$$

Суммарные остающиеся силы и численное преимущество побеждающей стороны в приведённых единицах будут подчиняться уравнениям: $$\begin{cases} A(t) + B(t) = e^{-kt} \left(A_0 + B_0 \right) \\ A(t) - B(t) = e^{kt} \left(A_0 - B_0 \right) \end{cases}$$

В соответствии с этими уравнениями, продолжительность боя: $$T = \frac{1}{2 \sqrt{\alpha \beta}} \ln \frac{A_0 \sqrt{\alpha} + B_0 \sqrt{\beta}}{A_0 \sqrt{\alpha} - B_0 \sqrt{\beta}} = \frac{1}{\sqrt{\alpha \beta}} \arcth \frac{A_0 \sqrt{\alpha}}{B_0 \sqrt{\beta}} \tag{при разной огневой мощи}$$ $$T = \frac{1}{2k} \ln \frac{A_0 + B_0}{A_0 - B_0} = \frac{1}{k} \arcth \frac{A_0}{B_0} \tag{в приведённых единицах}$$

Практически это означает, что:

• чем эффективнее средства поражения, тем короче будет бой,
• чем больше общая численность сражающихся, тем дольше будет бой,
• чем больше начальное превосходство сильнейшей стороны, тем короче будет бой, но зависимость продолжительности боя от отношения общей численности к начальному превосходству не линейная, а только логарифмическая.

Силы слабейшей стороны будут полностью уничтожены, а у сильнейшей останется $\frac{\alpha}{\beta}\sqrt{A_0^2 - B_0^2}$  при разной огневой мощи или $\sqrt{A_0^2 - B_0^2}$  в приведённых единицах, предполагая, что сторона $A$ сильнее, то есть $A_0^2 \alpha > B_0^2 \beta$ при разной огневой мощи или $A_0 > B_0$ в приведённых единицах. Чем больше начальное превосходство победившей стороны, тем меньшую цену ей придётся заплатить за победу. Например, при трёхкратном превосходстве потери составят всего $\frac{3 - 2\sqrt{2}}{3} \approx 5{,}71\%$.

Соотношение численности оказывает большее (линейное) влияние на исход боя, чем удельная огневая мощь (пропорционально квадратному корню).

Неаддитивность модели может служить математическим обоснованием необходимости бить врага по частям, концентрируя против каждой из них, одной за другой, все силы.

Бой с пополнениями

Если предположить, что стороны постоянно получают пополнения в количестве, соответственно, $a$ и $b$ в единицу времени, то уравнения динамики боя в приведённых единицах превращаются в: $$\begin{cases}dA = \left( - kB(t) + a \right) dt \\ dB = \left( - kA(t) + b \right) dt \end{cases}$$

При этом, остающиеся суммарные силы и численное превосходство первой стороны будет подчиняться уравнениям: $$\begin{cases} A(t) + B(t) = e^{-kt} \left( A_0 + B_0 - \frac{ a + b }{k} \right) + \frac{ a + b }{k} \\ A(t) - B(t) = e^{kt} \left( A_0 - B_0 + \frac{ a - b }{k} \right) - \frac{ a - b }{k} \end{cases}$$

Динамика сил отдельных сторон будет описываться уравнениями: $$\begin{cases} A(t) = \left( A_0 - \frac{b}{k} \right) \ch kt - \left( B_0 - \frac{a}{k} \right) \sh kt + \frac{b}{k} \\ B(t) = \left( B_0 - \frac{a}{k} \right) \ch kt - \left( A_0 - \frac{b}{k} \right) \sh kt + \frac{a}{k} \end{cases}$$

Сторона $A$ имеет шанс на победу при выполнении условия (в приведённых единицах): $$\left( A_0 - \frac{b}{k} \right) ^ 2 + \frac{a^2}{k^2} \geqslant \left( B_0 - \frac{a}{k} \right) ^ 2$$ Соответственно, сторона $B$ при условии: $$\left( B_0 - \frac{a}{k} \right) ^ 2 + \frac{b^2}{k^2} \geqslant \left( A_0 - \frac{b}{k} \right) ^ 2$$

Эти условия могут быть истинными или ложными независимо друг от друга. Если выполняется только одно, оно предрешает победу одной из двух сторон. Если не выполняется ни одно, бой продлится вечно, поскольку прибывающие пополнения не будут успевать истребляться. Если выполняются оба условия, то уничтожена будет та сторона, численность сил которой снизится до нуля первой.

Оценка соотношения огневой мощи

Учитывая сохранение разности квадратов приведённых сил в ходе боя $\eqref{conservation}$, можно выполнить формальную оценку соотношения огневой мощи участников сражения $r = \frac{ \alpha }{ \beta }$, если известны силы сторон на его начало $A_0$ и $B_0$, конец $A_1$ и $B_1$ и потери $\Delta A = A_1 - A_0$ и $\Delta B = B_1 - B_0$: $$\begin{equation*} \alpha \left( A_0^2 - A_1^2 \right) = \beta \left( B_0^2 - B_1^2 \right) , \end{equation*}$$

откуда: $$\begin{equation*} r = \frac{ \alpha }{ \beta } = \frac{ B_0^2 - B_1^2 }{A _0^2 - A_1^2 } = \frac{ \left( B_0 + B_1 \right) \left( B_1 - B_0 \right) }{ \left( A_0 + A_1 \right) \left( A_1 - A_0 \right) } = \frac{ \Delta B \left( 2 B_0 - \Delta B \right) }{ \Delta A \left( 2 A_0 - \Delta A \right) } \end{equation*}$$

История

Впервые уравнения были опубликованы Чейзом в 1902 применительно к морскому бою. В 1915 некто под псевдонимом «штабс-капитан Осипов», вероятно, генерал Корпуса военных топографов Русской императорской армии Михаил Павлович Осипов, опубликовал уравнения второго рода, а в 1916 Фредерик Уильям Ланчестер предложил уравнения первого рода для моделирования воздушного боя.

Ссылки

• "Lanchester Systems and the Lanchester Laws of Combat". everything2.com. Retrieved 2012-1-5. 
• Уравнения Остроградского-Ланчестера в ФИГШ
• Вентцель Е.С. Глава 9 // Введение в исследование операций. — М.: Советское радио, 1964.^{о книге}