Объём (геометрия)

Объём — мера пространственных тел (областей евклидова пространства), ставящая конгруентным телам (областям) в соответствие равные числа и единичному кубу — число 1.

Объём тела (области) обозначается обычно символом V (от лат. volume).

История понятия

Изначально эмпирическое понятие объёма возникло и применялось без строгого определения, в отношении трёхмерных тел.

Позже, в математике это понятие было связано с понятием трёхмерного евклидова пространства.

Первое формальное определение было дано Пеано (1887) и Жордан (1892).

Математические определения и их обобщения

Для его определения существует несколько существенно различных подходов, которые дополняют друг друга и согласованы по конечному результату на «хороших множествах». Обычно под понятием объёма понимается мера Жордана, но иногда мера Лебега, для римановых многобразий, понятие объёма вводится аналогично понятию площади поверхности.

Объём — это неотрицательная аддитивная функция от множества точек трёхмерного пространства (в обобщениях — n-мерного пространства), не меняющаяся при любых движениях пространства. Это значит, что множеству точек трёхмерного пространства ставится в соответствие неотрицательное число, называемое объёмом, причём два множества точек, которые можно совместить движением в пространстве, имеют одинаковый объём. Объём объединения счётного множества множества непересекающихся множеств равен сумме объёмов этих множеств.

Объём есть мера количества пространства, занимаемого точками множества (тела, в частности). К описанному определению понятия объёма приводят интуитивные представления об измерении количества пространства. Единицей измерения объёма служит объём куба, ребро которого равняется единице длины. Объём определяется не для всех точечных множеств. Существуют такие множества, для которых невозможно определить объём. Такие множества называются неизмеримыми.

Понятие объёма допускает естественное обобщения до понятия $n$-мерного объёма в $n$-мерном пространстве, также на случай римановых и псевдоримановых пространств.

Французский математик Лебег обобщил понятие объёма на более широкий класс множеств (см. мера Лебега).

Объёмы простейших тел

Фигура	Формула	Обозначения
Куб	$c^3$	$c$ — ребро куба
Призма	$S a$	S — площадь перпендикулярного сечения, a — ребро призмы
Цилиндр	$\pi r^2 h$	r — радиус, h — высота цилиндра
Шар	$\frac{4}{3} \pi r^3$	r — радиус
Эллипсоид	$\frac{4}{3} \pi abc$	a, b, c — главные оси
Пирамида	$\frac{1}{3} A h$	A — площадь основания, h — высота пирамиды
Конус	$\frac{1}{3} \pi r^2 h$	r — радиус основания, h — высота конуса

См. также

• Объём и меры объёма
• Размерность
• Пространство
• Площадь
• Площадь поверхности
• Мера Жордана
• Мера Лебега