Постоянная Планка

Значения h	Единицы
6,626 070 040(81) · 10−34	Дж∙c
4,135 667 662(25) · 10−15	эВ∙c
6,626 070 040(81) · 10−27	эрг∙c

Постоя́нная Пла́нка, обозначаемая как h, является физической постоянной, используемой для описания величины кванта действия в квантовой механике. Данная постоянная впервые появилась в работах М. Планка, посвящённых тепловому излучению, и потому названа в его честь. Она присутствует как коэффициент между энергией E и частотой ν фотона в формуле Планка: $$~E = h\nu.$$

Скорость света c связана с частотой ν и длиной волны λ соотношением: $$~\nu = \frac{c}{\lambda}.$$

С учётом этого соотношение Планка записывается так: $$~E = \frac{hc}{\lambda}.$$

Часто применяется величина $$~\hbar\equiv\frac{h}{2\pi}=1,054\ 571\ 800(13)\times 10^{-34}$$ Дж•c, $$~\hbar=1,054\ 571\ 800(13)\times 10^{-27}$$ эрг•c, $$~\hbar=6,582\ 119\ 514(40)\times 10^{-16}$$ эВ•c, называемая редуцированной (или рационализированной) постоянной Планка или постоянной Дирака.

Постоянную Дирака удобно использовать тогда, когда применяется угловая частота ω, измеряемая в радианах за секунду, вместо обычной частоты ν, измеряемой количеством циклов за секунду. Так как ω = 2πν, то справедлива формула: $$~E = \hbar\omega.$$

Согласно гипотезе Планка, впоследствии подтверждённой, энергия атомных состояний является квантованной. Это приводит к тому, что нагретое вещество излучает электромагнитные кванты или фотоны определённых частот, спектр которых зависит от химического состава вещества.

В Юникоде постоянная Планка занимает позицию U+210E (h), а постоянная Дирака U+210F (ħ).

Величина

Постоянная Планка имеет размерность энергии, умноженной на время, как и размерность действия. В международной системе единиц СИ постоянная Планка выражается в единицах Дж•с. Такую же размерность имеет произведение импульса на расстояние в виде Н•м•с, а также момент импульса.

Значение постоянной Планка равно: $$h = 6,626070040(81) \times 10^{-34}$$Дж•с $= 4,135 667 662(25)\times 10^{-15}$ эВ•с.

Две цифры между скобками обозначают неопределённость в двух последних цифрах значения постоянной Планка (данные обновляются приблизительно каждые 4 года).

Происхождение постоянной Планка

Излучение чёрного тела

Интенсивность света, излучаемая чёрным телом в зависимости от длины волны. Кривые обозначены разным цветом и построены для разных температур тела. Планк был первым, кто объяснил форму этих кривых

В конце 19 века Планк исследовал проблему излучения абсолютно чёрного тела, которую за 40 лет до этого сформулировал Кирхгоф. Нагретые тела светятся тем сильнее, чем выше их температура и больше внутренняя тепловая энергия. Теплота распределяется между всеми атомами тела, приводя их в движение друг относительно друга и к возбуждению электронов в атомах. При переходе электронов к устойчивым состояниям излучаются фотоны, которые могут снова поглощаться атомами. При каждой температуре возможно состояние равновесия между излучением и веществом, при этом доля энергии излучения в общей энергии системы зависит от температуры. В состоянии равновесия с излучением абсолютно чёрное тело не только поглощает всё падающее на него излучение, но и излучает само то же самое количество энергии, по определённому закону распределения энергии по частотам. Закон, связывающий температуру тела с мощностью общей излучаемой энергии с единицы поверхности тела, носит название закон Стефана-Больцмана и был установлен в 1879‒1884 гг.

При нагревании увеличивается не только общее количество излучаемой энергии, но меняется и состав излучения. Это видно по тому, что меняется цвет нагреваемых тел. Согласно закону смещения Вина 1893 г., основанному на принципе адиабатического инварианта, для каждой температуры можно вычислить длину волны излучения, при которой тело светится наиболее сильно. Вин сделал достаточно точную оценку формы энергетического спектра чёрного тела при высоких частотах, но не смог объяснить ни форму спектра, ни его поведение при низких частотах.

Планк предположил, что поведение света подобно движению набора множества одинаковых гармонических осцилляторов. Он изучал изменение энтропии этих осцилляторов в зависимости от температуры, пытаясь обосновать закон Вина, и нашёл подходящую математическую функцию для спектра чёрного тела.

Однако вскоре Планк понял, что кроме его решения возможны и другие, приводящие к другим значениям энтропии осцилляторов. В результате он был вынужден использовать вместо феноменологического подхода отвергаемую им ранее статистическую физику, что он описывал как «акт отчаяния … Я был готов пожертвовать любыми моими предыдущими убеждениями в физике.» Одним из новых принятых Планком условий было:

интерпретировать U_N (энергия колебаний N осцилляторов) не как непрерывную неограниченно делимую величину, а как дискретную величину, состоящую из суммы ограниченных равных частей. Обозначим каждую такую часть в виде элемента энергии через ε;

С этим новым условием Планк фактически вводил квантованность энергии осцилляторов, говоря, что это «чисто формальное предположение … на самом деле я не думал об этом глубоко…», однако это привело к настоящей революции в физике. Применение нового подхода к закону смещения Вина показало, что «элемент энергии» должен быть пропорционален частоте осциллятора. Это было первой версией того, что сейчас называется «формула Планка»: $$~E = h\nu.$$

Планку удалось вычислить значение h из экспериментальных данных по излучению чёрного тела: его результат был 6,55 • 10⁻³⁴ Дж•с, с точностью 1,2 % от принятого сейчас значения. Он также смог впервые определить постоянную Больцмана k_B из тех же данных и своей теории.

До теории Планка предполагалось, что энергия тела может быть любой, являясь непрерывной функцией. Это эквивалентно тому, что элемент энергии ε (разность между дозволенными уровнями энергии) равен нулю, следовательно должна быть равна нулю и h. Исходя из этого следует понимать утверждения о том, что «постоянная Планка равна нулю в классической физике» или что «классическая физика является пределом квантовой механики при устремлении постоянной Планка к нулю». Вследствие малости постоянной Планка она почти не проявляется в обычном человеческом опыте и до работ Планка была незаметна.

Проблема чёрного тела была пересмотрена в 1905 г., когда Рэлей и Джинс с одной стороны, и Эйнштейн с другой стороны, независимо доказали, что классическая электродинамика не может обосновать наблюдаемый спектр излучения. Это привело к так называемой «ультрафиолетовой катастрофе», обозначенной таким образом Эренфестом в 1911 г. Усилия теоретиков (вместе с работой Эйнштейна по фотоэффекту) привели к признанию того, что постулат Планка о квантовании уровней энергии является не простым математическим формализмом, а важным элементом представлений о физической реальности. Первый Сольвеевский конгресс в 1911 г. был посвящён «теории радиации и квантов». Макс Планк в 1918 г. получил Нобелевскую премию по физике «за признание заслуг в развитии физики и открытие кванта энергии».

Фотоэффект

Фотоэффект заключается в эмиссии электронов (называемых фотоэлектронами) с поверхности при освещении её светом. Впервые он наблюдался Беккерелем в 1839 г., хотя обычно упоминается Генрих Герц, который опубликовал в 1887 г. обширное исследование на эту тему. Столетов в 1888‒1890 гг. сделал несколько открытий в области фотоэффекта, в том числе вывел первый закон внешнего фотоэффекта. Другое важное исследование фотоэффекта опубликовал Ленард в 1902 г. Хотя Эйнштейн не проводил сам экспериментов по фотоэффекту, но его работа 1905 г. рассматривала эффект на основе световых квантов. Это принесло Эйнштейну нобелевскую премию в 1921 г., когда его предсказания были подтверждены экспериментальной работой Милликена. В это время теория фотоэффекта Эйнштейна рассматривалась как более значительная, чем его теория относительности.

До работы Эйнштейна каждое электромагнитное излучение рассматривалось в виде набора волн, обладающих своей «частотой» или «длиной волны». Энергия, переносимая волной за единицу времени, называется интенсивностью. Аналогичные параметры имеют и другие виды волн, например звуковая волна или волна на воде. Однако перенос энергии, связанной с фотоэффектом, не согласуется с волновой картиной света.

Кинетическая энергия фотоэлектронов, появляющихся в фотоэффекте, может быть измерена. Оказывается, что она не зависит от интенсивности света, но зависит линейно от частоты. При этом увеличение интенсивности света приводит не к увеличению кинетической энергии фотоэлектронов, а к увеличению их количества. Если же частота слишком мала и кинетическая энергия фотоэлектронов порядка нуля, то фотоэффект исчезает, несмотря на значительную интенсивность света.

Согласно объяснению Эйнштейна, в данных наблюдениях проявляется квантовая природа света; энергия света переносится малыми «пакетами» или квантами, а не в виде непрерывной волны. Величина этих «пакетов» энергии, которые позже назвали фотонами, была той же самой, что и у «элементов энергии» Планка. Это привело к современному виду формулы Планка для энергии фотона: $$~E = h\nu.$$ Постулат Эйнштейна был доказан экспериментально: постоянная пропорциональности между частотой света ν и энергией фотона E оказалась равной постоянной Планка h.

Структура атома

Схематическая модель Бора атома водорода. Показан переход электрона с уровня n=3 на уровень n=2, приводящий к возникновению кванта видимого света с длиной волны 656 нм (красный), в соответствии с предсказаниями модели

Нильс Бор представил первую квантовую модель атома в 1913 г., пытаясь избавиться от затруднений классической модели атома Резерфорда. Согласно классической электродинамике, точечный заряд при вращении вокруг неподвижного центра должен излучать электромагнитную энергию. Если такая картина справедлива для электрона в атоме при его вращении вокруг ядра, то с течением времени электрон потеряет энергию и упадёт на ядро. Для преодоления этого парадокса Бор предложил считать, аналогично тому, как это имеет место у фотонов, что электрон в водородоподобном атоме должен иметь квантованные энергии E_n: $$~E_n = -\frac {h Z^2 c R_\infty } {n^2},$$

где R_∞ есть экспериментально определённая константа (постоянная Ридберга в единицах обратной длины), с — скорость света, n — целое число (n = 1, 2, 3, …), Z — порядковый номер химического элемента в таблице Менделеева, равный единице для атома водорода. Электрон, попавший на нижний энергетический уровень (n = 1), находится в основном состоянии атома и уже не может, в силу пока не определённых в квантовой механике причин, уменьшить свою энергию. Такой подход позволил Бору прийти к формуле Ридберга, эмпирически описывающей спектр излучения атома водорода, и вычислить значение постоянной Ридберга R_∞ через другие фундаментальные константы.

Бор также ввёл величину h/2π, известную как редуцированная постоянная Планка или постоянная Дирака ħ, как квант момента импульса. Бор предполагал, что ħ определяет модуль момента импульса каждого электрона в атоме. Но это оказалось неточным, несмотря на улучшения теории Бора Зоммерфельдом и другими. Более корректной оказалась квантовая теория, в виде матричной механики Гейзенберга в 1925 г. и в виде уравнения Шрёдингера в 1926 г. При этом постоянная Дирака осталась фундаментальным квантом момента импульса. Если J есть общий момент импульса системы с инвариантностью вращения, и J_z есть момент импульса, измеряемый вдоль выделенного направления, то эти величины могут иметь только следующие значения: $\begin{align} J^2 = j(j+1) \hbar^2,\quad & j = 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \ldots, \\ J_z = m \hbar, \qquad\quad\quad & m = -j, -j+1, \ldots, j. \end{align}$

Принцип неопределённости

Постоянная Планка содержится также в выражении для принципа неопределённости Вернера Гейзенберга. Если брать большое количество частиц в одном и том же состоянии, то неопределённость в их положении Δx , и неопределённость в их импульсе (в том же самом направлении), Δp, подчиняются соотношению: $$~ \Delta x\, \Delta p ≥ \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \hbar,$$ где неопределённость задаётся как среднеквадратическое отклонение измеряемой величины от её математического ожидания. Существуют и другие подобные пары физических величин, для которых справедливо соотношение неопределённостей.

В квантовой механике постоянная Планка входит в выражение для коммутатора между оператором положения $\hat{x}$ и оператором импульса $\hat{p}$: $$~[\hat{p}_i, \hat{x}_j] = -i \hbar \delta_{ij},$$ где δ_ij есть символ Кронекера.

Спектр тормозного рентгеновского излучения

При взаимодействии электронов с электростатическим полем атомных ядер возникает тормозное излучение в виде рентгеновских квантов. Известно, что частотный спектр тормозного рентгеновского излучения имеет точную верхнюю границу, называемую фиолетовой границей. Её существование вытекает из квантовых свойств электромагнитного излучения и закона сохранения энергии. Действительно, $$~h\frac{c}{\lambda}=eU,$$ где $~c$ — скорость света, $$~\lambda$$— длина волны рентгеновского излучения, $$~e$$— заряд электрона, $$~U$$— ускоряющее напряжение между электродами рентгеновской трубки.

Тогда постоянная Планка будет равна: $$~h=\frac{{\lambda}{Ue}}{c}.$$

Физические константы, связанные с постоянной Планка

Список констант, указанных ниже, основан на данных 2014 CODATA. Приблизительно 90 % неточности в этих константах связаны с неточностью определения постоянной Планка, как это видно из квадрата коэффициента корреляции Пирсона (r² > 0,99, r > 0,995). Если сравнивать с другими константами, постоянная Планка известна с точностью порядка $u_r=1,2 \cdot 10^{-8}$ при  неопределённости измерения 1σ. Эта точность значительно лучше, чем у гравитационной постоянной или у универсальной газовой постоянной.

Масса покоя электрона

Как правило, постоянная Ридберга R_∞ (в единицах обратной длины) определяется через массу электрона m_e и другие физические константы: $$~R_\infty = \frac{m_{\rm e} e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c} = \frac{m_{\rm e} c \alpha^2}{2 h}.$$

Постоянная Ридберга может быть определена очень точно ($u_r=6,6 \cdot 10^{-12}$) из спектра атома водорода, тогда как для массы электрона нет прямого способа измерения. Поэтому для определения массы электрона используется формула: $$~m_{\rm e} = \frac{2 R_{\infty} h}{c \alpha^2},$$

где c есть скорость света и α есть постоянная тонкой структуры. Скорость света достаточно точно определяется в системе единиц СИ, как и постоянная тонкой структуры ($u_r=6,8 \cdot 10^{-10}$). Поэтому неточность определения массы электрона зависит только от неточности постоянной Планка (r² > 0,999).

Постоянная Авогадро

Число Авогадро N_A определяется как отношение массы одного моля электронов к массе одного электрона. Для её нахождения нужно взять массу одного моля электронов в виде «относительной атомной массы» электрона A_r(e), измеряемой в ловушке Пеннинга ($u_r=4,2 \cdot 10^{-10}$), умноженной на единицу молярной массы M_u, которая в свою очередь определяется как 0,001 кг/моль. В результате получается: $$~N_{\rm A} = \frac{M_{\rm u} A_{\rm r}({\rm e})}{m_{\rm e}} = \frac{M_{\rm u} A_{\rm r}({\rm e}) c \alpha^2}{2 R_{\infty} h}.$$ Зависимость числа Авогадро от постоянной Планка (r² > 0,999) повторяется и для других постоянных, связанных с количеством вещества, например, для атомной единицы массы. Неопределённость в значении постоянной Планка ограничивает значения атомных масс и частиц в единицах системы СИ, то есть в килограммах. В то же время отношения масс частиц известны с лучшей точностью.

Элементарный заряд

Зоммерфельд первоначально определял постоянную тонкой структуры α так: $$~\alpha\ =\ \frac{e^2}{\hbar c \ 4 \pi \epsilon_0}\ =\ \frac{e^2 c \mu_0}{2 h},$$ где e есть элементарный заряд, ε₀ — электрическая постоянная (называемая также диэлектрической проницаемостью вакуума), μ₀ — магнитная постоянная или магнитная проницаемость вакуума. Последние две постоянные имеют фиксированные значения в системе единиц СИ. Значение α может быть определено экспериментально путём измерения g-фактора электрона g_e и последующего сравнения со значением, вытекающим из квантовой электродинамики.

В настоящее время наиболее точное значение элементарного электрического заряда получается из приведённой выше формулы: $$~e = \sqrt{\frac{2\alpha h}{\mu_0 c}}.$$

Магнетон Бора и ядерный магнетон

Магнетон Бора и ядерный магнетон являются единицами, используемыми для описания магнитных свойств электрона и атомных ядер соответственно. Магнетон Бора есть магнитный момент, который ожидается у электрона, если бы он вёл себя как вращающаяся заряженная частица согласно классической электродинамике. Его значение выводится через постоянную Дирака, элементарный электрический заряд и массу электрона. Все эти величины выводятся через постоянную Планка, результирующая зависимость от h^½ (r² > 0,995) может быть найдена с учётом формулы: $$~\mu_{\rm B} = \frac{e \hbar}{2 m_{\rm e}} = \sqrt{\frac{c \alpha^5 h}{32 \pi^2 \mu_0 R_{\infty}^2}}.$$

Ядерный магнетон имеет похожее определение, с той разницей, что протон значительно массивнее электрона. Отношение электронной относительной атомной массы к протонной относительной атомной массе может быть определено с большой точностью ($u_r=4,3 \cdot 10^{-10}$). Для связи между обоими магнетонами можно записать: $$~\mu_{\rm N} = \mu_{\rm B} \frac{A_{\rm r}({\rm e})}{A_{\rm r}({\rm p})}.$$

Определение из экспериментов

Метод	Значение h, 10-34Дж∙с	Точность определения	Ссылка
Баланс мощности	6,626 068 89(23)	3,4∙10-8
Рентгеновская плотность кристалла	6,626 074 5(19)	2,9∙10-7
Постоянная Джозефсона	6,626 067 8(27)	4,1∙10-7
Магнитный резонанс	6,626 072 4(57)	8,6∙10-7
Постоянная Фарадея	6,626 065 7(88)	1,3∙10-6
CODATA 2010 принятое значение	6,626 069 57(29)	4,4∙10-8
Для пяти различных методов указаны девять недавних измерений постоянной Планка. В случае, если имеется более одного измерения, указывается средневзвешенное значение h согласно методике CODATA.

Постоянная Планка может быть определена из спектра излучающего чёрного тела или кинетической энергии фотоэлектронов, как это было сделано в начале двадцатого века. Однако данные методы не самые точные. Значение h согласно CODATA основано на базе трёх измерений методом баланса мощностей произведения величин K_J²R_K и одного межлабораторного измерения молярного объёма кремния,в основном методом баланса мощностей до 2007 г. в США в National Institute of Standards and Technology (NIST). Другие измерения, указанные в таблице, не повлияли на результат из-за недостаточной точности.

Имеются как практические, так и теоретические трудности при определении h. Так, наиболее точные методы баланса мощности и рентгеновской плотности кристалла не полностью согласуются друг с другом по своим результатам. Это может быть следствием переоценки точности в этих методах. Теоретические трудности вытекают из того, что все методы, кроме рентгеновской плотности кристалла, основаны на теоретической базе эффекта Джозефсона и квантового эффекта Холла. При некоторой возможной неточности этих теорий возникнет и неточность в определении постоянной Планка. При этом полученное значение постоянной Планка уже не может использоваться как тест для проверки этих теорий во избежание замкнутого логического круга. Положительным моментом является то, что имеются независимые статистические способы проверки этих теорий.

Постоянная Джозефсона

Постоянная Джозефсона K_J связывает разность потенциалов U, возникающую в эффекте Джозефсона в «контактах Джозефсона», с частотой ν микроволнового излучения. Из теории достаточно строго следует выражение: $$~K_{\rm J} = U\nu = 2e/h.$$

Постоянная Джозефсона может быть измерена путём сравнения с разностью потенциалов, возникающей в батарее контактов Джозефсона. Для измерения разности потенциалов используется компенсация электростатической силы силой гравитации. Из теории следует, после замены электрического заряда e на его значение через фундаментальные постоянные (см. выше Элементарный заряд), выражение для постоянной Планка через K_J: $$~h = \frac{8\alpha}{\mu_0 c K_{\rm J}^2}.$$

Баланс мощности

В данном методе осуществляется сравнение двух видов мощности, одна из которых измеряется в системе единиц СИ в ваттах, а другая измеряется в условных электрических единицах. Из определения условного ватта W₉₀, он даёт меру для произведения K_J²R_K в единицах СИ, где R_K есть постоянная Клитцинга, появляющаяся в квантовом эффекте Холла. Если теоретическая трактовка эффекта Джозефсона и квантового эффекта Холла верна, тогда R_K = h/e², и измерение K_J²R_K приводит к определению постоянной Планка: $$~h = \frac{4}{K_{\rm J}^2 R_{\rm K}}.$$

Магнитный резонанс

Гиромагнитное отношение γ является коэффициентом пропорциональности между частотой ν ядерного магнитного резонанса (или электронного парамагнитного резонанса для электронов), и приложенным магнитным полем B: ν = γB. Хотя имеется трудность в определении гиромагнитного отношения из-за неточности измерения B, для протонов в воде при 25 °C она известна с лучшей точностью, чем 10^-6. Протоны частично «экранируются» от приложенного магнитного поля электронами молекул воды. Такой же эффект приводит к химическому сдвигу в ядерно-магнитной спектроскопии, и обозначается штрихом у символа гиромагнитного отношения, γ′_p. Гиромагнитное отношение связано с магнитным моментом экранированного протона μ′_p, спиновым квантовым числом S (S=1/2 для протонов) и постоянной Дирака: $$~\gamma^{\prime}_{\rm p} = \frac{\mu^{\prime}_{\rm p}}{S \hbar} = \frac{2 \mu^{\prime}_{\rm p}}{\hbar}.$$

Отношение магнитного момента экранированного протона μ′_p к магнитному моменту электрона μ_e может быть измерено независимо с высокой точностью, поскольку неточность магнитного поля на результате сказывается мало. Значение μ_e, выраженное в магнетонах Бора, равно половине электронного g-фактора g_e. Следовательно, $$~\mu^{\prime}_{\rm p} = \frac{\mu^{\prime}_{\rm p}}{\mu_{\rm e}} \frac{g_{\rm e} \mu_{\rm B}}{2},$$ $$~\gamma^{\prime}_{\rm p} = \frac{\mu^{\prime}_{\rm p}}{\mu_{\rm e}} \frac{g_{\rm e} \mu_{\rm B}}{\hbar}.$$

Дальнейшее усложнение связано с тем, что для измерения γ′_p необходимо измерение электрического тока. Этот ток независимо измеряется в условных амперах, поэтому для перевода в амперы системы СИ требуется коэффициент пересчёта. Символом Γ′_p-90 обозначается измеряемое гиромагнитное отношение в условных электрических единицах (разрешённое использование данных единиц началось с начала 1990 г.). Эта величина может измеряться двумя способами, методом «слабого поля» и методом «сильного поля», и коэффициент пересчёта в этих случаях получается различным. Обычно для измерения постоянной Планка используется метод сильного поля и значение Γ′_p-90(hi): $$~\gamma^{\prime}_{\rm p} = \frac{K_{\rm J-90} R_{\rm K-90}}{K_{\rm J} R_{\rm K}} \Gamma^{\prime}_{\rm p-90}({\rm hi}) = \frac{K_{\rm J-90} R_{\rm K-90} e}{2} \Gamma^{\prime}_{\rm p-90}({\rm hi}).$$ После замены получается выражение для постоянной Планка через Γ′_p-90(hi): $$~h = \frac{c \alpha^2 g_{\rm e}}{2 K_{\rm J-90} R_{\rm K-90} R_{\infty} \Gamma^{\prime}_{\rm p-90}({\rm hi})} \frac{\mu_{\rm p}^{\prime}}{\mu_{\rm e}}.$$

Постоянная Фарадея

Постоянная Фарадея F есть заряд одного моля электронов, равный числу Авогадро N_A, умноженному на элементарный электрический заряд e. Она может быть определена при тщательных экспериментах по электролизу, путём измерения количества серебра, перемещённого с одного электрода на другой за данное время при заданном электрическом токе. На практике она измеряется в условных электрических единицах, и обозначается F₉₀. Подставляя значения N_A и e, и переходя от условных электрических единиц к единицам СИ, получают соотношение для постоянной Планка: $$~h = \frac{c M_{\rm u} A_{\rm r}({\rm e})\alpha^2}{R_{\infty}} \frac{1}{K_{\rm J-90} R_{\rm K-90} F_{90}}.$$

Рентгеновская плотность кристалла

Метод рентгеновской плотности кристалла является основным методом измерения постоянной Авогадро N_A, а через неё и постоянной Планка h. Для нахождения N_A берётся отношение между объёмом элементарной ячейки кристалла, измеряемой методом рентгеноструктурного анализа, и молярным объёмом вещества. Используются кристаллы кремния, поскольку они доступны с высоким качеством и чистотой благодаря технологии, развитой при производстве полупроводников. Объём элементарной ячейки вычисляется из пространства между двумя кристаллическими плоскостями, обозначаемыми d₂₂₀. Молярный объём V_m(Si) вычисляется через плотность кристалла и атомный вес используемого кремния. Постоянная Планка даётся выражением: $$~h = \frac{M_{\rm u} A_{\rm r}({\rm e}) c \alpha^2}{R_{\infty}} \frac{\sqrt{2}d^3_{220}}{V_{\rm m}({\rm Si})}.$$

Постоянная Планка в системе единиц СИ

Как было указано выше, численное значение постоянной Планка зависит от используемой системы единиц. Её значение в системе единиц СИ известно с точностью 1,2∙10^-8, хотя в атомных (квантовых) единицах она определяется точно (в атомных единицах путём выбора единиц энергии и времени можно добиться того, чтобы постоянная Дирака как редуцированная постоянная Планка равнялась 1). Такая же ситуация имеет место в условных электрических единицах, где постоянная Планка (записывается h₉₀ в отличие от обозначения в СИ) даётся выражением: $$~h_{90} = \frac{4}{K_{J-90}^2 R_{K-90}},$$

где K_J-90 и R_K-90 являются точно определёнными постоянными. Атомные единицы и условные электрические единицы удобно использовать в соответствующих областях, так как неопределенности в окончательном результате зависят только от неопределённостей измерений, не требуя дополнительного и вносящего неточность коэффициента пересчёта в систему СИ.

Существует ряд предложений по модернизации значений существующей системы базовых единиц СИ с помощью фундаментальных физических констант. Это уже было сделано для метра, который определяется через заданное значение скорости света. Возможной следующей единицей для пересмотра является килограмм, чьё значение фиксируется с 1889 г. массой малого цилиндра из платиноиридиевого сплава, хранящегося под тремя стеклянными колпаками. Имеется порядка 80 копий таких стандартов массы, которые периодически сравниваются с международной единицей массы. Точность вторичных эталонов изменяется со временем за счёт их использования, вплоть до значений в десятки микрограммов. Это приблизительно соответствует неточности в определении постоянной Планка.

На 24-й Генеральной конференции по мерам и весам 17—21 октября 2011 года была единогласно принята резолюция, в которой, в частности, предложено в будущей ревизии Международной системы единиц (СИ) переопределить единицы измерений СИ таким образом, чтобы постоянная Планка была равной точно 6,62606X• 10⁻³⁴ Дж•с, где Х заменяет одну или более значащих цифр, которые будут определены в дальнейшем на основании наиболее точных рекомендаций CODATA.. В этой же резолюции предложено таким же образом определить как точные значения постоянную Авогадро, элементарный заряд и постоянную Больцмана.

Постоянная Планка в теории бесконечной вложенности материи

В отличие от атомизма, в теории бесконечной вложенности материи отсутствуют материальные объекты — частицы с минимальной массой или размерами. Вместо этого предполагается бесконечная делимость материи на всё более уменьшающиеся структуры, и одновременно существование множества объектов, по размерам значительно превышающих нашу Метагалактику. При этом материя организуется в отдельные уровни по массам и размерам, для которых возникает подобие уровней материи, проявляется масштабное измерение и осуществляется квантованность параметров космических систем.

Так же как постоянная Больцмана и ряд других констант, постоянная Планка отражает свойства, присущие уровню элементарных частиц (в первую очередь нуклонам и электронам, составляющим вещество). С одной стороны, постоянная Планка связывает энергию фотонов и их частоту; с другой стороны, она с точностью до небольшого численного коэффициента $2 \pi$, в виде постоянной Дирака ħ задаёт единицу орбитального момента электрона в атоме. Такая связь не случайна, поскольку при излучении из атома электрон уменьшает свой орбитальный момент импульса, передавая его фотону за период существования возбуждённого состояния. За один период обращения электронного облака вокруг ядра фотон получает такую долю энергии, которая соответствует доле переданного электроном момента импульса. Средняя частота фотона близка к частоте вращения электрона вблизи уровня энергии, куда электрон переходит при излучении, поскольку мощность излучения электрона быстро нарастает при приближении к ядру.

Математически это можно описать так. Уравнение вращательного движения имеет вид: $$~K =\frac{dL}{dt},$$ где $K$ — момент силы, $L$ — момент импульса. Если умножить это соотношение на приращение угла вращения $d \varphi$ и учесть, что $Kd \varphi=dE$ есть изменение энергии вращения электрона, а $\omega =\frac{d \varphi }{dt}$ есть угловая частота орбитального вращения, то будет: $$~ dE =\omega dL.$$ В этом соотношении энергию $dE$ можно трактовать как приращение энергии излучаемого фотона при приращении им момента импульса на величину $dL$. Для полной энергии фотона $E$ и полного момента импульса фотона $\hbar$ величину $\omega$ следует понимать как усреднённую угловую частоту фотона.

В дополнение к корреляции свойств излучаемых фотонов и атомных электронов через момент импульса, атомные ядра также обладают моментами импульса, выражаемыми в единицах ħ. Можно поэтому предположить, что постоянная Планка описывает вращательное движение элементарных частиц (спин нуклонов, ядер и электронов, орбитальное движение электронов в атоме), и преобразование энергии вращения и колебаний заряженных частиц в энергию излучения. Кроме этого, основываясь на идее корпускулярно-волнового дуализма, в квантовой механике всем частицам приписывается сопутствующая им материальная волна де Бройля. Эта волна рассматривается в виде волны амплитуды вероятности нахождения частицы в той или иной точке пространства. Как и для фотонов, постоянные Планка и Дирака в таком случае становятся коэффициентами пропорциональности для квантовой частицы, входя в выражения для импульса частицы $\vec p$, для энергии $E$ и для действия $S$: $$~\vec p = \hbar \vec k,$$$~( |\vec p|= h / \lambda ),$ $$~E = \hbar \omega= h\nu,$$ $$~S = \hbar \phi,$$

где $\vec k$ — волновой вектор, $\lambda$ и $\nu$ — длина и частота соответствующей волны, $\omega$ — угловая частота волны, $\phi$ — фаза волны.

Если теперь перейти к другим уровням материи, то для них также можно определить характерные моменты импульса и соответствующие постоянные. Используя коэффициенты подобия между уровнями материи и SPФ-симметрию, для уровня вырожденных звёздных объектов типа нейтронных звёзд было найдено, что h’_s = h ∙ Ф’ ∙ S’ ∙ Р’ = 3,5∙10⁴² Дж∙с (здесь Ф’ ∙ S’ ∙ Р’ — коэффициенты подобия по массе, скоростям процессов и размерам соответственно). Величина h’_s называется звёздная постоянная Планка. С помощью коэффициентов подобия могут быть определены аналогичные постоянные для каждого уровня материи, как характерные моменты импульса и действия типичных объектов на этих уровнях.

См. также

• Спин
• Введение в квантовую механику
• Планковские единицы
• Квант
• Принцип неопределённости Гейзенберга
• Корпускулярно-волновой дуализм
• Бесконечная вложенность материи
• Подобие уровней материи
• SPФ-симметрия
• Квантованность параметров космических систем
• Звёздные постоянные
• Звёздная постоянная Планка
• Звёздная постоянная Дирака
• Дискретность параметров звёзд
• Водородная система
• Длина волны де Бройля

Литература

• Barrow, John D. (2002). The Constants of Nature; From Alpha to Omega — The Numbers that Encode the Deepest Secrets of the Universe. Pantheon Books. ISBN 0-375-42221-8.

Внешние ссылки

• История уточнения постоянной Планка
• The NIST Reference on Constants, Units and Uncertainty
• Quantum of Action and Quantum of Spin — Numericana