Гравитационное красное смещение

В физике, гравитационное красное смещение является проявлением эффекта изменения частоты света по мере удаления от массивных объектов, таких как звезды и черные дыры; оно наблюдаетя как сдвиг спектральных линий в красную область спектра.

Свет, приходящий из областей с более слабым гравитационным полем, испытывает гравитационное фиолетовое смещение.

Этот эффект не ограничиватся исключительно электромагнитным излучением, а проявляется во всех периодических процессах, и таким образом, связан с более общим гравитационным замедлением времени.

Определение

Красное смещение принято обозначать символом z.

$z=\frac{\lambda_o-\lambda_e}{\lambda_e}$

где:

$\lambda_e$ — длина волны фотона, измеренная в точке излучения. $\lambda_o$ — длина волны фотона, измеряемая удаленным наблюдателем.

Гравитационное красное смещение, или покраснение света, в общей теории относительности приблизительно равно:

$z_{approx}=\frac{GM}{c^2r}$

где:

$z_{approx}$ — смещение спектральных линий под влиянием гравитации, измеряемое удаленным наблюдателем, $G$ — гравитационная постоянная Ньютона, $M$ — масса гравитирующего тела, $c$ — скорость света, $r$ — радиальное расстояние от центра тела.

История

Ослабление энергии света, излучаемого звездами с сильной гравитацией, было предсказано Джоном Митчеллом еще в 1783 году, на основе корпускулярного представления о свете, которого придерживался Исаак Ньютон. Влияние гравитации на свет исследовали в свое время Пьер-Симон Лаплас и Иоганн Георг ван Зольднер (1801) задолго до того, как Альберт Эйнштейн в статье 1911 года о свете и гравитации вывел свой вариант формулы для этого эффекта.

Филипп Ленард обвинил Эйнштейна в плагиате за то, что он не процитировал более раннюю работу Зольднера — однако, принимая во внимание, настолько эта тема была забыта и заброшена до того момента, как Эйнштейн вернул её к жизни, практически не подлежит сомнению, что Эйнштейн не был знаком с предыдущими работами. В любом случае, Эйнштейн пошел намного дальше своих предшественников и показал, что ключевым следствием из гравитационного красного смещения является гравитационное замедление времени. Это была очень оригинальная и революционная идея. Эйнштейн впервые предположил, что потерю энергии фотоном при переходе в область с более высоким гравитационным потенциалом можно объяснить через разность хода времени в точках приема и передачи сигнала. Энергия кванта электромагнитного излучения пропорциональна его частоте согласно знаменитой формуле Эйнштейна $E = \hbar \omega$, где $\hbar$ - постоянная Планка. Таким образом, если время для приёмника и передатчика течет с разной скоростью, наблюдаемая частота излучения, а вместе с ней и энергия отдельных квантов, тоже будет различной для приёмника и передатчика.

Важные моменты

• Для наблюдения гравитационного красного смещения приёмник должен находиться в месте с более высоким гравитационным потенциалом, чем источник.

• Существование гравитационного красного смещения подтверждается многочисленными экспериментами, которые год от года проводятся в различных универсистетах и лабораториях по всему миру.

• Гравитационное красное смещение предсказывается не только в теории относительности. Другие теории гравитации тоже предсказывают гравитационное красное смещение, хотя объяснения могут отличаться.

• Гравитационное красное смещение проявляется, но не ограничивается Шварцшильдовским решением уравнений общей теории относительности — при этом масса $M$, указанная ранее, может быть массой вращающегося или заряженного тела.

Экспериментальное подтверждение

Эксперимент Паунда-Ребке 1969 года продемонстрировал существование гравитационного красного смещения спектральных линий. Эксперимент был осуществлен в Лаймановской лаборатории физики Гарвардского университета.

Применение

Гравитационное красное смещение активно применяется в астрофизике.

Связь с замедлением времени

Гравитационное замедление времени — физическое явление, заключающееся в изменении темпа хода часов в гравитационном потенциале. Основная сложность в восприятии этого обстоятельства состоит в том, что в теориях гравитации временная координата обычно не совпадет с физическим временем, измеряемым стандартными атомными часами.

При использовании формул эффекта Доплера в специальной теории относительности для расчета изменения энергии и частоты (при условии, что мы пренебрегаем эффектами зависимости от траектории, вызванными, например, увлечением пространства вокруг вращающейся черной дыры), гравитационное красное смещение в точности обратно величине фиолетового смещения. Таким образом, наблюдаемое изменение частоты соответствует относительному замедлению хода часов в точке приема и передачи. Однако метод расчета гравитационного красного смещения через замедление времени становится слишком громоздким, если учитывать эффекты увлечения пространства, которые делают величину смещения зависящей от траектории распространения света.

В то время как гравитационное красное смещение измеряет наблюдаемый эффект, гравитационное замедление времени говорит, что можно заключить на основании результатов наблюдения.

Эвристический вывод гравитационного красного смещения из метрических свойств пространства-времени

Ускоренная лаборатория, состоящая из источника пуль и приёмника

Гравитационное красное смещение можно получить, используя закон сложения скоростей .

Рассмотрим установку, состоящую из источника сигнала (к примеру, пуль) и приёмника. Расстояние между ними, измеренное в неподвижной системе отсчёта, обозначим $~l$. При этом установка двигается в пустоте с постоянным ускорением $\vec{a}$ относительно неподвижной системы отсчёта, что, согласно принципу эквивалентности, равнозначно помещению установки в однородное гравитационное поле.

Далее, поместим в приёмник и источник одинаковые часы $~\tau_{out} = \tau_{in}$, и попросим наблюдателя, который находится в точке «приёмника», сравнить их ход. Своё собственное время $~\tau_{in}$ он измерит непосредственно, а чтобы измерить ход времени в точке «источника», он будет измерять частоту приходящего сигнала. Скорость пули относительно «источника» обозначим как $~w$, скорость самого источника в момент посылки сигнала $~v.$ Тогда, пользуясь законом сложения скоростей, получаем скорость пули $~u$ в неподвижной системе: $$u = \frac{w+v}{1+ wv / c^2} = \frac{c^2 (w+v)}{c^2 + wv}. \qquad (1)$$

На преодоление расстояния $~l$ сигнал затратит время $~t,$ а приемник за это время сместится на $~vt + at^2 / 2.$ Отсюда получаем уравнение: $$~ut = l + vt + at^2 / 2,$$

решив которое относительно $~t,$ получим: $$t = \frac{u-v}{a} \cdot \left [ 1 \pm \left (1- \frac{2al}{(u-v)^2} \right) ^{-1/2} \right]$$

или приближённо: $$t = \frac{u-v}{a} \cdot \left [ 1 \pm \left (1 + \frac{la}{(u-v)^2} + \cdots \right) \right].$$

Таким образом, приходим к двум решениям: $$t_1= - \frac{l}{u-v}, \qquad t_2= 2 \frac{u-v}{a}+ \frac{l}{u-v}.$$ Очевидно, что первое решение в данном случае — лишнее.

Подставим $u$ из формулы (1) в формулу для $~t$ и при этом ограничимся $~w$ и $~v$ столь малыми, чтобы мы могли отбросить малые члены порядка $~w^2$ и $~v^2:$ $$t = \frac{l(c^2 + wv)}{wc^2}= l \left( \frac{1}{w} + \frac{v}{c^2} \right).$$

Скорость установки за время $~\tau$, разделяющее посылку двух последовательных сигналов, увеличится на $~a \tau$ и станет равной $~v+a \tau$. Поэтому разница во времени прохождения двух последовательных сигналов составит: $$\Delta t = \Delta \tau = l \left( \frac{1}{w} + \frac{v+a \tau_0}{c^2} \right) - l \left( \frac{1}{w} + \frac{v}{c^2} \right) = \frac{a l \tau_0}{c^2}$$

и в итоге $$\frac{ \Delta \tau}{ \tau_0} = \frac{al}{c^2} \Longleftrightarrow \tau_1 = \tau_0 \left(1+ \frac{al}{c^2} \right).$$

Изменениями $~l$ и $~ \tau$ (функции скорости) мы пренебрегли, как величинами соответствующего порядка малости. «…Итак, часы идут медленнее, если они установлены вблизи весомых масс. Отсюда следует, что спектральные линии света, попадающего к нам с поверхности больших звёзд, должны сместиться к красному концу спектра», писал Эйнштейн .

Для частоты получим: $$\frac{ \Delta \nu}{ \nu_0} = \frac{al}{c^2} \Longleftrightarrow \nu_1 = \nu_0 \left(1- \frac{al}{c^2} \right).$$

Обозначив гравитационный потенциал как $~ \Phi = - al,$ получим: $$\tau_1 = \tau_0 \left(1- \frac{ \Phi}{c^2} \right); \qquad \nu_1 = \nu_0 \left(1+ \frac{ \Phi}{c^2} \right).$$

Эти выражения были выведены Эйнштейном в 1907 году для случая $~ \Phi / c^2 \ll 1$ .

Объяснение

Для статического гравитационного поля, гравитационное красное смещение можно полностью объяснить разностью темпа хода времени в точках с различным гравитационным потенциалом.

Процитируем Вольфганга Паули: «В случае статического гравитационного поля всегда можно так выбрать временную координату, чтобы величины g_ik от неё не зависели. Тогда число волн светового луча между двумя точками P1 и P2 также будет независимым от времени и, следовательно, частота света в луче, измеренная в заданной шкале времени, будет одинаковой в P1 и P2 и, таким образом, независимой от места наблюдения.»

С другой стороны, согласно современной метрологии время определяют локально для произвольной точки пространства через тождественные атомные часы (см. определение секунды). При таком определении времени темп хода часов строго задан и будет различаться от точки к точке, в результате чего имеющаяся разность частот, например, в опыте Паунда-Ребки, или «красное смещение» спектральных линий, излучённых с поверхности Солнца или нейтронных звёзд, находит своё объяснение в разности темпа хода физического времени (измеряемого стандартными атомными часами) между точками излучения и приёма. В самом деле, так как скорость света считается постоянной величиной, то длина волны жёстко связана с частотой $\lambda=cT=\frac{c}{\nu}$, поэтому изменение длины волны равносильно изменению частоты и обратно.

Если в некоторой точке излучаются, например, сферические вспышки света, то в любом месте в области с гравитационным полем "временные" интервалы между вспышками можно сделать одинаковыми — путём соответствующего выбора временной координаты. Реальное же изменение измеряемого временного интервала определяется разностью темпа хода стандартных тождественных часов между мировыми линиями излучения и приёма. При этом в статическом случае абсолютно неважно, чем конкретно ведётся передача сигналов: световыми вспышками, горбами электромагнитных волн, акустическими сигналами, пулями или бандеролями по почте — все способы передачи будут испытывать абсолютно одинаковое «красное/фиолетовое смещение».

В свете вышеизложенного следует чётко определить смысл применяющихся терминов «гравитационное замедление времени» и «гравитационное красное смещение»: первое представляет собой физически измеряемый эффект, а второе - его частное проявление. В нестационарном случае вообще точным и инвариантным образом отделить "гравитационное" смещение от "допплеровского" невозможно, как например, в случае расширения Вселенной. Эти эффекты — одной природы, и описываются общей теорией относительности единым образом. Некоторое усложнение эффекта красного смещения для электромагнитного излучения может возникать при учёте возможности его нетривиального распространения в гравитационном поле: динамического изменения геометрии, отклонений от геометрической оптики, существования гравитационного линзирования, гравимагнетизма и так далее, но эти тонкости не должны затенять исходной простой идеи: скорость хода часов зависит от их положения в пространстве и времени.

В ньютоновской механике объяснение гравитационного красного смещения принципиально возможно — опять-таки через введение влияния гравитационного потенциала на ход часов, но это очень сложно и непрозрачно с концептуальной точки зрения. Распространённый способ выведения красного смещения как перехода кинетической энергии света $E = \hbar \omega$ в потенциальную в самой основе аппелирует к теории относительности и не может рассматриваться как правильный. В эйнштейновской теории гравитации красное смещение объясняется самим гравитационным потенциалом: это не что иное, как проявление геометрии пространства-времени, связанной с относительностью темпа хода физического времени.

Ссылки

• Окунь Л.Б., Селиванов К.Г., Телегди В.Л. "Гравитация, фотоны, часы" (Методические заметки) из УФН, 1999, том 169, № 10, с. 1141-1147
• Р.В. Паунд, "О ВЕСЕ ФОТОНОВ" УФН, 1960, Выпуск 12,1960, с. 673-683