Традиция

Электромагнитное поле цилиндра

В электродинамике, электромагнитное поле цилиндра рассматривается как поле одного из самых простых геометрических тел. Решения для компонент электромагнитного поля для случаев неподвижного и вращающегося цилиндра ненамного сложнее, чем соответствующие решения для шара.

При вращении однородно заряженного цилиндра с постоянной угловой скоростью поле стационарно и не зависит от времени. В этом случае для электрического скалярного потенциала   φ ~ \varphi и для векторного потенциала   A ~ \mathbf A из уравнений Максвелла следуют уравнения:   Δ φ = − γ ρ 0 q ε 0 , ( 1 ) ~ \Delta \varphi = -\frac {\gamma \rho_{0q}}{\varepsilon_0 }, \qquad (1)   Δ A = − γ ρ 0 q ε 0 c 2 v , ( 2 ) ~ \Delta \mathbf A = -\frac {\gamma \rho_{0q}}{\varepsilon_0 c^2} \mathbf v, \qquad (2)

где   Δ ~ \Delta есть оператор Лапласа;   γ ~ \gamma – фактор Лоренца;   ρ 0 q ~ \rho_{0q} – инвариантная плотность заряда вещества цилиндра;   ε 0 ~ \varepsilon_0 – электрическая постоянная;   c ~ c – скорость света;   v ~ \mathbf v – линейная скорость вращения произвольной точки, взятой в объёме цилиндра.

Длинный неподвижный цилиндрПравить

В неподвижном цилиндре фактор Лоренца заряженных частиц вещества равен   γ = 1 ~ \gamma =1 , если не учитывать собственное хаотическое движение этих частиц. Лапласиан в (1) удобно выразить в цилиндрических координатах   ρ   , ϕ   , z ~ \rho \ , \phi \ , z . В достаточно длинном цилиндре можно пренебречь краевыми эффектами, существенными вблизи торцов цилиндра, и считать, что поле в основном зависит лишь от координаты   ρ ~ \rho . В таком приближении внутри цилиндра электрический потенциал и напряжённость электрического поля равны: [1]   φ i = − ρ 0 q ρ 2 4 ε 0 + ρ 0 q 2 ε 0 [ L L 2 + 4 a 2 4 + a 2 Arsh L 2 a − L 2 4 ] , ~ \varphi_i = - \frac { \rho_{0q}\rho^2 }{4\varepsilon_0 }+ \frac { \rho_{0q} }{2 \varepsilon_0 } \left[ \frac {L \sqrt {L^2+4 a^2} }{4} + a^2 \operatorname{Arsh} { \frac {L}{2a} } - \frac {L^2}{4} \right ],   E i = ρ 0 q ρ 2 ε 0 e ρ , ~ \mathbf E_i = \frac { \rho_{0q} \rho }{2\varepsilon_0 } \mathbf e_\rho ,

где   L ~ L есть длина цилиндра,   a ~ a – радиус цилиндра,   e ρ ~ \mathbf e_\rho – единичный вектор, направленный вдоль цилиндрической координаты   ρ ~ \rho .

Как видно, потенциал внутри цилиндра зависит от его длины   L ~ L логарифмически, вследствие присутствия ареасинуса   Arsh L 2 a ~ \operatorname{Arsh} { \frac {L}{2a} } . Внутреннее электрическое поле   E i ~ \mathbf E_i вдалеке от торцов цилиндра при   z << L / 2 ~ z < < L/2 направлено перпендикулярно оси вращения и равно нулю на оси вращения, где   ρ = 0 ~ \rho =0 .

Соответствующий внешний электрический потенциал и напряжённость электрического поля за пределами длинного цилиндра имеют следующий вид:   φ o = − ρ 0 q a 2 2 ε 0 ln  Натуральный логарифм  ρ a − ρ 0 q a 2 4 ε 0 + ρ 0 q 2 ε 0 [ L L 2 + 4 a 2 4 + a 2 Arsh L 2 a − L 2 4 ] , ~ \varphi_o = - \frac { \rho_{0q} a^2 }{2\varepsilon_0 } \ln \frac {\rho}{a} - \frac { \rho_{0q} a^2 }{4\varepsilon_0 }+ \frac { \rho_{0q} }{2 \varepsilon_0 } \left[ \frac {L \sqrt {L^2+4 a^2} }{4} + a^2 \operatorname{Arsh} { \frac {L}{2a} } - \frac {L^2}{4} \right ],   E o = ρ 0 q a 2 2 ε 0 ρ e ρ . ~ \mathbf E_o = \frac { \rho_{0q} a^2 }{2\varepsilon_0 \rho } \mathbf e_\rho .

Указанные выше формулы требуют коррекции вблизи торцов цилиндра, так как здесь электрический потенциал и напряжённость поля становятся функциями не только от   ρ ~ \rho , но и от   z ~ z .

Длинный вращающийся цилиндрПравить

При вращении цилиндра с постоянной угловой скоростью   ω ~ \omega фактор Лоренца заряженных частиц вещества становится функцией   ρ ~ \rho :   γ = 1 1 − v 2 / c 2 = 1 1 − ω 2 ρ 2 / c 2 . ~ \gamma = \frac {1}{ \sqrt {1-v^2/c^2} }= \frac {1}{ \sqrt {1- \omega^2 \rho^2/c^2} } .

С учётом этого решением уравнения (1) для скалярного потенциала, а также для напряжённости поля внутри вращающегося однородно заряженного цилиндра вдалеке от торцов цилиндра будет следующее: [1]   φ i = c 2 ρ 0 q ε 0 ω 2 [ 1 − ω 2 ρ 2 / c 2 − ln  Натуральный логарифм  ( 1 + 1 − ω 2 ρ 2 / c 2 ) − 1 + ln  Натуральный логарифм  2 ] + ρ 0 q 2 ε 0 [ L L 2 + 4 a 2 4 + a 2 Arsh L 2 a − L 2 4 ] , ~ \varphi_i = \frac { c^2 \rho_{0q} }{\varepsilon_0 \omega^2 } \left[ \sqrt {1- \omega^2 \rho^2/c^2} - \ln \left (1+\sqrt {1- \omega^2 \rho^2/c^2} \right ) -1 + \ln 2 \right ] + \frac { \rho_{0q} }{2 \varepsilon_0 } \left[ \frac {L \sqrt {L^2+4 a^2} }{4} + a^2 \operatorname{Arsh} { \frac {L}{2a} } - \frac {L^2}{4} \right ],   E i = ρ 0 q ρ ε 0 ( 1 + 1 − ω 2 ρ 2 / c 2 ) e ρ . ~ \mathbf E_i = \frac { \rho_{0q} \rho }{\varepsilon_0 \left (1+\sqrt {1- \omega^2 \rho^2/c^2} \right ) } \mathbf e_\rho .

За пределами длинного вращающегося цилиндра скалярный потенциал и напряжённость электрического поля выражаются формулами:   φ o = − ρ 0 q a 2 2 ε 0 ln  Натуральный логарифм  ρ a + c 2 ρ 0 q ε 0 ω 2 [ 1 − ω 2 ρ 2 / c 2 − ln  Натуральный логарифм  ( 1 + 1 − ω 2 ρ 2 / c 2 ) − 1 + ln  Натуральный логарифм  2 ] + ρ 0 q 2 ε 0 [ L L 2 + 4 a 2 4 + a 2 Arsh L 2 a − L 2 4 ] , ~ \varphi_o = -\frac { \rho_{0q} a^2 }{2\varepsilon_0 } \ln \frac {\rho}{a} + \frac { c^2 \rho_{0q} }{\varepsilon_0 \omega^2 } \left[ \sqrt {1- \omega^2 \rho^2/c^2} - \ln \left (1+\sqrt {1- \omega^2 \rho^2/c^2} \right ) -1 + \ln 2 \right ] + \frac { \rho_{0q} }{2 \varepsilon_0 } \left[ \frac {L \sqrt {L^2+4 a^2} }{4} + a^2 \operatorname{Arsh} { \frac {L}{2a} } - \frac {L^2}{4} \right ],   E o = ρ 0 q a 2 2 ε 0 ρ e ρ . ~ \mathbf E_o = \frac { \rho_{0q} a^2 }{2\varepsilon_0 \rho } \mathbf e_\rho .

Векторный потенциал и магнитное полеПравить

Вращение заряженного вещества цилиндра приводит к возникновению векторного потенциала   A ~ \mathbf A и индукции магнитного поля   B ~ \mathbf B . Для этих величин внутри цилиндра вдалеке от торцов цилиндра как следствие (2) получается следующее:   A i = ρ 0 q ε 0 [ c 2 3 ω 3 ρ − c 2 3 ω 3 ρ ( 1 − ω 2 ρ 2 / c 2 ) 3 / 2 − ρ 2 ω + ω ρ 4 c 2 ( L L 2 4 + a 2 − L 2 2 ) ] e ϕ , ~ \mathbf A_i = \frac {\rho_{0q}}{\varepsilon_0}\left [ \frac {c^2 }{3 \omega^3 \rho} - \frac {c^2 }{3 \omega^3 \rho} \left( 1- \omega^2 \rho^2/c^2 \right)^{3/2} - \frac {\rho }{2\omega } + \frac {\omega \rho }{4 c^2} \left( L \sqrt { \frac {L^2}{4} +a^2 } - \frac {L^2}{2} \right) \right] \mathbf e_\phi,   B i = ρ 0 q ε 0 [ 1 ω 1 − ω 2 ρ 2 / c 2 − 1 ω + ω 2 c 2 ( L L 2 4 + a 2 − L 2 2 ) ] e z , ~ \mathbf B_i =\frac {\rho_{0q}}{\varepsilon_0}\left [ \frac {1 }{ \omega} \sqrt {1- \omega^2 \rho^2/c^2} - \frac { 1}{\omega } + \frac {\omega }{2 c^2} \left( L \sqrt { \frac {L^2}{4} +a^2 } - \frac {L^2}{2} \right) \right] \mathbf e_z ,

где   e ϕ ~ \mathbf e_\phi – единичный вектор, направленный вдоль цилиндрической координаты   ϕ ~ \phi ,   e z ~ \mathbf e_z – единичный вектор, направленный вдоль цилиндрической координаты   z ~ z . Как видно, внутренний векторный потенциал вращается вокруг оси вращения цилиндра. Что касается магнитного поля, то оно направлено вдоль оси вращения, вдоль которой отсчитывается координата   z ~ z . При этом магнитное поле максимально на самой оси и стремится к нулю вблизи поверхности цилиндра.

Внешний векторный потенциал и магнитное поле длинного цилиндра определяются формулами:   A o = ρ 0 q ε 0 ρ [ c 2 3 ω 3 − c 2 3 ω 3 ( 1 − ω 2 a 2 / c 2 ) 3 / 2 − a 2 2 ω + ω a 2 4 c 2 ( L L 2 4 + a 2 − L 2 2 ) ] e ϕ , ~ \mathbf A_o = \frac {\rho_{0q}}{\varepsilon_0 \rho }\left [ \frac {c^2 }{3 \omega^3 } - \frac {c^2 }{3 \omega^3 } \left( 1- \omega^2 a^2/c^2 \right)^{3/2} - \frac {a^2 }{2\omega } + \frac {\omega a^2 }{4 c^2} \left( L \sqrt { \frac {L^2}{4} +a^2 } - \frac {L^2}{2} \right) \right] \mathbf e_\phi,   B o = ∇ × A o ≈ 0 . ~ \mathbf B_o = \nabla \times \mathbf A_o \approx 0 .

Данные формулы являются достаточно точными недалеко от центра длинного цилиндра. Однако по мере приближения к торцам цилиндра следует учесть то, что в формулах для векторного потенциала и магнитного поля появляются существенные добавки вследствие зависимости от координаты   z ~ z . Для бесконечно длинного цилиндра вышеприведённые формулы можно использовать без ограничений.

Теорема Федосина позволяет точно вычислять магнитное поле на оси вращения заряженных вращающихся тел. В частности, магнитное поле внутри цилиндра зависит от   z ~ z :[2]   B z ( 0 ⩽ z ⩽ L / 2 ) = μ 0 ω ρ 0 q 2 [ ( L 2 + z ) ( L 2 + z ) 2 + a 2 − ( L 2 + z ) 2 ] + μ 0 ω ρ 0 q 2 [ ( L 2 − z ) ( L 2 − z ) 2 + a 2 − ( L 2 − z ) 2 ] . ~B_z(0 \le z \le L/2) = \frac {\mu_0 \omega \rho_{0q}}{2}\left [ \left (\frac {L}{2}+z \right ) \sqrt { \left ( \frac {L}{2} +z \right )^2 + a^2 } - \left ( \frac {L}{2} +z \right )^2 \right ] + \frac {\mu_0 \omega \rho_{0q}}{2}\left [ \left (\frac {L}{2} - z \right ) \sqrt { \left ( \frac {L}{2} - z \right )^2 + a^2 } - \left ( \frac {L}{2} - z \right )^2 \right ] .

В центре цилиндра при   z = 0 ~ z=0 магнитное поле равно:   B z ( z = 0 ) = μ 0 ω ρ 0 q 2 ( L L 2 4 + a 2 − L 2 2 ) ≈ μ 0 ω ρ 0 q a 2 2 . ~B_z(z =0) = \frac {\mu_0 \omega \rho_{0q}}{2} \left ( L \sqrt { \frac {L^2}{4} +a^2} - \frac {L^2}{2} \right ) \approx \frac {\mu_0 \omega \rho_{0q} a^2}{2} .

Если брать точки на оси вращения за пределами цилиндра, то там магнитное поле имеет вид:   B z ( z ⩾ L / 2 ) = μ 0 ω ρ 0 q 2 [ ( z + L 2 ) ( z + L 2 ) 2 + a 2 − ( z − L 2 ) ( z − L 2 ) 2 + a 2 + ( z − L 2 ) 2 − ( z + L 2 ) 2 ] ≈ μ 0 ω ρ 0 q a 4 L 8 z 3 . ~B_z(z \ge L/2) = \frac {\mu_0 \omega \rho_{0q}}{2}\left [ \left (z + \frac {L}{2} \right ) \sqrt {\left (z + \frac {L}{2} \right )^2 + a^2 } - \left (z - \frac {L}{2} \right ) \sqrt { \left (z - \frac {L}{2} \right )^2 + a^2 } + \left (z - \frac {L}{2} \right )^2 - \left (z + \frac {L}{2} \right )^2 \right ] \approx \frac {\mu_0 \omega \rho_{0q} a^4 L}{8 z^3}.

На торце цилиндра при   z = L / 2 ~ z = L/2 получается   B z ( z = L / 2 ) = μ 0 ω ρ 0 q 2 ( L L 2 + a 2 − L 2 ) ≈ μ 0 ω ρ 0 q a 2 4 . ~B_z(z = L/2) = \frac {\mu_0 \omega \rho_{0q}}{2} \left ( L \sqrt {L^2 + a^2} - L^2 \right ) \approx \frac {\mu_0 \omega \rho_{0q} a^2}{4}.

В результате магнитное поле в центре почти в два раза больше, чем на торце цилиндра на оси вращения. Такое различие показывает степень влияния краевых эффектов и необходимость учёта в (2) зависимости векторного потенциала от координаты   z ~ z вблизи торцов цилиндра.

СсылкиПравить

  1. ↑ а б Sergey G. Fedosin. The Electromagnetic Field of a Rotating Relativistic Uniform System. Chapter 2 in the book: Horizons in World Physics. Volume 306. Edited by Albert Reimer, New York, Nova Science Publishers Inc, pp. 53-128 (2021), ISBN: 978-1-68507-077-9, 978-1-68507-088-5 (e-book). https://doi.org/10.52305/RSRF2992. // Электромагнитное поле вращающейся релятивистской однородной системы.
  2. ↑ Fedosin S.G. The Theorem on the Magnetic Field of Rotating Charged Bodies. Progress In Electromagnetics Research M, Vol. 103, pp. 115-127 (2021). http://dx.doi.org/10.2528/PIERM21041203. ArXiv 2107.07418. Bibcode 2021arXiv210707418F. // Теорема о магнитном поле вращающихся заряженных тел.

См. такжеПравить

Внешние ссылкиПравить

Источник — https://traditio.wiki/w/index.php?title=Электромагнитное_поле_цилиндра&oldid=764745