Линейная алгебра

Лине́йная а́лгебра — часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. Векторные пространства встречаются в математике и её приложениях повсеместно. Линейная алгебра широко используется в общей алгебре и функциональном анализе и находит многочисленные приложения в естественных науках.

Предмет линейной алгебры

К линейной алгебре относят: теорию линейных уравнений, теорию определителей, теорию матриц, теорию векторных пространств и линейных преобразований в них, теорию форм (например, квадратичных), теорию инвариантов (частично), тензорное исчисление (частично).

Система линейных алгебраических уравнений

Система линейных уравнений от трёх переменных определяет набор плоскостей. Точка пересечения является решением.

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными — это система уравнений вида $$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases}$$

Она может быть представлена в матричной форме как: $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$$ или: $$Ax = b.$$

Векторные пространства

Векторное пространство — множество элементов, или векторов, в котором определены операции сложения и умножения на скаляр, для которых действует ряд аксиом. Скаляром является элемент числового поля. Линейное отображение — важное понятие теории векторных пространств — представляет собой гомоморфизм над одни м и тем же полем. Линейное отображение пространства в себя называется линейным преобразованием. Для конечномерного пространства выбор базиса позволяет определить квадратную матрицу линейного преобразования в данном базисе.

Приложения

Евклидовы пространства, аффинные пространства, а также многие другие пространства, изучаемые в геометрии, определяются на основе векторного пространства. Автоморфизмы векторного пространства над полем образуют группу относительно умножения, изоморфную группе невырожденных квадратных матриц, что связывает линейную алгебру с теорией групп, в частности с теорией линейных представлений групп.

Переход от используемых в линейной алгебре n-мерных векторных пространств к бесконечномерным линейным пространствам нашёл своё отражение в некоторых разделах функционального анализа.

Исторический очерк

Исторически первым вопросом линейной алгебры был вопрос о линейных уравнениях. Линейные уравнения, как уравнения прямых и плоскостей, стали естественным предметом изучения после изобретения Декартом и Ферма метода координат (около 1636)^[?]. Построение теории систем таких уравнений потребовало таких инструментов, как матрицы, её определители и ранги. В 1750 году для решения систем линейных уравнений было предложено правило Крамера (число уравнений равно числу неизвестных и определитель от коэффициентов не равен нулю), а в 1849 году — метод Гаусса. В 1877 году Фробениус предложил понятие ранга матрицы, что позволило сформулировать теорему Кронекера — Капелли.

В XX веке основным объектом изучения линейной алгебры становится векторное пространство.

Гамильтон в своей работе 1833 представлял комплексные числа в виде, как мы бы сейчас сказали, двумерного вещественного векторного пространства, ему принадлежит открытие кватернионов, а также авторство термина «вектор». Теория матриц была разработана в трудах Кэли (1850-е). Системы линейных уравнений в матрично-векторном виде впервые появились, по-видимому, в работах Лагерра (1867). Грассман в работах 1844 и 1862 года изучает то, что мы теперь назвали бы алгебрами, и его формальное изложение по существу является первой аксиоматической теорией алгебраических систем. В явном виде аксиомы линейного пространства сформулированы в работе Пеано (1888)^[?].

Линейная функция цветного зрения

Рис.8. Основные, базисные спектры цветов (RGB) ответа колбочками — трёхкомпонентной системы. Это оппонентно выделяемые самые яркие основные лучи S,М.,L (синие, зелёные, красные) колбочками с длинами волн спектра, данными в нанометрах

Начиная с каждой длины волны — w стимулирует каждый из 3 типов клеток колбочек сетчатки глаза до известной степени, и эти степени могут быть представлены 3 функциями клеток-колбочек s (w), м. (w), l (w) ответу S, М., L, соответственно. (см. рис.8). При этом каждая колбочка, сфокусированный на неё пучок лучей предметной точки, оппонентно выделяет самый яркий один из основных цветов S,M,L (синий, зелёный, красный (RGB)) в виде эквивалентных биосигналов в мозг. Здесь выделенные биосигналы S,М.,L = RGB составляют ответы колбочек как точки линейных функций s (w), м. (w), l (w).

Откуда визуальное цветное зрение — основа современных концепций в том числе и математики цветного зрения.

Цветовое зрение, происходящее в зрительной системе инициируется поглощением света с помощью трех различных спектральных классов «шишек» (колбочек). Следовательно, цветовое видение описывается как трёхвариантное восприятие осноных цветов или как восприятие, ощущение цвета. Первоначально психофизические исследования показали, что цвета могут быть настроены на использование трех различных систем (праймериз). В 1802 году, Томас Молодых предложил модель, по которой восприятие цвета может быть закодировано на три основных цвета S,M,L фоторецепторов, но не на кодировании тысяч цветовых рецепторов для отдельных цветов. (См. Визуальное цветное зрение (версия Миг)).

Наконец, так как пучок света может быть составным, состоящим из излучений многих различных длин волны, определять степень, в которой физический цвет C в H_цвет стимулирует каждую клетку колбочки сетчатки глаза, мы должны вычислить интеграл (относительно w), по интервалу [W_min,W_max], из:

• C (w) *s (w), C (w) *m (w), и C (w) *l (w) (см. рис.3).

Тройные из получающихся чисел связываются каждым «физическим» цветом C (который является областью в H_цвет) к специфическому воспринятому цвету (который является единственным пунктом в R³_цвет). Т.е. при оппонентном отборе трёх основных цветов S,M,L наиболее ярких из числа многих цветов сфокусированных на колбочки лучей предметных точек. Эта функция, как легко можно заметить, является линейной. Может также быть легко замечено, что много различных областей в «физическом» месте H_цвет могут все привести к тому же самому единственному воспринятому цвету в R³_цвет. То есть воспринятый цвет не является единственным для одного физического цвета. То есть природа цветного зрения подчиняется принципу трёхкомпонентного цветного зрения (на базе трёх основных цветов спектра света RGB при работе колбочек в условиях дневного освещения и математически выражается линейным уравнением.

В отличие от исходных данных линейных уравнений трихроматизма, где основные три цвета S,M,L (принятых как три координаты линейных графиков), где синий цвет S (колбочки-S), в нелинейной модели цветного зрения принадлежит фоторецептору палочке сетчатки глаза. Откуда все графики цветного зрения построены в нелинейной теории зрения из условия , что колбочка якобы способна воспринимать только красно-зелёные лучи, а палочка дополняет недостаток колбочки воспринимать синие цвета, работая с ней в паре. И соответственно все выводы, методика исследований и все данные получены из нелинейной теории цветного зрения. В ней модели цветного зрения строятся на основе искусственных данных колориметрии в отрыве от работы зрительной системы в плане биологическом на живой клетке глаза.

В любом случае цветное зрение — трёхкомпонентное и происходит (с оппонентным отбором трёх самых ярких основных цветов S,M,L спектра света RGB (цветовая модель) (версия Миг)) при работе только колбочек в условиях дневного освещения и математически выражается линейным уравнением.

См. также

• Аналитическая геометрия
• Линейное уравнение цветного зрения и цветового пространства

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру, Ч. 2: Линейная алгебра. М.: МЦНМО, 2009.
• В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.
• В. А. Ильин, Г. Д. Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007, 400с.
• Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
• Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры.-М.:Наука 1983, 336с.
• Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных.-Л.:ЛГУ 1985, 496с.
• Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 248 с.^{о книге}
• Сандаков Е. Б. Основы аналитической геометрии и линейной алгебры: учебное пособие.-М.:МИФИ, 2005.-308с.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.-М.: Наука 1966, 576с.
• Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
• Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия.-М.:Наука 1969, 528с.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия.-СПб.: Лань 2005, 304с.
• Курош А. Г. Курс высшей алгебры.-М.:Наука 1968, 331с.
• Ланкастер П. Теория матриц.-М.:Наука 1973, 280с.
• Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре.-М.:Наука 1966, 384с.
• Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения.-М.:Мир 1980, 454с.
• Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры.- 356с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства.-М.:Физматгиз 1963, 264с.
• Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson). Матричный анализ. — М.: Мир, 1989, 655 с., ил. (ISBN 5-03-001042-4).
• Шилов Г. Е. Математический анализ (Конечномерные линейные пространства).- 264с.
• Тыртышников Е. Е. Матричный анализ и линейная алгебра. Курс лекций для студентов факультета ВМК, МГУ.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Шарипов Р. А., Курс линейной алгебры и многомерной геометрии, — БашГУ, Уфа, 1996.

Разделы математики