Преобразование Фурье

Преобразование Фурье — математическая операция, сопоставляющая некой функции вещественной переменной — другую функцию (также вещественной переменной). Новая функция включает весовые коэффициенты («амплитуды»), формирующиеся в процессе преобразования исходной функции — к виду суммы гармонических колебаний с определёнными частотами.

Преобразование Фурье функции $f$ вещественной переменной является интегральным преобразованием и задается следующей формулой: $$\hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\omega}\,dx.$$

Отметим, что разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведенного выбором коэффициента перед интегралом, а также знака «-» в показателе экспоненты. Все свойства в этом случае будут аналогичны, хотя вид каких-то формул может измениться.

Кроме этого, существуют разнообразные обобщения этого понятия, которые будут приведены ниже.

Определения, основные свойства

Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса $L_1(\R)$, преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций, и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:

• Преобразование Фурье является линейным оператором:

$$\widehat{(\alpha f+\beta g)}=\alpha\hat{f}+\beta\hat{g}.$$

• Справедливо равенство Парсеваля: если $f\in L_1(\R)\cap L_2(\R)$, то преобразование Фурье сохраняет $L_2$-норму:

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2\,dx=\int\limits_{-\infty}^{\infty}|{\hat f(w)}|^2\,dw.$$ Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство $L_2(\R)$. Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех $f\in L_2(\R)$.

• Формула обращения:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(w)e^{ix\omega}\,dw$$ справедлива, если интеграл в правой части имеет смысл. В частности, это верно, если функция $f$ является достаточно гладкой. Если $f\in L_2(\R)$, то формула также верна, поскольку равенство Парсеваля позволяет придать интегралу в правой части смысл с помощью предельного перехода.

Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний $e^{i\omega x}$ с частотами $\omega$, амплитудами $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}|f(\omega)|$ и фазовыми сдвигами $\arg f(\omega)$ соответственно.

• Теорема о свертке: если $f,\;g\in L_1(\R)$, тогда

$$\widehat{(f\ast g)}=\sqrt{2\pi}\widehat{f}\widehat{g},$$ где $$(f\ast g)(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t-s)g(s)\,ds.$$ Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.

• Преобразование Фурье и дифференцирование. Если $f,\;f'\in L_1(\R)$, то

$$\widehat{(f')}=i\omega\widehat{f}.$$ Из этой формулы легко выводится формула для $n$-й производной: $$\widehat{(f^{(n)})}=(i\omega)^n\widehat{f}.$$ Формулы верны и в случае обобщённых функций.

• Преобразование Фурье и сдвиг.

$$\widehat{f(x-x_0)}=e^{-i\omega x_0}\hat{f}(w).$$ Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта-функций $\delta(x-x_0)$, а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.

• Преобразование Фурье и растяжение.

$$\widehat{f(ax)}=|a|^{-1}\hat{f}(w/a).$$

• Преобразование Фурье обобщённых функций. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца):

$$S(\mathbb{R}):=\{\varphi\in C^{\infty}(R):\forall n,\;m\in\N\;x^nf^{(m)}(x)\xrightarrow{x\to\pm\infty}0\}.$$ Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.

Теперь определим его двойственное пространство $S^*(\R)$. Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции $f\in S^*(\R)$ её преобразованием Фурье называется обобщённая функция $\hat{f}\in S^*(\R)$, действующая на основные функции по правилу $$\langle\hat{f},\;\varphi\rangle=\langle f,\;\hat{\varphi}\rangle.$$ Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции: $$\langle\hat{\delta},\;\varphi\rangle=\langle\delta,\;\hat{\varphi}\rangle=\left\langle\delta,\;\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)e^{-i\omega x}\,dx\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\cdot 1\,dx=\left\langle\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\;\varphi\right\rangle.$$ Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$.

Применения преобразования Фурье

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятности, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других. (В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды.) Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

• Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, также являются унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля или, в более общем случае как теорема Планшереля, или в наиболее общем как дуализм Понтрягина).
• Преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.
• Синусоидальные базисные функции являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо.)
• По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свёртки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.
• Дискретная версия преобразования Фурье может быстро рассчитываться на компьютерах, используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, англ. FFT).

Разновидности преобразования Фурье

Многомерное преобразование Фурье

Преобразование Фурье функций, заданных на пространстве $\R^n$, определяется формулой $$\hat{f}(\omega)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int\limits_{\R^n}f(x)e^{-ix\cdot\omega}\,dx.$$ Здесь $\omega$ и $x$ — векторы пространства $\R^n$, $x\cdot\omega$ — их скалярное произведение. Обратное преобразование в этом случае задается формулой $$f(x)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int\limits_{\R^n}\hat{f}(\omega)e^{ix\cdot\omega}\,d\omega.$$ Эта формула может быть интерпретирована как разложение функции $f$ в линейную комбинацию (суперпозицию) «плоских волн» вида $e^{ix\cdot\omega}$ с амплитудами $\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}|\hat{f}(\omega)|$, частотами $\omega$ и фазовыми сдвигами $\arg\hat{f}(\omega)$ соответственно. Как и прежде, в разных источниках определения многомерного преобразования Фурье могут отличаться выбором константы перед интегралом.

Замечание относительно области задания преобразования Фурье и его основные свойства остаются справедливыми и в многомерном случае, со следующими уточнениями:

• Взятие частных производных под действием преобразования Фурье превращается в умножение на одноимённую координату:

$$\widehat{\frac{\partial f}{\partial x_k}}=i\omega_k\hat{f}(\omega).$$

• Изменяется константа в теореме о свёртке:

$$\widehat{(f\ast g)}=(2\pi)^{n/2}\hat{f}\hat{g}.$$

• Преобразование Фурье и сжатие координат:

$$\widehat{\left(f\left(\frac{x}{|a|}\right)\right)}=|a|^n\hat{f}(\omega|a|).$$

• Более общо, если $A:\R^n\to\R^n$ — обратимый линейный оператор, то

$$\widehat{\left(f(Ax)\right)}=|\det(A)|^{-1}\hat{f}(A^{-1}\omega).$$

Ряды Фурье

Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для $2\pi$-периодических функций и представляют собой разложение таких функций в (бесконечную) линейную комбинацию гармонических колебаний с целыми частотами: $$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}_n\,e^{inx}.$$ Разложение в ряд Фурье применимо также к функциям, заданным на ограниченных промежутках, поскольку такие функции могут быть периодически продолжены на всю прямую.

Ряд Фурье является частным случаем преобразования Фурье, если последнее понимать в смысле обобщённых функций. Для любой $2\pi$-периодической функции имеем $$\hat{f}(\omega)=\sqrt{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}_n\delta(\omega-n).$$ Иными словами, преобразование Фурье периодической функции представляет собой сумму точечных нагрузок в целых точках, и равно нулю вне их.

Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Используется в цифровой обработке сигналов и в других ситуациях, где необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших чисел.

Пусть $x_0,\;x_1,\;\ldots,\;x_{n-1}$ — последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен $f(t)=x_0+x_1t+x_2t^2+\ldots+x_{n-1}t^{n-1}$. Выберем какие-нибудь $n$ точек на комплексной плоскости $z_0,\;z_1,\;\ldots,\;z_{n-1}$. Теперь многочлену $f(t)$ мы можем сопоставить новый набор из $n$ чисел: $f_0:=f(z_0),\;f_1:=f(z_1),\;\ldots,\;f_{n-1}:=f(z_{n-1})$. Заметим, что это преобразование обратимо: для любого набора чисел $f_0,\;f_1,\;\ldots,\;f_{n-1}$ существует единственный многочлен $f(t)$ степени не выше $n-1$ с такими значениями в $z_0,\;\ldots,\;z_{n-1}$ соответственно(см. Интерполяция).

Набор $\{f_k\}$ и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора $\{x_k\}$. В качестве точек $z_k$ обычно выбирают корни $n$-й степени из единицы: $$z_k=e^\frac{2\pi ik}{n}.$$ Такой выбор продиктован тем, что в этом случае обратное преобразование принимает простую форму, а также тем, что вычисление преобразования Фурье может быть выполнено особенно быстро. Так, в то время как вычисление свёртки двух последовательностей длины $n$ напрямую требует порядка $n^2$ операций, переход к их преобразованию Фурье и обратно по быстрому алгоритму может быть выполнен за $O(n\log n)$ операций. Для преобразований Фурье свёртке соответствует покомпонентное умножение, которое требует лишь порядка $n$ операций.

Оконное преобразование Фурье

$$F(t,\;\omega)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau)W(\tau-t)e^{-i\omega\tau}\,d\tau,$$ где $F(t,\;\omega)$ даёт (вообще говоря несколько искажённое) распределение частот части оригинального сигнала $f(t)$ в окрестности времени $t$.

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье, так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию $W$, эта функция должна иметь хорошо локализованный спектр.

Другие варианты

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором $x_k$ определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально сжатых абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в ее дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина для обобщённых обоснований преобразования Фурье.

Интерпретация в терминах времени и частоты

В терминах обработки сигналов, преобразование берёт представление функции сигнала в виде временны́х рядов и отображает его в частотный спектр, где $\omega$ — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

Когда функция $f$ является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции $F$ представляет амплитуды соответствующих частот ($\omega$), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.

Однако важно осознавать, что преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.

Таблица важных преобразований Фурье

Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье $F(\omega)$ и $G(\omega)$ обозначают фурье компоненты функций $f(t)$ и $g(t)$, соответственно. $f$ и $g$ должны быть интегрируемыми функциями или обобщёнными функциями.

Помните, что соотношения в этой таблице и в особенности множители такие как $\sqrt{2\pi}$, зависят от соглашения, какая форма определения для Фурье преобразования использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения, конечно, правильны).

	Функция	Образ	Примечания
1	$af(t)+bg(t)\,$	$aF(\omega)+bG(\omega)\,$	Линейность
2	$f(t-a)\,$	$e^{-i\omega a}F(\omega)\,$	Запаздывание
3	$e^{iat}f(t)\,$	$F(\omega-a)\,$	Частотный сдвиг
4	$f(at)\,$	$|a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)\,$	Если $a$ большое, то $f(at)$ сосредоточена около 0 и $|a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)$ становится плоским
5	$\frac{d^n f(t)}{dt^n}\,$	$(i\omega)^n F(\omega)\,$	Свойство преобразования Фурье от $n$-й производной
6	$t^n f(t)\,$	$i^n\frac{d^n F(\omega)}{d\omega^n}\,$	Это обращение правила 5
7	$(f*g)(t)\,$	$\sqrt{2\pi}F(\omega)G(\omega)\,$	Запись $f*g$ означает свёртку $f$ и $g$. Это правило — теорема о свёртке
8	$f(t)g(t)\,$	$\frac{(F*G)(\omega)}{\sqrt{2\pi}}\,$	Это обращение 7
9	$\delta(t)\,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,$	$\delta(t)$ означает дельта-функцию Дирака
10	$1\,$	$\sqrt{2\pi}\delta(\omega)\,$	Обращение 9.
11	$t^n\,$	$i^n\sqrt{2\pi}\delta^{(n)}(\omega)\,$	Здесь, $n$ — натуральное число, $\delta^n(\omega)$ — $n$-я обобщённая производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 6 и 10. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов
12	$e^{iat}\,$	$\sqrt{2\pi}\delta(\omega-a)\,$	Следствие 3 и 10
13	$\cos(at)\,$	$\sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)}{2}\,$	Следствие 1 и 12 с использованием формулы Эйлера $\cos(at)=\frac{1}{2}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)\,$
14	$\sin(at)\,$	$\sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)-\delta(\omega+a)}{2i}\,$	Также из 1 и 12
15	$\exp(-at^2)\,$	$\frac{1}{\sqrt{2a}}\exp\left(\frac{-\omega^2}{4a}\right)\,$	Показывает, что функция Гаусса $\exp(-t^2/2)$ совпадает со своим изображением
16	$W\sqrt{\frac{2}{\pi}}\mathrm{sinc}(Wt)\,$	$\mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2W}\right)\,$	Прямоугольная функция — идеальный фильтр низких частот и функция sinc(x) — её временной эквивалент
17	$\frac{1}{t}\,$	$-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\,$	Здесь $\sgn(\omega)\,$ — sign функция. Это правило согласуется с 6 и 10
18	$\frac{1}{t^n}\,$	$-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)\,$	Обобщение 17
19	$\sgn(t)\,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}}(i\omega)^{-1}\,$	Обращение 17
20	$\sqrt{2\pi}\mathrm{H}(t)\,$	$\frac{1}{i\omega}+\pi\delta(\omega)\,$	Здесь $\mathrm{H}(t)\,$ — функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 19

Литература

• Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — Спб: Питер, 2006. — С. 751. — ISBN 5-469-00816-9^{о книге}

• М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов Спектральные преобразования в MatLab. — СПб: 2007. — С. 160. — ISBN 978-5-98340-121-1^{о книге}

См. также

• Численно-теоретические преобразования
• Преобразование Лапласа
• Ортогональные функции
• Ряд Фурье
• Дискретное преобразование Фурье
• Дискретное преобразование Фурье над конечным полем
• Быстрое преобразование Фурье
• Оконное преобразование Фурье
• Вейвлет
• Чирплет

Ссылки

• Интегральные преобразования — EqWorld: Мир математических уравнений
• Online Computation of the transform or inverse transform, wims.unice.fr

• Визуализация преобразования Фурье // 2015
• http://ru.yasno.tv/article/math/48-preobrazovaniye-furie-kulinariya-v-pomoshch