Сфера

Сфе́ра (греч. σφαῖρα — мяч) — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Площадь сферы в градусной мере с учётом непостоянства значения размеров дуг составляет 41252,96 кв. градусов.

Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны. Сфера является поверхностью шара.

Объём цилиндра, объём вписанной в него сферы, касающейся обоих его оснований, и удвоенный объём конуса, с вершиной в центре одного основания цилиндра и с основанием, совпадающим с другим основанием цилиндра, находятся в соотношении 3:2:1[1]

Основные геометрические формулыEdit

Площадь сферы

S =   4 π r 2 = π d 2 . S = \ 4\pi r^2 = \pi d^2.

Объём шара, ограниченного сферой

V = 4 3 π r 3 . V = \frac{4}{3} \pi r^3.

Площадь сегмента сферы

s =   2 π r H = 2 π r 2 ( 1 cos  Косинус  ( α ) ) , s = \ 2 \pi r H = 2 \pi r^2 ( 1 - \cos ( \alpha ) ) , где H — высота сегмента, а α \alpha  — зенитный угол

Сфера в трёхмерном пространствеEdit

Уравнение ( x x 0 ) 2 + ( y y 0 ) 2 + ( z z 0 ) 2 = R 2 , (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = R^2, где ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0)  — координаты центра сферы, R R  — её радиус.

Параметрическое уравнение сферы с центром в точке ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) : { x = x 0 + R sin  Синус  θ cos  Косинус  ϕ , y = y 0 + R sin  Синус  θ sin  Синус  ϕ , z = z 0 + R cos  Косинус  θ , \begin{cases} x = x_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \cos \phi,\\ y = y_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \sin \phi,\\ z = z_0 + R \cdot \cos \theta,\\ \end{cases} где θ [ 0 , π ] \theta \in [0, \pi] и ϕ [ 0 , 2 π ) . \phi \in [0, 2\pi).

Через четыре точки пространства M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) ; M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) ; M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) ; M 4 ( x 4 , y 4 , z 4 ) M_1(x_1,y_1,z_1)\,;\,M_2(x_2,y_2,z_2)\,;\,M_3(x_3,y_3,z_3)\,;\,M_4(x_4,y_4,z_4)\, может проходить единственная сфера с центром x 0 = 1 2 A x B x + C x D x U + V + W x_0=\frac 12 \cdot \frac{A_x-B_x+C_x-D_x}{U+V+W} y 0 = 1 2 A y B y + C y D y U + V + W y_0=\frac 12 \cdot \frac{A_y-B_y+C_y-D_y}{U+V+W} z 0 = 1 2 A z B z + C z D z U + V + W z_0=\frac 12 \cdot \frac{A_z-B_z+C_z-D_z}{U+V+W} где: U = ( z 1 z 2 ) ( x 3 y 4 x 4 y 3 ) ( z 2 z 3 ) ( x 4 y 1 x 1 y 4 ) U=(z_1-z_2)(x_3 y_4-x_4 y_3)-(z_2-z_3)(x_4 y_1-x_1 y_4) V = ( z 3 z 4 ) ( x 1 y 2 x 2 y 1 ) ( z 4 z 1 ) ( x 2 y 3 x 3 y 2 ) V=(z_3-z_4)(x_1 y_2-x_2 y_1)-(z_4-z_1)(x_2 y_3-x_3 y_2) W = ( z 1 z 3 ) ( x 4 y 2 x 2 y 4 ) ( z 2 z 4 ) ( x 1 y 3 x 3 y 1 ) W=(z_1-z_3)(x_4 y_2-x_2 y_4)-(z_2-z_4)(x_1 y_3-x_3 y_1) A x = ( x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 ) [ y 2 ( z 3 z 4 ) + y 3 ( z 4 z 2 ) + y 4 ( z 2 z 3 ) ] A_x=(x_1^2+y_1^2+z_1^2) [y_2(z_3-z_4)+y_3(z_4-z_2)+y_4(z_2-z_3)] B x = ( x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 ) [ y 3 ( z 4 z 1 ) + y 4 ( z 1 z 3 ) + y 1 ( z 3 z 4 ) ] B_x=(x_2^2+y_2^2+z_2^2) [y_3(z_4-z_1)+y_4(z_1-z_3)+y_1(z_3-z_4)] C x = ( x 3 2 + y 3 2 + z 3 2 ) [ y 4 ( z 1 z 2 ) + y 1 ( z 2 z 4 ) + y 2 ( z 4 z 1 ) ] C_x=(x_3^2+y_3^2+z_3^2) [y_4(z_1-z_2)+y_1(z_2-z_4)+y_2(z_4-z_1)] D x = ( x 4 2 + y 4 2 + z 4 2 ) [ y 1 ( z 2 z 3 ) + y 2 ( z 3 z 1 ) + y 3 ( z 1 z 2 ) ] D_x=(x_4^2+y_4^2+z_4^2) [y_1(z_2-z_3)+y_2(z_3-z_1)+y_3(z_1-z_2)] A y = ( x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 ) [ z 2 ( x 3 x 4 ) + z 3 ( x 4 x 2 ) + z 4 ( x 2 x 3 ) ] A_y=(x_1^2+y_1^2+z_1^2) [z_2(x_3-x_4)+z_3(x_4-x_2)+z_4(x_2-x_3)] B y = ( x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 ) [ z 3 ( x 4 x 1 ) + z 4 ( x 1 x 3 ) + z 1 ( x 3 x 4 ) ] B_y=(x_2^2+y_2^2+z_2^2) [z_3(x_4-x_1)+z_4(x_1-x_3)+z_1(x_3-x_4)] C y = ( x 3 2 + y 3 2 + z 3 2 ) [ z 4 ( x 1 x 2 ) + z 1 ( x 2 x 4 ) + z 2 ( x 4 x 1 ) ] C_y=(x_3^2+y_3^2+z_3^2) [z_4(x_1-x_2)+z_1(x_2-x_4)+z_2(x_4-x_1)] D y = ( x 4 2 + y 4 2 + z 4 2 ) [ z 1 ( x 2 x 3 ) + z 2 ( x 3 x 1 ) + z 3 ( x 1 x 2 ) ] D_y=(x_4^2+y_4^2+z_4^2) [z_1(x_2-x_3)+z_2(x_3-x_1)+z_3(x_1-x_2)] A z = ( x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 ) [ x 2 ( y 3 y 4 ) + x 3 ( y 4 y 2 ) + x 4 ( y 2 y 3 ) ] A_z=(x_1^2+y_1^2+z_1^2) [x_2(y_3-y_4)+x_3(y_4-y_2)+x_4(y_2-y_3)] B z = ( x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 ) [ x 3 ( y 4 y 1 ) + x 4 ( y 1 y 3 ) + x 1 ( y 3 y 4 ) ] B_z=(x_2^2+y_2^2+z_2^2) [x_3(y_4-y_1)+x_4(y_1-y_3)+x_1(y_3-y_4)] C z = ( x 3 2 + y 3 2 + z 3 2 ) [ x 4 ( y 1 y 2 ) + x 1 ( y 2 y 4 ) + x 2 ( y 4 y 1 ) ] C_z=(x_3^2+y_3^2+z_3^2) [x_4(y_1-y_2)+x_1(y_2-y_4)+x_2(y_4-y_1)] D z = ( x 4 2 + y 4 2 + z 4 2 ) [ x 1 ( y 2 y 3 ) + x 2 ( y 3 y 1 ) + x 3 ( y 1 y 2 ) ] D_z=(x_4^2+y_4^2+z_4^2) [x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)] Радиус данной сферы: R = ( x 1 x 0 ) 2 + ( y 1 y 0 ) 2 + ( z 1 z 0 ) 2 R=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2}

Геометрия на сфереEdit

  Основная статья: Сферическая геометрия

Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется большим кругом (большой окружностью) сферы. Большие окружности являются геодезическими линиями на сфере; любые два из них пересекаются в двух точках.

Расстояние между двумя точками на сфереEdit

Если даны сферические координаты двух точек, то расстояние между ними можно найти так: L = R arccos  Арккосинус  ( cos  Косинус  θ 1 cos  Косинус  θ 2 + sin  Синус  θ 1 sin  Синус  θ 2 cos  Косинус  ( ϕ 1 ϕ 2 ) ) . L = R \cdot \arccos ( \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 \cdot \cos (\phi_1 - \phi_2) ).

Однако, если угол θ \theta задан не между осью Z и вектором на точку сферы, а между этим вектором и плоскостью XY (как это принято в земных координатах, заданных широтой и долготой), то формула будет такая: L = R arccos  Арккосинус  ( sin  Синус  θ 1 sin  Синус  θ 2 + cos  Косинус  θ 1 cos  Косинус  θ 2 cos  Косинус  ( ϕ 1 ϕ 2 ) ) . L = R \cdot \arccos ( \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 + \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 \cdot \cos (\phi_1 - \phi_2) ).

В этом случае θ 1 \theta_1 и θ 2 \theta_2 называются широтами, а ϕ 1 \phi_1 и ϕ 2 \phi_2 долготами.

n-мерная сфераEdit

  Основная статья: Гиперсфера

В общем случае уравнение (n-1)-мерной сферы (в n-мерном евклидовом пространстве) имеет вид: i = 1 n ( x i a i ) 2 = r 2 , \sum_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2=r^2, где ( a 1 , . . . , a n ) (a_1,...,a_n)  — центр сферы, а r r  — радиус.

Пересечением двух n-мерных сфер является n-1-мерная сфера, лежащая на радикальной гиперплоскости этих сфер.

В n-мерном пространстве могут попарно касаться друг друга (в разных точках) не более n+1 сфер.

n-мерная инверсия переводит n-1-мерную сферу в n-1-мерную сферу или гиперплоскость.

См. такжеEdit

ПримечанияEdit

  1. 100 человек, которые изменили ход истории. Еженедельное издание. Архимед (Выпуск № 12, 2008). Блестящий ум