Общая теория относительности

Альберт Эйнштейн — автор общей теории относительности (1947 год)

О́бщая тео́рия относи́тельности (ОТО) — геометрическая теория тяготения, опубликованная Альбертом Эйнштейном в 1915—1916 годах. В рамках этой теории, являющейся дальнейшим развитием специальной теории относительности, постулируется, что гравитационные эффекты обусловлены не силовым взаимодействием тел и полей, находящихся в пространстве-времени, а деформацией самого пространства-времени, которая связана, в частности, с присутствием массы-энергии. Таким образом, в ОТО, как и в других метрических теориях, гравитация не является силовым взаимодействием. Общая теория относительности отличается от других метрических теорий тяготения использованием уравнений Эйнштейна для связи кривизны пространства-времени с присутствующей в пространстве материей.

ОТО до настоящее времени является самой успешной гравитационной теорией, хорошо подтверждённой наблюдениями. Первый успех общей теории относительности состоял в объяснении аномальной прецессии перигелия Меркурия. Затем, в 1919, Артур Эддингтон сообщил о наблюдении отклонения света вблизи Солнца в момент полного затмения, что подтвердило предсказания общей теории относительности. С тех пор многие другие наблюдения и эксперименты подтвердили значительное количество предсказаний теории, включая гравитационное замедление времени, гравитационное красное смещение, задержку сигнала в гравитационном поле и, пока лишь косвенно, гравитационное излучение. Кроме того, многочисленные наблюдения интерпретируются как подтверждения одного из самых таинственных и экзотических предсказаний общей теории относительности — существования чёрных дыр.

Несмотря на успех общей теории относительности, в научном сообществе существует дискомфорт, связанный с тем, что её не удаётся переформулировать как классический предел квантовой теории из-за появления неустранимых математических расходимостей при рассмотрении чёрных дыр и вообще сингулярностей пространства-времени. Для решения этой проблемы был предложен ряд альтернативных теорий. Современные экспериментальные данные указывают, что любого типа отклонения от ОТО должны быть очень малыми, если они вообще существуют.

Основные принципы общей теории относительности

Необходимость релятивистской теории гравитации

Одним из первых механических объяснений гравитации на основе близкодействия явилась теория гравитации Фатио — Ле Сажа 1690 г. Несколько более ранняя теория гравитации Ньютона 1686 г. основана на понятии силы тяготения, которая является дальнодействующей силой: она действует мгновенно на любом расстоянии. Этот мгновенный характер действия несовместим с полевой парадигмой современной физики и, в частности, со специальной теорией относительности (СТО). В СТО предполагается, что никакая информация, переносимая телами, более массивными, чем элементарные частицы, или электромагнитными волнами, не может распространяться быстрее скорости света в вакууме.

Математически сила гравитации Ньютона выводится из потенциальной энергии тела в гравитационном поле. Потенциал гравитации, соответствующий этой потенциальной энергии, подчиняется уравнению Пуассона, которое не инвариантно при преобразованиях Лоренца. Причина неинвариантности заключается в том, что энергия в специальной теории относительности не является скалярной величиной, а содержится во временной компоненте 4-вектора. Векторная же теория гравитации оказывается аналогичной теории электромагнитного поля Максвелла и приводит к отрицательной энергии гравитационных волн, что связано с характером взаимодействия: одноимённые заряды (массы) в гравитации притягиваются, а не отталкиваются, как в электромагнетизме. Таким образом, теория гравитации Ньютона несовместима с фундаментальным принципом специальной теории относительности — инвариантностью законов природы в любой инерциальной системе отсчёта. Это послужило основанием для создания вначале векторного обобщения теории Ньютона, впервые предложенного в 1893 г. Хевисайдом, и  Пуанкаре в 1905 году в его работе «О динамике электрона», а затем общей теории относительности, основанной на принципе тождественности гравитационной и инертной массы.

Принцип равенства гравитационной и инертной масс

В классической механике Ньютона существует два понятия массы: первое относится ко второму закону Ньютона, а второе — к закону всемирного тяготения. Первая масса — инертная (или инерционная) — есть отношение негравитационной силы, действующей на тело, к его ускорению. Вторая масса — гравитационная (или, как её иногда называют, тяжёлая) — определяет силу притяжения тела другими телами и его собственную силу притяжения. Вообще говоря, эти две массы измеряются, как видно из описания, в различных экспериментах, поэтому совершенно не обязаны быть пропорциональными друг другу. Их строгая пропорциональность позволяет говорить о единой массе тела как в негравитационных, так и в гравитационных взаимодействиях. Подходящим выбором единиц можно сделать эти массы равными друг другу.

Сам принцип был выдвинут ещё Исааком Ньютоном, а равенство масс было проверено им экспериментально с относительной точностью 10⁻³. В конце XIX века более тонкие эксперименты провёл Этвёш, доведя точность проверки принципа до 10⁻⁹. В течение XX века экспериментальная техника позволила подтвердить равенство масс с относительной точностью 10⁻¹²—10⁻¹³ (Брагинский, Дикке и т. д.). Для элементарных частиц равенство гравитационной и инертной масс экспериментально подтверждено только для нейтрона.

Иногда принцип равенства гравитационной и инертной масс называют слабым принципом эквивалентности. Альберт Эйнштейн положил его в основу общей теории относительности.

Принцип движения по геодезическим линиям

Если гравитационная масса точно равна инерционной, то в выражении для ускорения тела, на которое действуют лишь гравитационные силы, обе массы сокращаются. Поэтому ускорение тела, а следовательно, и его траектория не зависит от массы и внутреннего строения тела. Если же все тела в одной и той же точке пространства получают одинаковое ускорение, то это ускорение можно связать не со свойствами тел, а со свойствами самого пространства в этой точке.

Таким образом, описание гравитационного взаимодействия между телами можно свести к описанию пространства-времени, в котором двигаются тела. Естественно предположить, как это и сделал Эйнштейн, что тела двигаются по инерции, то есть так, что их ускорение в собственной системе отсчёта равно нулю. Траектории тел тогда будут геодезическими линиями, теория которых была разработана математиками ещё в XIX веке.

Сами геодезические линии можно найти, если задать в пространстве-времени аналог расстояния между двумя событиями, называемый по традиции интервалом или мировой функцией. Интервал в трёхмерном пространстве и одномерном времени (иными словами, в четырёхмерном пространстве-времени) задаётся 10 независимыми компонентами метрического тензора. Эти 10 чисел образуют метрику пространства. Она определяет «расстояние» между двумя произвольно выбранными бесконечно близкими точками пространства-времени, которые могут быть ориентированы в различных направлениях. Геодезические линии, соответствующие мировым линиям физических тел, скорость которых меньше скорости света, оказываются линиями наибольшего собственного времени, то есть времени, измеряемого часами, жёстко скреплёнными с телом, следующим по этой траектории.

Современные эксперименты подтверждают движение тел по геодезическим линиям с той же точностью, как и равенство гравитационной и инертной масс.

Кривизна пространства-времени

Расхождение (девиация) геодезических линий вблизи массивного тела

Если запустить из двух близких точек два тела параллельно друг другу, то в гравитационном поле они постепенно начнут либо сближаться, либо удаляться друг от друга. Этот эффект называется девиацией геодезических. Аналогичный эффект можно наблюдать непосредственно, если запустить два шарика параллельно друг другу по резиновой мембране, на которую в центр положен массивный предмет. Шарики разойдутся: тот, который был ближе к предмету, продавливающему мембрану, будет стремиться к центру сильнее, чем более удалённый шарик. Это расхождение (девиация) обусловлено кривизной мембраны.

Аналогично, в пространстве-времени девиация геодезических (расхождение траекторий тел) связана с его кривизной. Кривизна пространства-времени однозначно определяется его метрикой — метрическим тензором. Различие между общей теорией относительности и альтернативными теориями гравитации определяется в большинстве случаев именно в способе связи между материей (телами и полями негравитационной природы, создающими гравитационное поле) и метрическими свойствами пространства-времени.

Пространство-время ОТО и сильный принцип эквивалентности

Часто считают, что в основе общей теории относительности лежит принцип эквивалентности гравитационного и инерционного поля, который может быть сформулирован так:

Достаточно малая по размерам локальная физическая система, находящаяся в гравитационном поле, по поведению неотличима от такой же системы, находящейся в ускоренной (относительно инерциальной системы отсчёта) системе отсчёта, погружённой в плоское пространство-время специальной теории относительности.

Иногда тот же принцип постулируют как «локальную справедливость специальной теории относительности» или называют «сильным принципом эквивалентности».

Исторически этот принцип действительно сыграл большую роль в становлении общей теории относительности и использовался Эйнштейном при её разработке. Однако в самой окончательной форме теории он, на самом деле, не содержится (смотри далее аксиоматику ОТО).

Важно отметить, что основным отличием пространства-времени общей теории относительности от пространства-времени специальной теории относительности (СТО) является его кривизна, которая выражается тензорной величиной — тензором кривизны. В пространстве-времени специальной теории относительности этот тензор тождественно равен нулю и пространство-время является плоским. Если применить принцип эквивалентности гравитационного и инерционного поля для описания движения ускоренной в инерциальной системе материальной точки, то фактически следует от плоского пространства-времени перейти к искривлённому пространству-времени ОТО. При этом искривлённое пространство-время возникает за счёт каких-то дополнительных источников вещества, расположенных таких образом, чтобы создавалась деформация пространства-времени и необходимая зависимость ускорения точки в заданной внешней системе отсчёта. В таком искривлённом пространстве-времени точка должна двигаться по инерции, а её ускорение в собственной системе отсчёта точки должно быть равно нулю.

В трактовке принципа эквивалентности гравитационного и инерционного поля часто допускают упрощения, полагая например, что пространство-время как в системе отсчёта ускоренной точки, так и в исходной системе отсчёта в специальной теории относительности является неискривлённым — плоским. Отсюда, зная ускорение в системе отсчёта точки, можно с помощью формул СТО пересчитать зависимость ускорения в ту систему отсчёта, относительно которой движется точка. Но на самом деле метрика в ускоренной системе отсчёта точки отличается от метрики плоского пространства Минковского (пространства-времени СТО), в противном случае не было бы различия между движением с постоянной скоростью и с ускорением. Кроме этого, сами формулы СТО выведены только для систем отсчёта, движущихся с постоянной скоростью, и являются первым приближением для формул с учётом ускорения. Решение задачи о метрике в ускоренной системе отсчёта показывает, что метрика становится функцией времени и координат. Последнее связано с тем, что за счёт ускорения изменяется скорость движения системы. Вследствие этого постоянно изменяется период времени, необходимый для связи между точками системы посредством электромагнитной волны (точки системы всё быстрее «убегают» от источника волны), а значит меняются и пространственно-временные соотношения.

Уравнения Эйнштейна

Уравнения Эйнштейна связывают между собой свойства материи, присутствующей в искривлённом пространстве-времени, с его кривизной. Они являются простейшими (наиболее линейными) среди всех мыслимых уравнений такого рода. Выглядят они следующим образом: $$R_{\mu\nu} - {R \over 2} g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}$$

где $R_{\mu\nu}$ — тензор Риччи, получающийся из тензора кривизны пространства-времени $R_{\rho \mu \sigma \nu}$ посредством свёртки его по паре индексов $$R_{\mu \nu} \ = \ g^{\rho \sigma} \ R_{\rho \mu \sigma \nu},$$ R — скалярная кривизна, как свёрнутый с дважды контравариантным метрическим тензором $g^{\mu\nu}$ тензор Риччи $$R \ = \ g^{\mu \nu} \ R_{\mu \nu},$$ $\Lambda$ — космологическая постоянная, а $T_{\mu\nu}$ представляет собой тензор энергии-импульса материи, ($\pi$ — число пи, $c$ — скорость света в вакууме, отражающая максимальную скорость распространения гравитации, $G$ — гравитационная постоянная Ньютона).

Здесь греческие индексы пробегают значения от 0 до 3. Дважды контравариантный метрический тензор задаётся соотношением $$g^{\mu \nu} \ g_{\nu \rho} \ = \ \delta^\mu{}_\rho.$$ Тензор кривизны пространства-времени равен $$R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ \frac{1}{2}\left( \partial^2_{ \nu \rho } g_{ \mu \sigma } \ + \ \partial^2_{ \mu \sigma } g_{ \nu \rho } \ - \ \partial^2_{ \nu \sigma } g_{ \mu \rho } \ - \ \partial^2_{ \mu \rho } g_{ \nu \sigma } \right) \ +$$ $$\ + \ g_{ \lambda \tau } \left( \Gamma^\lambda {}_{ \nu \rho } \Gamma^\tau {}_{ \mu \sigma } \ - \ \Gamma^\lambda {}_{ \nu \sigma } \Gamma^\tau {}_{ \mu \rho } \right),$$ где используются символы Кристоффеля, определяемые через производные от компонент дважды ковариантного метрического тензора $g_{\mu\nu}$ $$\Gamma_{\nu \rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho g_{\nu \sigma}\ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right).$$ Символ Кристоффеля с одним верхним индексом по определению равен $$\Gamma^{\lambda}_{\rho \sigma}=g^{\lambda\nu}\Gamma_{\nu \rho \sigma}.$$

Решая уравнения Эйнштейна, можно найти 10 независимых компонент симметричного метрического тензора. Этот метрический тензор (метрика) описывает свойства пространства-времени в данной точке и используется для описания результатов физических экспериментов. Он позволяет задать квадрат интервала в искривлённом пространстве $$ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x) \ dx^{\mu} \ dx^{\nu},$$ который определяет «расстояние» в физическом (метрическом) пространстве. В наиболее простом случае пустого пространства, когда тензор энергии-импульса равен нулю из-за отсутствия материи, без учёта лямбда члена одно из решений уравнений Эйнштейна описывается метрикой Минковского специальной теории относительности: $$dx^0=cdt,\ dx^1=dx,\ dx^2=dy,\ dx^3=dz,$$ $$ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x) \ dx^{\mu} \ dx^{\nu}=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.$$

Некоторое время дискутировался вопрос о наличии в уравнениях Эйнштейна третьего члена в левой части, то есть о равенстве космологической постоянной нулю. Космологическая постоянная Λ была введена Эйнштейном в 1917 году в работе «Вопросы космологии и общая теория относительности» для того, чтобы описать в ОТО статическую Вселенную, однако затем открытие расширения Вселенной разрушило философские и экспериментальные основания её учёта в теории гравитации (см. История космологической постоянной). Данные современной количественной космологии, тем не менее, говорят в пользу модели Вселенной, расширяющейся с ускорением, то есть с положительной космологической постоянной (см. Модель ΛCDM). С другой стороны, величина этой постоянной настолько мала, что позволяет не учитывать её в любых физических расчётах, кроме связанных с астрофизикой в масштабах скоплений галактик и выше.

Уравнения Эйнштейна наиболее просты в том смысле, что кривизна и энергия-импульс в них входит лишь линейно, кроме того, в левой части стоят все тензорные величины валентности 2, которые могут характеризовать пространство-время. Их можно вывести из принципа наименьшего действия для действия Эйнштейна-Гильберта, которое также выглядит просто $$S = \int \left[ \frac{c^4}{16 \pi G}\left(R-2\Lambda\right) + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4x,$$ где обозначения расшифрованы выше, $\mathcal{L}_\mathrm{M}$ представляет собой лагранжеву плотность материальных полей, а $\sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4x$ даёт инвариантный элемент 4-объёма пространства-времени. Здесь $g\!$ — определитель, составленный из элементов матрицы дважды ковариантного метрического тензора. Знак минус введён для того, чтобы показать, что определитель всегда отрицателен (для метрики Минковского он равен −1).

С математической точки зрения, уравнения Эйнштейна являются системой нелинейных дифференциальных уравнений относительно метрического тензора пространства-времени, поэтому сумма их решений не является новым решением. Символы Кристоффеля метрического тензора определяют геодезические — линии, по которым объекты (пробные тела) двигаются по инерции. Приближённо линейность существует лишь для слабых гравитационных полей, когда отклонения метрических коэффициентов от их значений для плоского пространства-времени малы, и так же мала кривизна. Важнейшие точные решения уравнений Эйнштейна включают: решение Шварцшильда (для пространства-времени, окружающего сферически симметричный незаряженный и невращающийся массивный объект), решение Рейснера — Нордстрёма (для заряженного сферически симметричного массивного объекта), решение Керра (для вращающегося массивного объекта), решение Керра — Ньюмана (для заряженного вращающегося массивного объекта), а также космологическое решение Фридмана (для Вселенной в целом) и точные гравитационно-волновые решения .

Дополнительным обстоятельством, затрудняющим решение этих уравнений, является то, что источник (тензор энергии-импульса) подчиняется собственному набору уравнений — уравнениям движения той среды, что заполняет рассматриваемую область. Интерес представляет то обстоятельство, что уравнения движения, если их меньше четырёх, вытекают из уравнений Эйнштейна в силу локального закона сохранения энергии-импульса (см. далее). Это свойство известно как самосогласованность уравнений Эйнштейна. Если же уравнений движения больше четырёх, то решать приходится систему из уравнений Эйнштейна и уравнений среды, что ещё более сложно. Именно поэтому такое значение придаётся известным точным решениям этих уравнений.

Уравнения Эйнштейна без космологической постоянной были практически одновременно выведены в ноябре 1915 года немецкими математиком Давидом Гильбертом (20 ноября, вывод из принципа наименьшего действия, см. указанную выше работу) и физиком Альбертом Эйнштейном (25 ноября, вывод из принципа общей ковариантности уравнений гравитационного поля, см. работу). По вопросам приоритета существуют разные мнения, освещённые в статье «Вопросы приоритета в теории относительности» (англ.).

Аксиоматический подход

Долгое время недостатком ОТО считалось то, что в ней, несмотря на построенный математический аппарат, необходимый и достаточный набор аксиом однозначно был не определён. Были известны лишь два утверждения Торна и Вилла, претендующие стать аксиомами общей теории относительности:

• Существует невырожденный метрический тензор второго ранга $~g_{\mu\nu}$.

• Ковариантная производная, определённая через связность метрики Леви-Чивита, от тензора плотности энергии-импульса материи и негравитационного полей равна нулю: $~\nabla_{\mu }T^{\mu\nu}.$

Однако двух аксиом ещё недостаточно для полного вывода из них теории. Что касается принципа эквивалентности в разных его видах в ОТО, то он видимо не годится на роль аксиомы, поскольку требует предварительного определения свойств пробной частицы, свободно падающей в гравитационном поле. По своему смыслу принцип эквивалентности можно сравнить со следующим принципом в классической ньютоновской механике: все тела в одинаковых условиях падают на Землю с одним и тем же ускорением, независимо от состава вещества или внутренней структуры. Определяя одно из частных свойств гравитации, принцип эквивалентности не даёт почти ничего другого.

Как показывает анализ современных физических теорий, аксиоматизация теории позволяет на единой основе осуществлять необходимые математические процедуры и анализировать результаты. В связи с отсутствием полного набора аксиом получалось, что сущность ОТО, пределы её применимости и связи с другими теориями (например, с квантовой механикой при попытке определения микроструктуры гравитационного поля) не поняты до конца. Это привело к тому, что возникло множество различных теорий гравитации, с целью стать альтернативой ОТО вследствие неясности её основ.

Очевидно, что общая теория относительности (ОТО) содержит в себе две разные по смыслу части — первая из них обеспечивает связь между наблюдателями в разных системах отсчёта в условиях действия гравитационного поля, а вторая часть описывает законы самого гравитационного поля. Первую часть ОТО можно назвать общей относительностью; она включает в себя специальную теорию относительности (СТО) как случай бесконечно малого гравитационного поля. Обе части ОТО могут быть полностью выведены из соответствующих систем аксиом. То, что в ОТО общая относительность и теория гравитационного поля слиты воедино, приводит к тому, что в системах аксиом одна аксиома (уравнение для метрики) является одной и той же в обеих системах аксиом.

По этой причине не совсем корректным является название «общая теория относительности», поскольку это название отражает только часть теории, связанную с преобразованием физических величин между системами отсчёта.

Аксиомы общей относительности

1. Свойства пространства-времени, определяемые незаряженными и невзаимодействующими друг с другом пробными частицами и волнами, не зависят от типа используемых частиц и волн.
2. Характеристикой пространства-времени является симметричный метрический тензор $~ g_{\mu\nu}$, зависящий в общем случае от координат и времени. С помощью тензора $~ g_{\mu\nu}$ вычисляются различные инварианты, связанные с 4-векторами и тензорами.
3. Квадрат интервала задаёт квадрат длины 4-вектора дифференциала координат, не зависящий от выбора системы отсчёта: $~ds^2 = g_{\mu\nu} dx^{\mu}dx^{\nu} = g'_{\mu\nu }\ dx^{' \mu } \ dx^{' \nu }= ds^{'2}$.
   Пространственно-временные измерения и фиксация метрических свойств осуществляются с помощью электромагнитных волн, скорость которых может зависеть от координат и времени в данной системе отсчёта, но не от скорости излучателей. При этом для электромагнитных волн интервал всегда равен нулю: $~ds =0$.
4. Физические свойства вещества и полей, кроме гравитационного поля, задаются соответствующими тензорами плотности энергии-импульса. Существует математическая функция от метрического тензора $~ g_{\mu\nu}$ (например тензор Гильберта-Эйнштейна в левой части уравнения для метрики), пропорциональная суммарному тензору энергии-импульса вещества и поля в правой части: $R_{\mu\nu} - {R \over 2} g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} ({\phi}_{\mu\nu} +W_{\mu\nu} )$,
   где $~{\phi}_{\mu\nu}$ − тензор плотности энергии-импульса вещества, $~W_{\mu\nu}$ − тензор плотности энергии-импульса электромагнитного поля и других негравитационных полей. С помощью данного уравнения осуществляется связь между геометрическими свойствами пространства-времени, с одной стороны, и физическими свойствами имеющегося вещества и негравитационного поля, с другой стороны. Ковариантная производная, действующая на обе части уравнения, обращает их в нуль. Это фиксирует свойства тензора Гильберта-Эйнштейна, и одновременно задаёт уравнение движения вещества.
5. Имеются дополнительные условия, с помощью которых задаётся необходимое для расчётов количество соотношений для сдвигов и поворотов сравниваемых систем отсчёта, скоростей их движения друг относительно друга, и учитывающие свойства симметрии систем отсчёта.

Для вывода преобразований, связывающих дифференциалы координат и времени двух любых систем отсчёта, используется условие равенства интервалов $~ds = ds'$ в аксиоме 3. Кроме этого, согласно аксиоме 5 необходимы дополнительные соотношения и связи между этими системами отсчёта. Например, преобразования Лоренца для двух инерциальных систем отсчёта учитывают: расположение и взаимную ориентацию систем отсчёта; их скорости друг относительно друга; симметрию преобразований для осей, перпендикулярных скорости движения, включая одинаковую величину скорости света.

Принцип эквивалентности можно считать следствием независимости метрики от типа и свойств пробных частиц и волн, предполагаемой в аксиоме 1. Из аксиом следует, что переход от общей относительности ОТО к частной относительности СТО должен сопровождаться устремлением к нулю плотности вещества и скоростей пробных частиц, а также и величин напряжённостей негравитационных полей, действующих на частицы. С учётом аксиомы 5 этого достаточно, чтобы получить все соотношения СТО.

Аксиомы гравитационного поля

1. Свойства гравитационного поля задаются скоростью распространения гравитационного воздействия, равной скорости света и зависящей в общем случае от координат и времени, а также невырожденным метрическим тензором второго ранга $~ g_{\mu\nu}$.
2. Гравитационное поле сводится к геометрическому искривлению (деформации) пространства-времени, вызываемого источниками вещества и любым негравитационным полем. Степень искривления пространства-времени фиксируется тензором кривизны Римана-Кристоффеля $~R_{\rho \mu \sigma \nu}$, являющимся функцией от $~ g_{\mu\nu}$ и его производных первого и второго порядка по координатам и времени. Путём свёртки с метрическим тензором из тензора $~R_{\rho \mu \sigma \nu}$ образуются тензор Риччи $~R_{\mu\nu}$ и скалярная кривизна $~R$.
3. Гравитационное ускорение сводится к градиентам от метрического тензора $~ g_{\mu\nu}$, то есть к скорости изменения компонент метрического тензора в пространстве и времени.
4. Свойства материи, определяемой как вещество и негравитационные поля, задаются тензором плотности энергии импульса $~T_{\mu\nu}={\phi}_{\mu\nu} +W_{\mu\nu}$.
5. Связь между гравитационным (метрическим) полем, задаваемым метрическим тензором $~ g_{\mu\nu}$ через кривизну пространства-времени, и материей определяется уравнением для метрики: $R_{\mu\nu} - {R \over 2} g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}$.

Из аксиомы 3 здесь может быть выведен принцип эквивалентности, а из аксиомы 5 путём ковариантного дифференцирования — уравнение движения ОТО.

Основные следствия ОТО

Орбита Ньютона (красная) и Эйнштейна (голубые) одной планеты вращающейся вокруг звезды

Согласно принципу соответствия, в слабых гравитационных полях предсказания общей теории относительности совпадают с результатами применения ньютоновского закона всемирного тяготения с небольшими поправками, которые растут по мере увеличения напряжённости поля.

Первыми предсказанными и проверенными экспериментальными следствиями общей теории относительности стали три классических эффекта, перечисленные ниже в хронологическом порядке их первой проверки:

1. Дополнительный сдвиг перигелия орбиты Меркурия по сравнению с предсказаниями механики Ньютона.
2. Отклонение светового луча в гравитационном поле Солнца.
3. Гравитационное красное смещение, или замедление времени в гравитационном поле.

Существует ряд других эффектов, поддающихся экспериментальной проверке. Среди них можно упомянуть отклонение и запаздывание (эффект Шапиро) электромагнитных волн в гравитационном поле массивных тел типа Солнца и Юпитера, эффект Лензе-Тирринга (прецессия гироскопа вблизи вращающегося тела), астрофизические доказательства существования чёрных дыр, доказательства излучения гравитационных волн тесными системами двойных звёзд и расширение Вселенной.

До сих пор надёжных экспериментальных свидетельств, опровергающих ОТО, не обнаружено. Отклонения измеренных величин эффектов от предсказываемых ОТО не превышают 0,1 % (для указанных выше трёх классических явлений). Существуют однако явления, не объясняемые с помощью ОТО: эффект «Пионера»; пролётная аномалия (flyby anomaly); увеличение астрономической единицы; квадрупольно-октупольная аномалия фонового микроволнового излучения; тёмная энергия; тёмная материя.

В связи с этими и другими проблемами ОТО (отсутствие тензора энергии-импульса гравитационного поля, невозможность квантования ОТО и т. д.) теоретиками было разработано не менее 30 альтернативных теорий гравитации, причём некоторые из них позволяют получить сколь угодно близкие к ОТО результаты при соответствующих значениях входящих в теорию параметров.

Предсказания общей теории относительности

Гравитационные эффекты

Эффекты, связанные с ускорением систем отсчёта

Впервые влияние ускорения на системы отсчёта было описано Эйнштейном ещё в 1907 году в рамках специальной теории относительности. Таким образом, указанные ниже эффекты присутствуют и в ней, а не только в ОТО.

Первый из этих эффектов — гравитационное замедление времени, из-за которого любые часы будут идти тем медленнее, чем глубже в гравитационной яме (ближе к гравитирующему телу) они находятся. Данный эффект был непосредственно подтверждён в эксперименте Хафеле — Китинга и учитывается в системах навигации (GPS, Глонасс, Галилео).

Непосредственно связанный с этим эффект — гравитационное красное смещение света. Под этим эффектом понимают уменьшение частоты света относительно локальных часов (соответственно, смещение линий спектра к красному концу спектра относительно локальных масштабов) при распространении света из гравитационной ямы наружу (из области с меньшим гравитационным потенциалом в область с большим потенциалом). Гравитационное красное смещение было обнаружено в спектрах звёзд и Солнца и надёжно подтверждено в эксперименте Паунда — Ребки.

Гравитационное замедление времени влечёт за собой ещё один эффект, названный эффектом Шапиро (также известный как гравитационная задержка сигнала). Из-за этого эффекта в поле тяготения электромагнитные сигналы идут дольше, чем в отсутствие этого поля. Данное явление было обнаружено при радиолокации планет солнечной системы и космических кораблей, проходящих позади Солнца, а также при наблюдении сигналов от двойных пульсаров.

Гравитационное отклонение света

Самая известная ранняя проверка ОТО стала возможна благодаря полному солнечному затмению 1919 года. Артур Эддингтон показал, что свет от звезды искривлялся вблизи Солнца в точном соответствии с предсказаниями ОТО

Искривление пути света происходит в любой ускоренной системе отсчёта. Детальный вид наблюдаемой траектории и гравитационные эффекты линзирования зависят, тем не менее, от кривизны пространства-времени. Эйнштейн узнал об этом эффекте в 1911 году, и, когда он эвристическим путём вычислил величину кривизны траекторий, она оказалась такой же, какая предсказывалась классической механикой для частиц, движущихся со скоростью света. В 1916 году Эйнштейн обнаружил, что угловой сдвиг направления распространения света в ОТО в два раза больше, чем в ньютоновской теории. Таким образом, это предсказание стало ещё одним способом проверки ОТО.

С 1919 года данное явление было подтверждено астрономическими наблюдениями звёзд в процессе затмений Солнца, а также радиоинтерферометрическими наблюдениями квазаров, проходящих вблизи Солнца во время его пути по эклиптике.

Гравитационное линзирование происходит, когда один отдалённый массивный объект находится вблизи или непосредственно на линии, соединяющей наблюдателя с другим объектом, намного более удалённым. В этом случае искривление траектории света более близкой массой приводит к искажению формы удалённого объекта, которое при малом разрешении наблюдения приводит, в основном, к увеличению совокупной яркости удалённого объекта, поэтому данное явление было названо линзированием. Первым примером гравитационного линзирования было получение в 1979 году двух близких изображений одного и того же квазара QSO 0957+16 A, B (z=1,4) английскими астрономами Д. Уолшем и др. «Когда выяснилось, что оба квазара изменяют свой блеск в унисон, астрономы поняли, что в действительности это два изображения одного квазара, обязанные эффекту гравитационной линзы. Вскоре нашли и саму линзу — далёкую галактику (z=0,36), лежащую между Землей и квазаром». С тех пор было найдены много других примеров отдалённых галактик и квазаров, затрагиваемых гравитационным линзированием.

Специальный тип гравитационного линзирования называется кольцом или дугой Эйнштейна. Кольцо Эйнштейна возникает, когда наблюдаемый объект находится непосредственно позади другого объекта со сферически-симметричным полем тяготения. В этом случае свет от более отдалённого объекта наблюдается как кольцо вокруг более близкого объекта. Если удалённый объект будет немного смещён в одну сторону и/или поле тяготения не сферически-симметричное, то вместо этого появятся частичные кольца, называемые дугами.

Наконец, у любой звезды может увеличиваться яркость, когда перед ней проходит компактный массивный объект. В этом случае увеличенные и искажённые из-за гравитационного отклонения света изображения дальней звезды не могут быть разрешены (они находятся слишком близко друг к другу) и наблюдается просто повышение яркости звезды. Этот эффект называют микролинзированием, и он наблюдается теперь регулярно в рамках проектов, изучающих невидимые тела нашей Галактики по гравитационному микролинзированию света её звёзд — МАСНО, EROS и другие.

Чёрные дыры

Рисунок художника: аккреционный диск горячей плазмы, вращающийся вокруг чёрной дыры.

Чёрная дыра — область, ограниченная так называемым горизонтом событий, которую не может покинуть ни материя, ни информация. Предполагается, что такие области могут образовываться, в частности, как результат коллапса массивных звёзд. Поскольку материя может попадать в чёрную дыру (например, из межзвёздной среды), но не может её покидать, масса чёрной дыры со временем может только возрастать.

Стивен Хокинг, тем не менее, показал, что чёрные дыры могут терять массу за счёт излучения, названного излучением Хокинга. Излучение Хокинга представляет собой квантовый эффект, который не нарушает классическую ОТО.

Известно много кандидатов в чёрные дыры, в частности супермассивный объект, связанный с радиоисточником Стрелец A* в центре нашей Галактики. Многие учёные убеждены, что наблюдаемые астрономические явления, связанные с этим и другими подобными объектами, надёжно подтверждают существование чёрных дыр, однако существуют и другие объяснения: например, вместо чёрных дыр предлагаются большие скопления нейтронных звёзд, а также бозонные звёзды и другие экзотические объекты .

Орбитальные эффекты

ОТО корректирует предсказания ньютоновской теории небесной механики относительно динамики таких гравитационно связанных систем, как Солнечная система, двойные звёзды и т. д.

Первый эффект ОТО заключался в том, что перигелии всех планетных орбит будут прецессировать, поскольку гравитационный потенциал Ньютона будет иметь малую добавку, приводящую к формированию незамкнутых орбит. Это предсказание было первым подтверждением ОТО, поскольку величина прецессии, выведенная Эйнштейном в 1916 году, полностью совпала с аномальной прецессией перигелия Меркурия. Таким образом была решена известная в то время проблема небесной механики.

Позже релятивистская прецессия перигелия наблюдалась также у Венеры, Земли, и как более сильный эффект, в системе двойного пульсара. За открытие первого двойного пульсара PSR B1913+16 в 1974 году Р. Халс и Д. Тейлор получили Нобелевскую премию в 1993 году.

Запаздывание времени прихода импульсов от пульсара PSR B1913+16 по сравнению со строго периодическим (синие точки) и предсказываемый ОТО эффект, связанный с излучением гравитационных волн (чёрная линия)

Другой эффект — изменение орбиты, связанное с гравитационным излучением двойной и более кратной системы тел. Этот эффект наблюдается в системах с близко расположенными звёздами и заключается в уменьшении периода обращения. Он играет важную роль в эволюции близких двойных и кратных звёзд. Эффект впервые наблюдался в вышеупомянутой системе PSR B1913+16 и с точностью до 0,2 % совпал с предсказаниями ОТО.

Ещё один эффект — геодезическая прецессия. Она представляет собой прецессию полюсов вращающегося объекта в силу эффектов параллельного перенесения в криволинейном пространстве-времени. Данный эффект отсутствует в ньютоновской теории тяготения. Предсказание геодезической прецессии было проверено в эксперименте с зондом НАСА «Грэвити Проуб Би» (Gravity Probe B). Руководитель исследований данных, полученных зондом, Фрэнсис Эверитт на пленарном заседании Американского физического общества 14 апреля 2007 года заявил о том, что анализ данных гироскопов позволил подтвердить предсказанную Эйнштейном геодезическую прецессию с точностью, превосходящей 1 %.

Увлечение инерциальных систем отсчёта

Увлечение инерциальных систем отсчёта вращающимся телом заключается в том, что вращающийся массивный объект «тянет» пространство-время в направлении своего вращения: удалённый наблюдатель в покое относительно центра масс вращающегося тела обнаружит, что самыми быстрыми часами, то есть покоящимися относительно локально-инерциальной системы отсчёта, на фиксированном расстоянии от объекта являются часы, имеющие компоненту движения вокруг вращающегося объекта в направлении вращения, а не те, которые находятся в покое относительно наблюдателя, как это происходит для невращающегося массивного объекта. Точно так же удалённым наблюдателем будет установлено, что свет двигается быстрее в направлении вращения объекта, чем против его вращения. Увлечение инерциальных систем отсчёта также вызовет изменение ориентации гироскопа во времени. Для космического корабля на полярной орбите направление этого эффекта перпендикулярно геодезической прецессии, упомянутой выше.

Поскольку эффект увлечения инерциальных систем отсчёта в 170 раз слабее эффекта геодезической прецессии, стэнфордские учёные пока по-прежнему извлекают его «отпечатки» из информации, полученной зондом «Грэвити Проуб Би» (Gravity Probe B).

Другие предсказания

• Эквивалентность инерционной и гравитационной массы: следствие того, что свободное падение — движение по инерции.
  • Сильный принцип эквивалентности: даже самогравитирующий объект отзовётся на внешнее поле тяготения в той же мере, что и тестовая частица (нарушается в альтернативных теориях гравитации.)
• Гравитационное излучение: вращение двойных звёзд и планет, а также процессы слияния нейтронных звезд и/или чёрных дыр, как ожидается, должны сопровождаться излучением гравитационных волн.
  • Слияние двойных пульсаров может создавать гравитационные волны, достаточно сильные, чтобы наблюдаться на Земле. В настоящее время существует несколько гравитационных телескопов для наблюдения подобных волн, однако пока существуют лишь косвенные доказательства существования гравитационного излучения в виде измерений темпа потери энергии вращения двойных пульсаров.
  • Гравитоны. Согласно квантовой механике, гравитационное излучение должно быть составлено из квантов, называемых гравитонами. ОТО предсказывает, что они будут безмассовыми частицами со спином, равным 2. Для сравнения, в лоренц-инвариантной теории гравитации (ЛИТГ) у гравитонов предполагается спин, равный 1. Обнаружение гравитонов в экспериментах связано со значительными проблемами.
  • Только квадрупольный момент или более высокие мультипольные моменты системы приводят к гравитационному излучению. Дипольное и монопольное гравитационное излучение, запрещённое в соответствии с предсказаниями ОТО, возможно согласно некоторым альтернативным теориям. В частности, дипольное излучение допустимо в ЛИТГ, хотя в закрытых системах тел оно компенсируется и остаётся только квадрупольное излучение.

Космология

Хотя общая теория относительности была создана как теория тяготения, вскоре после этого её стали использовать для моделирования Вселенной как целого, и так появилась физическая космология. Центральным пунктом для физической космологии является метрика Фридмана — Лемэтра — Робертсона — Уокера, которая является космологическим решением уравнений Эйнштейна. Это решение предсказывает, что Вселенная должна быть динамической: она должна расширяться, сжиматься или совершать постоянные колебания.

Эйнштейн сначала не мог примириться с идеей относительно динамической Вселенной, хотя она явно следовала из уравнений Эйнштейна без космологического члена. Поэтому в попытке переформулировать ОТО так, чтобы решения описывали статичную Вселенную, Эйнштейн добавил космологическую постоянную к полевым уравнениям (см. выше). Однако, получившаяся статическая вселенная была нестабильна. Позднее в 1929 году Эдвин Хаббл показал, что красное смещение света от отдаленных галактик указывает, что галактики вероятно удаляются от нашей собственной галактики со скоростью, которая пропорциональна их расстоянию от нас. Это продемонстрировало, что вселенная может быть нестатична и расширяется. Открытие Хаббла показало несостоятельность возражений Эйнштейна и использования им космологической постоянной. Теория нестационарной Вселенной с космологическим членом была создана, впрочем, ещё до открытия закона Хаббла усилиями Фридмана, Лемэтра и ДеСиттера.

Уравнения для расширяющейся вселенной показывают, что она становится сингулярной, если вернуться назад во времени достаточно далеко. Это событие называют Большим Взрывом. В 1948 году Дж. Гамов издал статью, описывающую процессы в ранней Вселенной и предсказывающую существование космического микроволнового фонового излучения, происходящего от горячей плазмы Большого Взрыва; в 1949 году Р. Алфер и Герман провели более подробные вычисления. В 1965 году А. Пензиас и Р. Вилсон впервые наблюдали фоновое излучение, что стало одним из часто используемых аргументов в пользу горячей ранней Вселенной и теории Большого Взрыва.

Проблемы ОТО

Общая теория относительности прошла множество тестов и считается основной моделью для теории гравитации и космологии. Тем не менее, существуют явные указания на неполноту теории. Важнейшими остаются проблемы с энергией, квантованием гравитации и сингулярностями пространства-времени, смотри также Лоренц-инвариантная теория гравитации#Невыясненные вопросы в ОТО. Наблюдательные данные и теория предсказывают существование тёмной энергии и тёмной материи, описание которых может потребовать новой физики. Не объяснены до сих пор в рамках ОТО эффект «Пионера», пролётная аномалия (flyby anomaly) и некоторые другие явления.

Проблема энергии

См. также псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля, вектор Киллинга, энергия.

Так как энергия, с точки зрения математической физики, представляет собой величину, сохраняющуюся из-за однородности времени, а в общей теории относительности, в отличие от специальной, вообще говоря, время неоднородно, то закон сохранения энергии может быть выражен в ОТО только локально, то есть в ОТО не существует такой величины, эквивалентной энергии в СТО, чтобы интеграл от неё по пространству сохранялся при движении по времени. Локальный же закон сохранения энергии-импульса в ОТО существует и является следствием уравнений Эйнштейна: $$T^\mu_{\nu;\mu}=0\;,$$ где точка с запятой обозначает взятие ковариантной производной. Переход от него к глобальному закону невозможен, потому что так интегрировать тензорные поля, кроме скалярных, в римановом пространстве, чтобы получать тензорные (инвариантные) результаты, вообще говоря, математически невозможно.

Многие физики считают это существенным недостатком ОТО. С другой стороны, очевидно, что если соблюдать последовательность до конца, в полную энергию, кроме энергии материи, необходимо включать также и энергию самого гравитационного поля. А последняя не может быть хорошо определена (как тензор), что является ещё одним аспектом проблемы. Различными авторами вводятся так называемые псевдотензоры энергии-импульса гравитационного поля, которые обладают некими «правильными» свойствами, но одно их многообразие показывает, что удовлетворительного решения задача не имеет. В общем случае проблема энергии и импульса может считаться решённой только для островных систем, то есть таких распределений массы, которые ограничены в пространстве, и пространство-время которых на пространственной бесконечности переходит в пространство Минковского. Тогда, выделяя группу асимптотической симметрии пространства-времени (группу Бонди-Сакса), можно определить 4-векторную величину энергии-импульса системы, правильно ведущую себя относительно преобразований Лоренца на бесконечности.

Существует необщепринятая точка зрения, восходящая к Лоренцу и Леви-Чивита, которая определяет тензор энергии-импульса гравитационного поля как тензор Эйнштейна с точностью до постоянного множителя. Тогда уравнения Эйнштейна утверждают, что энергия-импульс гравитационного поля в любом объёме точно уравновешивает энергию-импульс материи в этом объёме, так что полная их сумма всегда тождественно равна нулю.

В недавней работе было показано, что принцип эквивалентности не выполняется в отношении массы-энергии самого гравитационного поля. В частности, гравитационная масса-энергия поля неподвижного тела, и инертная масса-энергия поля движущегося с постоянной скоростью этого же тела не совпадают друг с другом. Эта ситуация ставит перед ОТО ряд дополнительных вопросов.

Проблема однозначности результатов и обоснования их непротиворечивости

Анализ некоторых найденных точных решений для метрики в ОТО показывает, что они не могут быть однозначно выведенными из уравнений теории в связи с недостатком уравнений по сравнению с числом неизвестных величин. В результате становятся возможными различные видоизменения метрики вблизи массивного тела и выбор правильной метрики для наблюдателя становится затруднительным.

С другой стороны, решение Шварцшильда для уединённого массивного тела даёт метрику, которая калибруется по условию перехода её на бесконечности в метрику плоского пространства-времени Минковского. В это условие для метрики не входит радиус тела, а только гравитационная масса этого тела, определяемая из бесконечности. Кроме этого, метрика калибруется также через условие для метрики в слабом поле, в котором пробные частицы вблизи тела должны двигаться так, как им предписывается законом Ньютона для гравитации. В этом случае в метрику вводится масса тела, соответствующая закону Ньютона и действительная на том расстоянии, где происходит движение пробных частиц. В решении Шварцшильда не уточняется, равны ли масса тела, видимая из бесконечности, и масса тела для пробных частиц вблизи тела, поскольку зависимость гравитационной массы тела от расстояния до тела в ОТО неизвестна. Но это обстоятельство очевидно может вносить произвол в результаты для метрики и даёт неоднозначность решения. Путём подбора подходящей массы тела можно получить метрику, совпадающую с результатами имеющихся экспериментов. Подробности указываются в статье лоренц-инвариантная теория гравитации (ЛИТГ).

Однозначность и непротиворечивость результатов традиционной ОТО связана также с проблемой энергии. В связи с неопределённостью понятия энергии гравитационного поля, в ОТО принципиально не учитывается эта энергия как источник возможного изменения метрики пространства-времени вблизи тел. Однако гравитационные волны как и любые другие волны переносят энергию-импульс и не могут не влиять на метрику в том месте, где они проходят. Но тогда и собственное статическое гравитационное поле тела должно влиять на результат при нахождении метрики возле этого тела. Величину энергии гравитационного поля можно определить с помощью ЛИТГ, что дало возможность оценить поправки в метрику.

ОТО и квантовая физика

Главной проблемой ОТО с современной точки зрения является невозможность построения для неё квантово-полевой модели каноническим образом.

Каноническое квантование любой физической модели состоит в том, что в неквантовой модели строятся уравнения Эйлера — Лагранжа и определяется лагранжиан системы, из которого выделяется гамильтониан H. Затем гамильтониан переводят из обычной функции динамических переменных системы в операторную функцию соответствующих динамическим переменным операторов и таким образом квантуют. При этом физический смысл оператора Гамильтона состоит в том, что его собственные значения представляют собой уровни энергии системы. Ключевая особенность описанной процедуры состоит в том, что она предполагает выделение параметра — времени, по которому и составляется в дальнейшем уравнение типа Шрёдингера $$H \Phi = i \hbar {\partial \over \partial t} \Phi.$$

Это уравнение решается для отыскания волновой функции $\Phi$, причём здесь H — уже оператор Гамильтона.

Сложности в реализации такой программы для ОТО троякие: во-первых, переход от классического гамильтониана к квантовому неоднозначен, так как операторы динамических переменных не коммутируют между собой; во-вторых, гравитационное поле относится к типу полей со связями, для которых структура уже классического фазового пространства достаточно сложна, а квантование их наиболее прямым методом невозможно; в-третьих, в ОТО нет выраженного направления времени, что составляет трудность при его необходимом выделении и порождает проблему интерпретации полученного решения.

Тем не менее, программа квантования гравитационного поля была успешно решена к 50-м годам XX столетия усилиями М. П. Бронштейна, П. А. М. Дирака, Брайса ДеВитта и других физиков. Оказалось, что (по крайней мере слабое) гравитационное поле можно рассматривать как квантовое безмассовое поле спина 2.

Дополнительные сложности возникли при попытке вторичного квантования системы гравитационного поля, проведённой Р. Фейнманом, Брайсом ДеВиттом и другими физиками в 60-х годах после разработки квантовой электродинамики. Оказалось, что поле такого высокого спина в трёхмерном пространстве не перенормируемо никакими традиционными (и даже нетрадиционными) способами. Более того, не существует никакого разумного определения его энергии, такого, чтобы выполнялся закон сохранения энергии, она была бы локализуема и неотрицательна в любой точке.

Полученный тогда результат остаётся незыблемым до настоящего времени. Появляющиеся в каждом новом порядке по количеству петель расходимости квантовой гравитации невозможно сократить введением в гамильтониан никакого конечного количества перенормировочных контрчленов или свести перенормировку к конечному числу постоянных величин (как это удалось сделать в квантовой электродинамике по отношению к элементарному электрическому заряду и массе заряженной частицы).

На сегодняшний день построено много альтернативных ОТО теорий (теория струн, теория маджетик, мембран, модель квантования в 2-мерном пространстве и другие), которые позволяют квантовать гравитацию, но все они либо незакончены, либо имеют внутри себя неразрешённые парадоксы. Также подавляющее большинство из них обладает огромным недостатком, который вообще не дает возможности говорить о них, как о «физических теориях» — они не могут быть проверены экспериментально.

ОТО и КТГ

С целью преодоления указанных выше недостатков ОТО была разработана ковариантная теория гравитации (КТГ). Гравитационное поле в КТГ инвариантно относительно преобразований метрической теории относительности (МТО), с помощью которых производятся преобразования физических величин. Так же как и ОТО, КТГ является теорией, позволяющей описывать явления в условиях, когда гравитационные или электромагнитные поля начинают влиять на распространение волн и результаты пространственно-временных измерений. В КТГ используется метрический тензор, находимый из уравнений для метрики с тем отличием, что в состав источников для метрики включается тензор энергии-импульса общего поля. Этот тензор содержит в себе тензор энергии-импульса гравитационного поля, тензор энергии-импульса поля ускорений, тензор энергии-импульса поля давления, тензор энергии-импульса поля диссипации и соответствующие тензоры других полей. В результате в КТГ ковариантным образом определён тензор энергии-импульса гравитационного поля, а гравитация может быть проквантована аналогично электродинамике. Уравнения гравитационного поля КТГ и уравнения ОТО в пределе слабого поля почти совпадают, подробнее смотри в статьях Лоренц-инвариантная теория гравитации и гравитоэлектромагнетизм. Сравнение КТГ и ОТО на уровне аксиом показывает, что наибольшее различие возникает в том, что в ОТО гравитационное поле полагается тензорным вследствие своей геометрической природы, а в КТГ гравитационное поле является векторным подобно электромагнитному полю. Если принять во внимание ковариантное определение 4-силы в римановом пространстве-времени, то можно вывести, что уравнение движения материи в ОТО является частным случаем уравнения движения КТГ. В отличие от ОТО, КТГ объясняет эффект «Пионера».

ОТО и кривизна пространства

Согласно ОТО, кривизна пространства зависит в том числе и от присутствия в нём энергии в том или ином виде. Бертран Шварцшильд показал, что при предсказываемой теорией энергии нулевых колебаний вакуума кривизна пространства должна на 120 порядков превышать наблюдаемую величину.

Стюарт Шапиро и Саул Теукольский показали, что при схлопывании в чёрную дыру специальным образом распределённой массы (безстолкновительный газ сферических частиц достаточно больших размеров), сингулярность формируется в асимптотически плоском пространстве без образования горизонта чёрной дыры.

Рекомендуемая литература

• Герман Вейль. Пространство. Время. Материя. Лекции по общей теории относительности. — М.: Изд-во УРСС научной и учебной литературы, 2004, 455 с.
• Мизнер, Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. В 3 тт. — М.: Мир, 1977.
• Синг Дж. Л. Общая теория относительности. — М.: Изд-во иностр. лит., 1963, 432 с.
• Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. — М.: ГИТТЛ, 1955, 504 с.
• Wald Robert M. General Relativity. — Chicago: The University of Chicago Press, 1984, 491 p.

См. также

• Гравитация
• Гравитационная волна
• Золотой век теории относительности
• Альтернативные теории гравитации
• Относительность в физике
• Специальная теория относительности
• Расширенная специальная теория относительности
• Метрическая теория относительности
• Ковариантная теория гравитации
• Лоренц-инвариантная теория гравитации
• Теория относительности и гравитация
• Гравитационное экранирование
• Гравитоэлектромагнетизм
• Гравитационная индукция
• Поле кручения
• Теория гравитации Лесажа
• Скорость гравитации
• Чёрная дыра
• 4-сила
• PSR J0737-3039 — проверка предсказаний ОТО в тесном двойном пульсаре
• Gravity Probe B — проверка предсказанной ОТО прецессии гироскопов на околоземной орбите
• Отрицание теории относительности

Интернет-ресурсы

• Вопросы и ответы по общей теории относительности.
• Коллекция книг по гравитации и теории относительности на сайте EqWorld: мир математических уравнений (в формате djvu).
• Обзор по экспериментальной проверке теории относительности с данными на октябрь 2005 года из Living Reviews in Relativity (англ.). Версия данного обзора также находится здесь.
• Обзор по тестам Лоренц-инвариантности СТО и ОТО из Living Reviews in Relativity (англ.).
• Раздел по теории относительности на сайте «Вся Физика».
• www.relativity.ru — теория относительности на русском языке: грамотные статьи, вопросы-ответы, анимации.
• Living Reviews in Relativity [5] (англ.) — рецензируемый научный журнал регулярно обновляемых обзоров по теории относительности. Издаётся Институтом гравитационной физики имени Макса Планка (Институт Альберта Эйнштейна).

Теории гравитации Стандартные теории гравитации Альтернативные теории гравитации Квантовые теории гравитации Единые теории поля Классическая физика Теория тяготения Ньютона Релятивистская физика Общая теория относительности Математическая формулировка общей теории относительности Гравитоэлектромагнетизм Принципы Принцип эквивалентности сил гравитации и инерции Принцип Маха Геометродинамика [6] Классические Теория гравитации Лесажа Модифицированная ньютоновская динамика (MOND) [7] Релятивистские Ковариантная теория гравитации Лоренц-инвариантная теория гравитации Максвеллоподобные гравитационные уравнения Метрическая теория относительности Сильная гравитация Релятивистская теория гравитации Гравитация с массивным гравитоном [8] Телепараллелизм [9] Теория Нордстрёма [10] Теория Бранса — Дикке [11] Биметрические теории гравитации [12] Несимметричные теории гравитации [13] Теория гравитации Уайтхеда [14] Теория Эйнштейна — Картана [15] Каноническая квантовая гравитация [16] Петлевая квантовая гравитация [17] Полуклассическая гравитация [18] Причинная динамическая триангуляция [19] Евклидова квантовая гравитация [20] Уравнение Уилера — ДеВитта [21] Индуцированная гравитация [22] Некоммутативная геометрия [23] Многомерные Общая теория относительности в многомерном пространстве [24] Теория Калуцы — Клейна [25] Струнные Теория струн Теория суперструн [26] М-теория [27] Прочие Исключительно простая теория всего Общее поле

Первоисточник этой статьи был признан «избранной статьёй» в русском разделе Википедии