Экспонента

$\exp(x)=e^x$, где e ~ 2.7

Экспонента — функция $\exp(x)=e^x$, где e — основание натуральных логарифмов.

Определение

Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например через ряд Тейлора:

$e^x=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$

или через предел:

$e^x=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{x}{n})^n$

Здесь x — любое вещественное или комплексное.

Свойства

• $(e^x)'=e^x$, в частности
• Экспонента является единственным решением дифференциального уравнения $y'=y$ с начальными данными $y(0)=1$. Кроме того через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.
• Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и строго больше нуля.
• Экспонента является выпуклой функцией.
• Обратная функция к ней — натуральный логарифм $\ln~a$.
• Производная в нуле равна 1, поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом 45°.
• Основное функциональное свойство экспоненты:

  $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$.

  • Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна 0, либо имеет вид $\exp(ct)$, где c — некоторая константа.

Экспонента от комплексного аргумента

От комплексного аргумента $z=x+iy$ экспонента определяется следующим образом: $$e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x(\cos y + i\sin y)$$(формула Эйлера)

В частности, $$e^{i\pi}=-1$$

Вариации и обобщения

Аналогично экспонента может быть определена для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.

Матричная экспонента

Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд: $$\exp A=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!}$$

Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора $A$с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы $A$: $\exp \|A\|$. Следовательно, экспонента от матрицы $A \in \Bbb{R}^{n\times n}$ всегда определена и сама является матрицей.

С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение $\dot x=Ax$, $x\in \mathbb R^n$ с начальным условием $x(0)=x_0$ имеет своим решением $x(t)=\exp (At) x_0$.

См. также

• Экспонента комплексного переменного (обобщение)
• Показательная функция