Пи (число)

Символ константы

Список чисел
Иррациональные числа ζ(3) (англ.) — √2 (англ.) — √3 (англ.) — √5 (англ.) — φ — α — e — π — δ — τ
Система счисления	Оценка числа $\pi$
Двоичная	11,00100100001111111…
Десятичная	3,141592653589793238462…
Шестнадцатеричная	3,243F6A8885A308D31319…
Рациональное приближение	22⁄7,223⁄71, 355⁄113 … (в порядке увеличения точности)
Цепная дробь	[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1,... ] (Цепная дробь не периодическая. Дана в линейной нотации)
Евклидова геометрия	$\pi$ радиан = 180°

Пи (число) — $\pi~$ (произносится «пи») — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «пи».

$\pi$ — иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. $\pi$ также не может представлено как конечная последовательность алгебраических операций над целыми числами (возведение в степень, извлечение корня, суммирование и т. д.).

$\pi$ — трансцендентное число, это означает, что оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами; доказательство этого Ф. Линдеманом было крупным достижением математики XIX столетия. На всём протяжении истории математики было множество попыток более точно определить и понять природу числа $\pi$; привлекательность этого числа перекинулась даже на нематематическую культуру.

Впервые обозначением этого числа греческой буквой $\pi~$ воспользовался британский математик Джонс (1706), а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.

История

Если принять диаметр окружности за единицу, то длина окружности — это число «пи».

История числа $\pi$ шла параллельно с развитием всей математики. Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода: древний период, в течение которого $\pi$ изучалось с позиции геометрии, классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Европе в XVII веке, и эра цифровых компьютеров.

Геометрический период

То, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой окружности, и то, что это отношение немногим более 3, было известно ещё древнеегипетским, вавилонским, древнеиндийским и древнегреческим геометрам. Самое раннее из известных приближений датируется 1900 годом до н. э.; это ²⁵/₈ (Вавилон) и ²⁵⁶/₈₁ (Египет), оба значения отличаются от истинного не более, чем на 1 %. Индийский текст «Шатапатха Брахмана» даёт $\pi$ как ³³⁹/₁₀₈ ≈ 3,139. По-видимому, в еврейской Библии, в третьей книге Царств, предполагается, что $\pi$ = 3, что является гораздо более худшей оценкой, чем имевшиеся на момент написания (600 год до н. э.).

Алгоритм Лю Хуэя вычисления $\pi$

Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления $\pi$. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку $3+\frac{10}{71} < \pi$.

В Индии Арьябхата и Бхаскара использовали приближение 3,1416. Брахмагупта предложил в качестве приближения $\sqrt{10}$.

Около 265 года н. э. математик Лю Хуэй из царства Вэй предоставил простой и точный итеративный алгоритм (англ. Liu Hui's π algorithm) для вычисления $\pi$ с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение для $\pi$ по следующему принципу: $$\pi\approx A_{3072} = {3 \cdot 2^8\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}}}}}}} \approx 3,14159.$$

Позднее Лю Хуэй придумал быстрый метод вычисления $\pi$ и получил приближённое значение 3,1416 только лишь с 96-угольником, используя преимущества того факта, что разница в площади следующих друг за другом многоугольников формирует геометрическую прогрессию со знаменателем 4.

В 480-х годах китайский математик Цзу Чунчжи (англ. Zu Chongzhi) продемонстрировал, что $\pi$ ≈ ³⁵⁵/₁₁₃, и показал, что 3,1415926 < $\pi$ < 3,1415927, используя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12288-угольнику. Это значение оставалось самым точным приближением числа $\pi$ в течение последующих 900 лет.

Классический период

До 2-го тысячелетия было известно не более 10 цифр $\pi$. Дальнейшие крупные достижения в изучении $\pi$ связаны с развитием математического анализа, в особенности с открытием рядов, позволяющих вычислить $\pi$ с любой точностью, суммируя подходящее количество членов ряда. В 1400-х годах Мадхава из Сангамаграма (англ. Madhava of Sangamagrama) нашёл первый из таких рядов:

$${\pi} = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \cdots\!$$

Этот результат известен как ряд Мадхавы-Лейбница (англ. Leibniz formula for pi) или ряд Грегори-Лейбница (после того как он был заново обнаружен Джеймсом Грегори и Готфридом Лейбницем в XVII веке). К сожалению, этот ряд сходится к $\pi$ очень медленно, что приводит к сложности вычисления многих цифр числа на практике — необходимо сложить около 4000 членов ряда, чтобы улучшить оценку Архимеда. Однако преобразованием этого ряда в

$$\pi = \sqrt{12} \, \left(1-\frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots\right)\!$$

Мадхава (англ. Madhava of Sangamagrama) смог вычислить $\pi$ как 3,14159265359, верно определив 11 цифр в записи числа. Этот рекорд был побит в 1424 году персидским математиком Джамшидом ал-Каши, который в своём труде под названием «Трактат об окружности» привёл 17 цифр числа $\pi$, из которых 16 верные.

Первым крупным европейским вкладом со времён Архимеда был вклад голландского математика Лудольфа ван Цейлена (1540—1610), затратившего десять лет на вычисление числа $\pi$ с 20-ю десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до n-угольника, где n = 60 2²⁹. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («Van den Circkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа $\pi$. Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число $\pi$ иногда называли «лудольфовым числом», или «константой Лудольфа».

Примерно в это же время в Европе начали развиваться методы анализа и определения бесконечных рядов. Первым таким представлением была формула Виета (англ. Viète's formula) $$\frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots\!$$

найденная Франсуа Виетом в 1593 году. Другим известным результатом стала Формула Валлиса^{[убрать шаблон]},

$$\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots\!$$

выведенная Джоном Валлисом в 1655 году.

В Новое время для вычисления $\pi$ используются аналитические методы, основанные на тождествах. Перечисленные выше формулы малопригодны для вычислительных целей, поскольку либо используют медленно сходящиеся ряды, либо требуют сложной операции извлечения квадратного корня.

Первую эффективную формулу нашёл в 1706 году Джон Мэчин (John Machin):

$$\frac{\pi}{4} = 4\,\mathrm{arctg}\frac{1}{5} - \mathrm{arctg}\frac{1}{239}$$

Разложив арктангенс в ряд Тейлора $$\arctan \, x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots\!,$$ можно получить быстро сходящийся ряд, пригодный для вычисления числа $\pi$ с большой точностью. Эйлер, автор обозначения $\pi$, получил 153 верных знака.

Формулы такого типа, в настоящее время известные как Формулы Мэчина (англ. Machin-like formula), использовались для установки нескольких последовательных рекордов и остались наилучшими из известных методов для быстрого вычисления $\pi$ в эпоху компьютеров. Выдающийся рекорд был поставлен феноменальным счетчиком Иоганном Захариусом Дазе (англ. Zacharias Dase), который в 1844 году по распоряжению Гаусса применил формулу Мэчина для вычисления 200 цифр $\pi$ в уме. Наилучший результат к концу XIX века был получен англичанином Вильямом Шенксом (англ. William Shanks), у которого ушло 15 лет для того, чтобы вычислить 707 цифр, хотя из-за ошибки только первые 527 были верными. (Чтобы избежать подобных ошибок, современные вычисления подобного рода проводятся дважды. Если результаты совпадают, то они с высокой вероятностью верные.) Ошибку Шенкса обнаружил один из первых компьютеров в 1948 году; он же за несколько часов подсчитал 808 знаков $\pi$.

Теоретические достижения в XVIII веке привели к постижению природы числа $\pi$, чего нельзя было достичь лишь только с помощью одного численного вычисления. Иоганн Генрих Ламберт доказал иррациональность $\pi$ в 1761 году, а Адриен Мари Лежандр в 1774 году доказал иррациональность $\pi^2$. В 1735 году была установлена связь между простыми числами и $\pi$, когда Леонард Эйлер решил знаменитую Базельскую проблему (англ. Basel problem) — проблему нахождения точного значения

$$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots\!,$$

которое составляет $\frac{\pi^2}{6}$. И Лежандр, и Эйлер предполагали, что $\pi$ может быть трансцендентным, что было в конечном итоге доказано в 1882 году Фердинандом фон Линдеманом.

Считается, что книга Уильяма Джонса Новое введение в математику c 1706 года первая ввела в использование греческую букву $\pi$ для обозначения этой константы, но эта запись стала особенно популярной после того, как Леонард Эйлер принял её в 1737 году. Он писал:

Существует множество других способов отыскания длин или площадей соответствующей кривой или плоской фигуры, что может существенно облегчить практику; например, в круге диаметр относится к длине окружности как 1 к $(\frac{16}{5}-\frac{4}{239})-\frac{1}{3} \cdot (\frac{16}{5^3}-\frac{4}{239^3})+\cdots = 3{,}14159 \cdots = \pi$

См. также: История математических обозначений

Эра компьютерных вычислений

Эпоха цифровой техники в XX веке привела к увеличению скорости появления вычислительных рекордов. Джон фон Нейман и др. использовали в 1949 году ЭНИАК для вычисления 2037 цифр $\pi$, которое заняло 70 часов. Ещё одна тысяча цифр была получена в последующие десятилетия, а отметка в миллион была пройдена в 1973 году. Такой прогресс имел место не только благодаря более быстрому аппаратному обеспечению, но и благодаря алгоритмам. Одним из самых значительных результатов было открытие в 1960-м году быстрого преобразования Фурье (БПФ), что позволило быстро осуществлять арифметические операции над очень большими числами.

В начале 20-го столетия индийский математик Сриниваса Рамануджан обнаружил множество новых формул для $\pi$, некоторые из которых стали знаменитыми из-за своей элегантности и математической глубины. Одна из этих формул — это ряд

$$\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\!,$$

и похожая на неё, найденная братьями Чудновскими (англ.) в 1987,

$$\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!,$$

который вычисляет по 14 цифр за ход. Чудновские использовали эту формулу для того, чтобы установить несколько рекордов в вычислении $\pi$ в конце 1980-х, включая то, в результате которого было получено более миллиарда (1,011,196,691) цифр десятичного разложения (1989 год). Эта формула используется в программах, вычисляющих $\pi$ на персональных компьютерах, в отличие от суперкомпьютеров, которые устанавливают современные рекорды.

В то время как последовательность обычно повышает точность на фиксированную величину с каждым следующим членом, существуют итеративные алгоритмы, которые на каждом шагу умножают количество правильных цифр, требуя, правда, высоких вычислительных затрат на каждом из таких шагов. Прорыв в этом отношении был сделан в 1975 году, когда Ричард Брент (англ.) и Юджин Саламин (англ.) независимо друг от друга открыли алгоритм Брента — Саламина (англ.), который, используя лишь арифметику, на каждом шагу удваивает количество известных знаков. Алгоритм состоит из установки начальных значений

$$a_0 = 1 \quad \quad \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad \quad \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad \quad \quad p_0 = 1\!$$

и итераций:

$$a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}\!$$ $$t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n\!$$

пока a_n и b_n не станут достаточно близки. Тогда оценка $\pi$ даётся формулой

$$\pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}.\!$$

При использовании этой схемы 25 итераций достаточно для получения 45 миллионов десятичных знаков. Похожий алгоритм, увеличивающий на каждом шаге точность в четыре раза, был найден Джонатаном Боруэйном (Jonathan Borwein) и Питером Боруэйном (en:Peter Borwein). При помощи этих методов Ясумаса Канада (en:Yasumasa Kanada) и его группа, начиная с 1980 года, установили большинство рекордов вычисления $\pi$ вплоть до 206,158,430,000 знаков в 1999. Текущий рекорд — 1 241 100 000 000 десятичных знаков, установлен Канадой и его группой в 2002 году. Хотя большинство предыдущих рекордов Канады были установлены при помощи алгоритма Брента-Саламина, вычисление 2002 года использовало две формулы типа мэчиновских, которые работали медленнее, но радикально снижали использование памяти. Вычисление было выполнено на суперкомпьютере Хитачи из 64 узлов с 1 терабайтом оперативной памяти, способном выполнять 2 триллиона операций в секунду.

Важным развитием недавнего времени стала формула Бэйли—Боруэйна—Плаффа (en:Bailey–Borwein–Plouffe formula) (формула ББП), открытая Саймоном Плаффом (en:Simon Plouffe) и названная по авторам статьи, в которой она впервые была опубликована — David H. Bailey, Peter Borwein, and Plouffe. Эта формула,

$$\pi = \sum \limits_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right),$$

примечательна тем, что она позволяет извлечь любую конкретную шестнадцатеричную или двоичную цифру числа $\pi$ без вычисления предыдущих. С 1998 до 2000 года распределённый проект PiHex использовал видоизменённую формулу ББП Фабриса Беллара для вычисления квадриллионного (1 000 000 000 000 000-го) бита числа $\pi$, который оказался нулём.

В 2006 году Саймон Плафф, используя en:integer relation algorithm PSLQ, нашёл ряд красивых формул. Пусть q = e^π, тогда

$$\frac{\pi}{24} = \sum \limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \left(\frac{3}{q^n-1} - \frac{4}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right)$$

$$\frac{\pi^3}{180} = \sum \limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \left(\frac{4}{q^n-1} - \frac{5}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right)$$

и другие вида

$$\pi^k = \sum \limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right)$$

где q = e^π, k — нечётное число, и a, b, c — рациональные числа. Если k — вида 4m + 3, то эта формула имеет особенно простой вид:

$$p\pi^k = \sum \limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{2^{k-1}}{q^n-1} - \frac{2^{k-1}+1}{q^{2n}-1} + \frac{1}{q^{4n}-1}\right)$$

для рационального p у которго знаменатель — число, хорошо разложимое на множители, хотя строгое доказательство ещё не предоставлено.

В 2009 году учёные из Университета Цукубо (Япония) рассчитали последовательность из 2 576 980 377 524 десятичных разрядов.

Оценки

• $\frac{22}{7}$ (Архимед),
• $\frac{377}{120}$ (дана в книге индийского мыслителя и астронома Арьябхаты в V веке н. э.),
• $\frac{355}{113}$ (оценка приписывается современнику Арьябхаты древнекитайскому астроному Цзу Чун-цжи).
• $\pi\, \approx \,\frac{63}{25}\cdot \frac{17+15 \sqrt{5}}{7+15\sqrt{5}}$ (приближение дал великий индийский математик С.Рамануджан)
• 510 знаков после запятой:

  π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…

• Двести миллиардов знаков после запятой (2000 ZIP архивов, средний размер файла около 57 мегабайт)

Свойства

Соотношения

Известно много формул с числом $\pi$:

• Франсуа Виет, 1593:

$$\frac{2}{\pi}=\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}} \, \cdot \ldots$$

• Формула Валлиса:

$$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$$

• Формула Валлиса-Александрова:

$$\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \left[ \, \frac{8}{7}\cdot \left( \frac{8}{9}\cdot \frac {1}{4}+1 \right) + \frac {3}{4} \, \right] \cdots = \frac{\pi}{2}$$

• Модифицированная формула Валлиса:

$$\lim \limits_{m\rightarrow \infty }{\frac { (m!)^{4}{2}^{4m}}{\left[ (2m )! \right] ^{2}m}} = \pi$$

• Произведения:

$$\pi=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{1}{3}\right )^2}$$ $$\pi=\frac{3}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{2}{3}\right )^2}$$ $$\pi=4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{1}{4}\right )^2}$$ $$\pi=\frac{4}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{3}{4}\right )^2}$$ $$\pi=6\cdot \frac{1}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{1}{6}\right )^2}$$ $$\pi=\frac{6}{5}\cdot \frac{1}{2} \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-\left (\frac{5}{6}\right )^2}$$ $$\pi=4\cdot\prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k^2+k}{k^2+k+\frac{1}{4}}$$ $$\pi=\frac{9}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2+k}{k^2+k+ \frac{2}{9}}$$ $$\pi=\frac{16}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2+k}{k^2+k+ \frac{3}{16}}$$ $$\pi=\frac{36}{5}\cdot\frac{1}{2}\prod \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2+k}{k^2+k+ \frac{5}{36}}$$ $$\pi= 2\sqrt{3}\prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{\left ( 2k-1 \right )^{\frac 12 -k} \left ( 2k+3 \right )^{k+\frac 12}}{2k+1}\left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k}$$

• Ряд Лейбница:

$$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$$

• Тождество Эйлера:

$$e^{i \pi} + 1 = 0\;$$

• Т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}$$

• Интегральный синус

$$\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\sin(x)}{x}dx}=\pi$$

• Интегральный косинус

$$\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{1-\cos(x)}{x^2}dx}=\pi$$

• Интегральный тангенс

$$\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{tg(x)}{x}dx}=\pi$$

• Интегральный котангенс

$$\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{1-x \cdot ctg(x)}{x^2}dx}=\pi$$

• Интегральный арктангенс

$$2 \int \limits _{-\infty }^{\infty }\! \frac {x-arctg(x)}{x^3}{dx}=\pi$$

Трансцендентность и иррациональность

• Иррациональность числа $\pi$ была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1767 году путём разложения числа $\frac{e-1}{2^n}$ в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел $\pi$ и $\pi^2$.
• В 1882 годe профессору Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Фердинанду Линдеману удалось доказать трансцендентность числа $\pi$. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году
  • Поскольку в геометрии Евклида площадь круга и длина окружности являются функциями числа $\pi$, то доказательство трансцендентности $\pi$ положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет.

Нерешённые проблемы

• Неизвестно, являются ли числа $\pi$ и $e$ алгебраически независимыми.
• Неизвестно, являются ли числа $\pi + e$, $\pi - e$, $\pi e$, $\pi / e$, $\pi ^ e$, $\pi ^ \pi$, $e ^ e$ трансцендентными.
• До сих пор ничего не известно о нормальности числа $\pi$; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа $\pi$ бесконечное количество раз.

История вычисления

В 1997 году Дэйвид Х. Бэйли, Питер Боруэйн и Саймон Плуфф открыли способ быстрого вычисления произвольной двоичной цифры числа $\pi$ без вычисления предыдущих цифр, основанный на формуле $$\pi = \sum \limits_{i=0}^{\infty}\frac{1}{16^i}\left(\frac{4}{8i+1}-\frac{2}{8i+4}-\frac{1}{8i+5}-\frac{1}{8i+6}\right)$$

Метод иглы Бюффона

На разлинованную равноудалёнными прямыми плоскость произвольно бросается игла, длина которой равна расстоянию между соседними прямыми, так что при каждом бросании игла либо не пересекает прямые, либо пересекает ровно одну. Можно доказать, что отношение числа пересечений иглы с какой-нибудь линией к общему числу бросков стремится к $\frac2\pi$ при увеличении числа бросков до бесконечности. Данный метод иглы базируется на теории вероятностей и лежит в основе метода Монте-Карло.

Дополнительные факты

Файл:Pi monumentum.jpg

Памятник числу «пи» на ступенях перед зданием Музея искусств в Сиэтле

• Неофициальный праздник «День числа Пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа $\pi$.
• Ещё одной датой, связанной с числом $\pi$, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа $\pi$.
• 17 июня 2009 года украинский нейрохирург, доктор медицинских наук, профессор Андрей Слюсарчук установил мировой рекорд, запомнив 30 миллионов знаков числа Пи, которые были напечатаны в 20 томах текста. С установлением нового рекорда Андрея Слюсарчука официально поздравил Президент Украины Виктор Андреевич Ющенко. Поскольку устное перечисление 30 млн цифр $\pi$ со скоростью одна цифра в секунду заняло бы почти год (347 дней) при непрерывном перечислении 24 часа в сутки, 7 дней в неделю, то был применён следующий подход для проверки рекорда: во время демонстраций г. Слюсарчука просят назвать произвольно выбранные проверяющими последовательности цифр числа Пи, расположенные на произвольно выбранных местах произвольных страниц 20-томной распечатки, группированной в упорядоченные таблицы. Он многократно успешно проходит этот тест. Свидетелями демонстраций были уважаемые учёные, доктора и кандидаты наук, заведующие кафедрами Институтов и Университетов. Книга рекордов Украины перечисляет членов комиссии, участвовавших в демонстрациях. Приведены их научные звания и занимаемые должности. Уникальная память Андрея Слюсарчука основана на эйдетическом восприятии информации.
• По данным Книги рекордов Украины, в 2006 году Андрей Слюсарчук установил предыдущий мировой рекорд, запомнив 1 миллион знаков числа Пи.
• Предыдущий мировой рекорд по запоминанию знаков числа $\pi$ принадлежит японцу Акире Харагути (Akira Haraguchi). Он запомнил число $\pi$ до 100-тысячного знака после запятой. Ему понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать всё число целиком. (на запоминание ушло 10 лет)
• В штате Индиана (США) в 1897 году был выпущен билль (см.: en:Indiana Pi Bill), законодательно устанавливающий значение числа Пи равным 3,2. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора Университета Пердью (англ. Purdue University), присутствовавшего в законодательном собрании штата во время рассмотрения данного закона.
• «число Пи для гренландских китов равно 3.14» написано в «Справочнике китобоя» 60-х годов выпуска.
• Существует художественный фильм, названный в честь числа Пи.
• Существует альбом французской поп-группы Rockets с названием P=3,14

См. также

• Квадратура круга
• Рациональная тригонометрия

Литература

• Жуков А. В. О числе π М.: МЦМНО, 2002. 32 с. ISBN 5-94057-030-5
• Перельман Я. И. Квадратура круга. Л.: Дом занимательной науки, 1941. Текст в формате djv/zip.

Ссылки

• 200 миллиардов знаков числа ПИ
• Различные формулы для вычисления числа ПИ
• Различные представления числа Пи на WolframAlpha
• Представления числа Пи через произведения
• Зона ПИ на «Арбузе»
• Поиск-online различных числовых последовательностей, среди первых 200 000 000 знаков числа Пи
• Клуб числа Пи
• 100 000 знаков числа ПИ
• 100 миллиардов знаков числа ПИ