Теорема энергии поля

Теорема энергии поля, называемая также интегральная теорема энергии поля или теорема Федосина, задаёт в ковариантном четырёхмерном виде в искривлённом пространстве-времени связь между компонентами энергии любого векторного поля, имеющего соответствующий 4-потенциал и тензор данного поля. Согласно данной теореме, интегральный тензорный инвариант энергии поля в произвольном объёме системы может быть определён через энергию частиц в 4-потенциале поля в данном объёме, через производную по времени от интеграла по объёму от произведения 4-потенциала и тензора поля, и через интеграл по поверхности данного объёма от произведения 4-потенциала и тензора поля.

Для электромагнитного (гравитационного) поля с помощью теоремы становится возможным ввести понятия кинетической и потенциальной энергий поля и связать их друг с другом в случае стационарной системы простым численным коэффициентом. В отличие от теоремы вириала, где кинетическая энергия частиц системы по абсолютной величине в два раза меньше потенциальной энергии системы, согласно теореме энергии поля кинетическая энергия электромагнитного (гравитационного) поля по абсолютной величине в два раза превышает всю потенциальную энергию поля. Это позволяет объяснить, почему электростатическая энергия системы заряженных частиц может быть найдена двумя на первый взгляд никак не связанными между собой путями — либо с использованием скалярного потенциала поля, либо с помощью интеграла по всему объёму от тензорного инварианта, являющегося частью тензора энергии-импульса электромагнитного поля.

Теорема энергии поля была доказана Федосиным в 2018 г. и опубликована в 2019 г. Теорема может быть применена к таким векторным полям, как поле ускорений, поле давления, гравитационное поле, электромагнитное поле, поле диссипации, общее поле. и т. д. Как правило, в реальных системах одновременно присутствует сразу несколько полей. В предположении, что действует условие суперпозиции полей и независимость полей друг от друга, теорема может применяться к каждому векторному полю по отдельности. Проверка теоремы для идеальной релятивистской однородной системы, содержащей не вращающиеся и хаотически движущиеся частицы, показывает полное совпадение во всех значащих членах для каждого поля.

Электромагнитное поле

Интегральная теорема поля имеет следующий вид: $$~ - \int {(2 \mu_0 A_\alpha j^\alpha + F_{\alpha \beta} F^{\alpha \beta} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 } = \frac {2}{c} \frac {d}{dt} \left( \int { A^\alpha F_\alpha ^{\ 0} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3} \right) + 2 \iint \limits_S {A^\alpha F_\alpha ^{\ k} n_k \sqrt {-g} dS} , \qquad (1)$$

где $~ \mu_0$ есть магнитная постоянная; $~ A_\alpha$ — электромагнитный 4-потенциал; $~ j^\alpha$ — электромагнитный 4-ток; $~ F_{\alpha \beta}$ — тензор электромагнитного поля; $~ \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3$ — элемент инвариантного объёма, выражаемый через произведение $~ dx^1 dx^2 dx^3$ дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень $~\sqrt {-g}$ из детерминанта $~g$ метрического тензора, взятого с отрицательным знаком; $~ c$ — скорость света; последний интеграл в правой части есть поверхностный интеграл второго рода по двумерной поверхности $~ S$, окружающей рассматриваемый объём; $~ n_k$ — трёхмерный вектор нормали к поверхности $~ S$, направленный наружу.

Равенство (1) существенно упрощается в том случае, когда электромагнитное поле рассматривается не просто в ограниченном объёме, а сразу во всём бесконечном объёме, выходящем за пределы замкнутой физической системы. Тогда последний интеграл в правой части (1) обнуляется несмотря на бесконечную величину окружающей поверхности $~ S$, так как вдали от зарядов системы, на бесконечности, равны нулю и 4-потенциал $~ A^\alpha$, и тензор поля $~ F_\alpha ^{\ k}$.

Как правило, в электростатике, а также в релятивистской однородной системе, произведение $~ A^\alpha F_\alpha ^{\ 0}$ равно нулю, так что обнуляется и первый интеграл в правой части (1). В этом случае в (1) остаётся следующее: $$~ \int {(2 \mu_0 A_\alpha j^\alpha + F_{\alpha \beta} F^{\alpha \beta} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 } = 0 . \qquad (2)$$

Если обозначить $$~ E_{kf} = \int {A_\alpha j^\alpha \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 },$$ $$~ W_f = \frac {1}{4 \mu_0 } \int { F_{\alpha \beta} F^{\alpha \beta} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 },$$

то (2) переписывается так: $$~ E_{kf} + 2 W_f =0 . \qquad (3)$$ Здесь энергию $~ E_{kf}$ можно считать кинетической энергией поля, связанной с 4-током $~ j^\alpha$. При этом энергию $~ W_f$ следует рассматривать как потенциальную энергию поля, находимую через компоненты электромагнитного тензора, то есть через напряжённость электрического поля и индукцию магнитного поля.

Можно заметить, что (3) с точностью до численного коэффициента напоминает теорему вириала в виде $$~ E_k + \frac {1}{2 } W \approx 0 ,$$ где $~ E_k$ есть кинетическая энергия частиц системы, $~ W$ обозначает потенциальную энергию системы.

В теории векторных полей вклад зарядов и электромагнитного поля в релятивистскую энергию физической системы задаётся выражением: $$~E_{el} = \frac {1}{c} \int { \rho_{0q} \varphi u^0 \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3} + \frac {1}{4 \mu_0} \int { F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3},$$

где $~ \rho_{0q}$ есть плотность заряда элемента вещества в сопутствующей ему системе отсчёта, $~ \varphi$ — скалярный потенциал в месте нахождения элемента заряженного вещества, $~ u^0$ — временная компонента 4-скорости элемента вещества.

Пусть для физической системы выполняется соотношение (2), причём глобальный векторный потенциал электромагнитного поля везде в веществе равен нулю либо таков, что не делает вклада в энергию $~ E_{kf}$. Тогда с учётом (3) будет: $$~E_{el} = E_{kf} + W_f = - W_f = \frac {1}{2}E_{kf}. \qquad (4)$$

В данном случае видно, что суммарная электромагнитная энергия частиц и поля может быть найдена двумя различными путями — либо через энергию $~ W_f$, либо через энергию $~ E_{kf}$. В электростатике энергия $~ W_f$ выражается через напряжённость электрического поля и определяется временной компонентой тензора энергии-импульса электромагнитного поля, а энергия $~ E_{kf}$ зависит лишь от распределения скалярного потенциала поля и 4-тока.

Гравитационное поле

Интегральная теорема для гравитационного поля записывается так: $$~ - \int { \left( - \frac {8 \pi G}{c^2} D_\alpha J^\alpha + \Phi_{\alpha \beta} \Phi^{\alpha \beta} \right) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 } = \frac {2}{c} \frac {d}{dt} \left( \int { D^\alpha \Phi_\alpha ^{\ 0} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3} \right) + 2 \iint \limits_S {D^\alpha \Phi_\alpha ^{\ k} n_k \sqrt {-g} dS} ,$$

где $~ G$ есть гравитационная постоянная; $~ D_\alpha$ — гравитационный 4-потенциал; $~ J^\alpha$ — массовый 4-ток; $~ \Phi_{\alpha \beta}$ — тензор гравитационного поля.

Все выводы, сделанные в отношении электромагнитного поля, остаются в силе и для гравитационного поля. Например, в системе с неподвижными массами и в релятивистской однородной системе будет справедливо соотношение: $$~ \int { \left( - \frac {8 \pi G}{c^2} D_\alpha J^\alpha + \Phi_{\alpha \beta} \Phi^{\alpha \beta} \right) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 } =0 .$$

Выражения для кинетической и потенциальной энергии гравитационного поля: $$~ E_{kf} = \int {D_\alpha J^\alpha \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 }.$$ $$~ W_f = - \frac { c^2}{16 \pi G } \int { F_{\alpha \beta} F^{\alpha \beta} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 }.$$

Вклад частиц и гравитационного поля в энергию физической системы имеет вид: $$~E_{gr} = \frac {1}{c} \int { \rho_0 \psi u^0 \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3} - \frac { c^2}{16 \pi G } \int { \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3},$$

где $~ \rho_0$ есть плотность массы элемента вещества в сопутствующей ему системе отсчёта, $~ \psi$ — гравитационный скалярный потенциал в месте нахождения элемента вещества.

Если векторный потенциал гравитационного поля не вносит свой вклад в энергию системы, то снова выполняется равенство типа (4), уже в отношении энергии $~E_{gr}$ гравитационного поля.

Поле ускорений и поле давления

Для  поля ускорений и поля давления интегральная теорема энергии полей записывается следующим образом: $$~ - \int { \left( \frac {8 \pi \eta }{c^2} U_\alpha J^\alpha + u_{\alpha \beta} u^{\alpha \beta} \right) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 } = \frac {2}{c} \frac {d}{dt} \left( \int { U^\alpha u_\alpha ^{\ 0} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3} \right) + 2 \iint \limits_S {U^\alpha u_\alpha ^{\ k} n_k \sqrt {-g} dS} ,$$ $$~ - \int { \left( \frac {8 \pi \sigma }{c^2} \pi_\alpha J^\alpha + f_{\alpha \beta} f^{\alpha \beta} \right) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 } = \frac {2}{c} \frac {d}{dt} \left( \int { \pi^\alpha f_\alpha ^{\ 0} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3} \right) + 2 \iint \limits_S {\pi^\alpha f_\alpha ^{\ k} n_k \sqrt {-g} dS} ,$$

где $~ \eta$ есть постоянная поля ускорений; $~ U_\alpha$ — 4-потенциал поля ускорений; $~ u_{\alpha \beta}$ — тензор ускорений; $~ \sigma$ — постоянная поля давления; $~ \pi_\alpha$ — 4-потенциал поля давления; $~ f_{\alpha \beta}$ — тензор поля давления.

Особенностью поля ускорений и поля давления является то, что эти поля действуют только в пределах вещества системы. Поэтому поверхностные интегралы в правой части выражений для энергии поля берутся по внешней поверхности того объёма, в котором присутствует вещество.

Значение теоремы

Значение теоремы заключается в том, что она позволяет во многих случаях существенно облегчить вычисление релятивистской энергии системы. По своему смыслу теорема энергии поля описывает связи между компонентами энергии полей и тем самым отличается от теоремы вириала, связанной с компонентами энергии частиц.

Теорема даёт возможность дополнительно связать между собой и разграничить роль 4-потенциалов, тензоров полей и тензоров энергии-импульса в теории векторных полей. Известно например, что уравнение движения частиц системы может быть записано через любые из этих величин, причём временная компонента уравнения движения представляет собой обобщённую теорему Пойнтинга.

Уравнение для метрики при соответствующей калибровке может быть выражено лишь через тензоры энергии-импульса полей, так же как и четырёхмерный интегральный вектор, описывающий энергию полей системы и задающий вектор потока этой энергии. Однако интегральный вектор не является настоящим 4-вектором, и хотя он сохраняется в замкнутых системах, он не может заменить собой 4-импульс физической системы.

С другой стороны, тензоры энергии-импульса полей полностью отсутствуют в лагранжиане, в гамильтониане, в энергии, в импульсе, в 4-импульсе и в обобщённом 4-импульсе системы. Это означает, что плотности энергии полей и трёхмерные векторы потоков энергии полей типа вектора Пойнтинга, содержащиеся в тензорах энергии-импульса, не позволяют вычислить ни обобщённый 4-импульс, ни 4-импульс системы. Для этого необходимо использовать 4-потенциалы и тензоры полей.

См. также

Теорема вириала Теорема о равнораспределении Уравнение векторного поля Релятивистская однородная система Электромагнитное поле

Гравитационное поле Поле ускорений Поле давления Общее поле Теорема Федосина

Внешние ссылки

• Field_energy_theorem