Обобщённые уравнения Лотки-Вольтерры

Обобщённые уравнения Лотки-Вольтерры описывают математическую модель произвольного числа взаимодействующих видов, конкурирующих или питающихся друг другом.

Система уравнений имеет вид: $$\begin{equation}\dv{x_i}{t} = x_i f_i \left( \mathbf{x} \right) = x_i \left( \mathbf{r} + A \mathbf{x} \right) _i ,\end{equation}$$

где:

• $x_i$ — численность $i$-ого вида
• $\mathbf{r}$ — вектор естественного прироста или убыли видов:
  • положительное значение $r_i$ означает, что вид способен размножаться независимо от остальных участников модели (продуцент),
  • а отрицательное — что он нуждается в питании другими видами (консумент),
• $A = \left\{ a_{ij} \right\}$ — матрица взаимодействия видов, где $a_{ij}$ — воздействие вида $j$ на вид $i$:
  • значения $a_{ii}$ (воздействие вида $i$ на самого себя) обычно принимаются отрицательными, чтобы отразить невозможность неограниченного роста численности вида $x_i$,
  • в зависимости от знаков $a_{ij}$ и $a_{ji}$, взаимодействие видов может быть описано как:

$a_{ij}$	$a_{ji}$
	$a_{ji} < 0$	$a_{ji} = 0$	$a_{ji} > 0$
$a_{ij} < 0$	Прямая конкуренция	Аменсализм. Выделение $j$ ингибитора или антибиотика, подавляющего размножение $i$	Хищничество или паразитизм. $j$ — хищник или паразит $i$
$a_{ij} = 0$	Аменсализм	Нейтрализм. Виды не взаимодействуют	Комменсализм. Вид $i$ предоставляет ресурсы $j$ без пользы или ущерба для себя
$a_{ij} > 0$	Хищничество или паразитизм. $i$ — хищник или паразит $j$	Комменсализм	Протокооперация или мутуализм. $i$ и $j$ взаимно полезны (редко, так как позволяет неограниченный рост $x_i$ и $x_j$)

Динамика

Как и их частный случай, модель Лотки-Вольтерры, обобщённые уравнение не имеют аналитического решения.

Обобщённые уравнения Лотки-Вольтерры могут порождать предельные циклы, хаотические решения и точечные аттракторы. Возможны также стабильные решения:

• $\mathbf{x_0} = \mathbf{0}$, соответствующие полному вымиранию, и
• $\mathbf{ \bar{x} } = -A ^ {-1} \mathbf{r}$, имеющее смысл, только если $\forall i: \bar{x}_i \geqslant 0$:
  • линеаризация обобщённых уравнений вблизи точки равновесия, даваемая матрицей Якоби $J_{ \mathbf{x} } = \diag \left( \mathbf{ \bar{x} } \right) A$ называется биоценозной матрицей. Если все её собственные значения отрицательны, равновесие стабильно, иначе нет.

Компактная запись

Обобщённые уравнения Лотки-Вольтерры могут быть представлены в матрично-векторном виде: $$\begin{equation}\dv{\mathbf{x}}{t} =\mathbf{x} \odot \left( \mathbf{r} + A \mathbf{x} \right) =\diag \left( \mathbf{r} + A \mathbf{x} \right) \mathbf{x} ,\end{equation}$$ где:

• $\odot$ — покомпонентное произведение векторов,
• $\diag \left( \mathbf{v} \right)$ — диагональная матрица, соответствующая вектору $\mathbf{v}$.

См. также

• Модель Лотки-Вольтерры,
• Конкурентные уравнения Лотки-Вольтерры,
• Ланчестерские модели.