Преобразование Лапласа

Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию $\ F(s)$ комплексного переменного (изображение) с функцией $\ f(x)$ действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем, и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соотвествуют более простые соотношения над их изображениями.

Определение

Прямое преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа функции действительного переменного $\ f(x)$, называется функция $\ F(s)$ комплексного переменного $s = \sigma + i \omega \,$, такая что: $$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(x)\right\} =\int_{0^.}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$$

Левая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного $\ F(s)$, называется функция $\ f(x)$ действительного переменного, такая что: $$f(x) = \mathcal{L}^{-1} \{F(s)\} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{ \sigma_1 - i \cdot \infty}^{ \sigma_1 + i \cdot \infty} e^{sx} F(s)\,ds,$$

где $\sigma_1 \$ — некоторое вещественное число (см. условия существования).

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции $\ f(x)$ участвуют значения $\ x < 0$

Двусторонее преобразование Лапласа определяется следующим образом: $$F(s) = \mathcal{L}\left\{f(x)\right\} =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-sx} f(x)\,dx.$$

Дискретное преобразование Лапласа

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Таким образом, дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.
Различают $\ D$-преобразование и $\ Z$-преобразование.

• $\ D$-преобразование

Пусть $x_d \left( {nT} \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {x\left( {nT} \right) \cdot \delta \left( {t - nT} \right)}$ — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени $\ nT$, где $\ n$ — целое число, а $\ T$ — период дискретизации.
Тогда применяя преобразование Лапласа получим:
$\mathcal{L}\left\{ {x_d \left( t \right)} \right\} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {x\left( {nT} \right) \cdot e^{ - snT} } = \mathcal{D}\left\{ {x(nT)} \right\}$

• $\ Z$-преобразование

Если применить следующую замену переменных:
$\ z = e^{ sT }$,
получим Z-преобразование:
$\mathcal{Z}\left\{ {x \left( {nT} \right)} \right\} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {x\left( {nT} \right) \cdot z^{ - n} }$

Свойства и теоремы

• Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при $\sigma = \sigma_0 \!$, то есть существует предел $$\lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} \mid f(x) \mid e^{-\sigma_0 x} dx = \int_{0}^{\infty} \mid f(x) \mid e^{-\sigma_0 x} dx,$$

то он сходится абсолютно и равномерно для $\sigma \ge \sigma_0 \!$ и $F(s) \!$ — аналитичная функция при $\sigma \ge \sigma_0 \!$ ($\sigma = Re(s) \!$ — действительная часть комплексной переменной $s \!$). Точная нижняя грань $\sigma_a \!$ множества чисел $\sigma \!$, при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции $f(x) \!$.

• Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа $\mathcal{L} \{f(x) \} \!$ существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

1. Случай $\sigma \ge 0 \!$: преобразование Лапласа существует, если существует интеграл $\int_{0}^{\infty}|f(x)| dx$
2. Случай $\sigma > \sigma_a \!$: преобразование Лапласа существует, если интеграл $\int_{0}^{x_1}|f(x)| dx$ существует для каждого конечного $x_1 > 0 \!$ и $|f(t)| \le Ke^{\sigma_ax} \!$ для $x > x_2 \ge 0 \!$
3. Случай $\sigma > 0 \!$ или $\sigma > \sigma_a \!$ (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции $f(x)' \!$ (производная к $f(x) \!$) для $\sigma > \sigma_a \!$.

Примечание: это достаточные условия существования.

• Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

1. Если изображение $F(s) \!$ — аналитичная функция для $\sigma \ge \sigma_a \!$ и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём $\mathcal{L}^{-1} \{F(s) \} = 0 \!$ для $t \le 0 \!$

2. Пусть $F(s) = \phi[F_1(s), F_2(s), \dots, F_n(s)] \!$, так что $\phi(z_1, z_2, \dots, z_n) \!$ аналитична относительно каждого $z_k \!$ и равна нулю для $z_1 = z_2 = \dots = z_n = 0 \!$, и $F_k(s) = \mathcal{L} \{f_k(x) \{ (\sigma > \sigma_{ak} : k = 1, 2, \dots, n);$, тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

• Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов. $$\mathcal{L} \{ f(x) * g(x) \} = \mathcal{L} \{ f(x) \} \cdot \mathcal{L} \{ g(x) \}$$

• Умножение изображений

$f(x)g(0) + \int_{0}^{x} f(x-\tau)g'(\tau) d\tau = sF(s)G(s)$

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

• Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа. $$\mathcal{L} \{f'(x)\} = s \cdot F(s) - f(0^+)$$

В более общем случае (производная $n \!$-го порядка): $$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} (x) \right\} = s^n \cdot F(s) - s^{n - 1} f(0^+) - \cdots - f^{(n - 1)}(0^+)$$

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала деленное на свой аргумент. $$\mathcal{L} \left\{ \int_{0}^{x} f(t) dt \right\} = \frac{F(s)}{s}$$

• Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком. $$\mathcal{L}^{-1} \{F'(s)\} = -x \cdot f(x)$$

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, деленный на свой аргумент. $$\mathcal{L}^{-1} \left\{ \int_{s}^{+\infty} F(s) ds \right\} = \frac{f(x)}{x}$$

• Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения: $$\mathcal{L}\left\{ e^{ax} f(x) \right\} = F(s - a) \!$$ $$\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{ax} f(x) \!$$

Запаздывание оригинала: $$\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s) \!$$ $$\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(x - a) u(x - a) \!$$ Примечание: $u(x) \!$ — Функция Хевисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы): $$f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)} \!,$$ все полюсы в левой полуплоскости Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, к примеру, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы. $$\lim_{s\to \infty}{sF(s)} = f(0 + 0)= \!$$

• Другие свойства

Линейность $$\mathcal{L}\left\{a f(x) + b g(x) \right\} = a F(s) + b G(s)$$

Умножение на число $$\mathcal{L} \left\{ f(ax) \right\} = {1 \over a} F \left ( {s \over a} \right )$$

Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций

Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.

№	Функция	Временная область $x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}$	Частотная область $X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}$	Область сходимости для причинных систем
1	идеальное запаздывание	$\delta(t-\tau) \$	$e^{-\tau s} \$
1a	единичный импульс	$\delta(t) \$	$1 \$	$\mathrm{all} \ s \,$
2	запаздывание n-го порядка с частотным сдвигом	$\frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau)$	$\frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}}$	$s > 0 \,$
2a	степенная n-го порядка	${ t^n \over n! } \cdot u(t)$	${ 1 \over s^{n+1} }$	$s > 0 \,$
2a.1	степенная q-го порядка	${ t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t)$	${ 1 \over s^{q+1} }$	$s > 0 \,$
2a.2	единичная функция	$u(t) \$	${ 1 \over s }$	$s > 0 \,$
2b	единичная функция с запаздыванием	$u(t-\tau) \$	${ e^{-\tau s} \over s }$	$s > 0 \,$
2c	«ступенька скорости»	$t \cdot u(t)\$	$\frac{1}{s^2}$	$s > 0 \,$
2d	n-го порядка с частотным сдвигом	$\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t)$	$\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}$	$s > - \alpha \,$
2d.1	экспоненциальное затухание	$e^{-\alpha t} \cdot u(t) \$	${ 1 \over s+\alpha }$	$s > - \alpha \$
3	экспоненциальное приближение	$( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \$	$\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}$	$s > 0\$
4	синус	$\sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over s^2 + \omega^2 }$	$s > 0 \$
5	косинус	$\cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 + \omega^2 }$	$s > 0 \$
6	гиперболический синус	$\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ \alpha \over s^2 - \alpha^2 }$	$s > | \alpha | \$
7	гиперболический косинус	$\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 - \alpha^2 }$	$s > | \alpha | \$
8	экспоненциально затухающий синус	$e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$	$s > -\alpha \$
9	экспоненциально затухающий косинус	$e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$	$s > -\alpha \$
10	корень n-го порядка	$\sqrt[n]{t} \cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)$	$s > 0 \,$
11	натуральный логарифм	$\ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)$	$- { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ]$	$s > 0 \,$
12	функция Бесселя первого рода порядка n	$J_n( \omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}$	$s > 0 \,$ $(n > -1) \,$
13	модифицированная функция Бесселя первого рода порядка n	$I_n(\omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}$	$s > | \omega | \,$
14	функция Бесселя второго рода нулевого порядка	$Y_0(\alpha t) \cdot u(t)$
15	модифицированная функция Бесселя второго рода, нулевого порядка	$K_0(\alpha t) \cdot u(t)$
16	функция ошибок	$\mathrm{erf}(t) \cdot u(t)$	${e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}$	$s > 0 \,$
Примечания к таблице: $u(t) \,$ — функция Хевисайда. $\delta(t) \,$ — дельта-функция. $\Gamma (z) \,$ — гамма-функция. $\gamma \,$ — постоянная Эйлера — Маскерони. $t \,$, — вещественная переменная. $s \,$ — комплексная переменная. $\alpha \,$, $\beta \,$, $\tau \,$ и $\omega \,$ — вещественные числа. $n \,$ — целое число. Причинная система — система, в которой импульсная передаточная функция $h(t)$ равна нулю для любого момента времени $\ t < 0$.

Применения преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники.

• Решение систем дифференциальных и интегральных уравнений — с помощью преобразования Лапласа легко переходить от сложных понятий математического анализа к простым алгебраическим соотношениям.

• Расчёт передаточных функций динамических систем, таких, к примеру, как аналоговые фильтры.

• Расчёт выходных сигналов динамических систем в теории управления и обработке сигналов — так как выходной сигнал линейной стационарной системы равен свёртке её импульсной характеристики с входным сигналом, преобразование Лапласа позволяет заменить эту операцию на простое умножение.

• Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.

• Решение нестационарных задач математической физики.

Связь с другими преобразованиями

Фундаментальные связи

Практически все интегральные преобразования имеют схожую природу и могут получаться одно из другого через выражения соответствия. Многие из них являются частными случаями других преобразований. Далее даны формулы, связывающие преобразования Лапласа с некоторыми другими функциональными преобразованиями.

Преобразование Лапласа-Карсона

Преобразование Лапласа-Карсона получается из преобразования Лапласа путём домножения его на комплексную переменную. $$\mathcal{L_k}\left\{f(x)\right\} = sF(s)$$

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа $= \mathcal{L_B}$ связано с односторонним с помощью следующей формулы: $$\mathcal{L_B}\left\{f(x); s\right\} = \mathcal{L}\left\{f(x); s\right\} + \mathcal{L}\left\{f(-x); -s\right\}$$

Преобразование Фурье

Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа с комплексным аргументом $s = i\omega \!$: $$F(\omega) = \mathcal{F}\left\{f(x)\right\}$$ $$= \mathcal{L}\left\{f(x)\right\}|_{s = i \omega} = F(s)|_{s = i \omega}$$ $$= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\imath \omega x} f(x)\,\mathrm{d}x.$$

Примечание: в этих выражениях опущен масштабирующий множитель $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$, который часто включается в определения преобразования Фурье.

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа часто используется для того, чтобы определить частотный спектр сигнала или динамической системы.

Преобразование Меллина

Преобразование Меллина и обратное преобразование Меллина связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных. Если в преобразовании Меллина $$G(s) = \mathcal{M}\left\{g(\theta)\right\} = \int_0^\infty \theta^s g(\theta) \frac{d\theta}{\theta}$$ положим $\theta = \exp(-x) \!$, то получим двустороннее преобразование Лапласа.

Z-преобразование

Z-преобразование — это преобразование Лапласа решётчатой функции, производимое с помощью замены переменных: $$z \equiv e^{s T} \$$

где $T = 1/f_s \!$ — период дискретизации, а $f_s \!$ — частота дискретизации сигнала. Связь выражается с помощью следующего соотношения: $$X_q(s) = X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.$$

Преобразование Бореля

Интегральная форма преобразования Бореля идентична преобразованию Лапласа, существует также обобщённое преобразование Бореля, с помощью которого использование преобразования Лапласа распространяется на более широкий класс функций.

Библиография

• Ван-дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа.-М., ИЛ, 1952
• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961
• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1974.-542 с.
• Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике.-М., ИЛ, 1948
• Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1964
• Краснов М. Л., Макаренко Г. И. Операционное исчисление. Устойчивость движения.-М., Наука, 1964.-103 с.
• Микусинский Я. Операторное исчисление.-М., ИЛ, 1956
• Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1980.-336 с.

См. также

• Преобразование Фурье
• Дифференциальные уравнения

Внешние ссылки

• Преобразование Лапласа на сайте exponenta.ru