Принцип суперпозиции

Столкновение волн в суперпозиции от плавющих уток

Принцип суперпозиции — один из самых общих законов во многих разделах физики  — результат воздействия на частицу нескольких внешних сил или сумма результатов воздействия каждой из сил.

В электростатике — электростатический потенциал, создаваемый в данной точке системой зарядов, есть сумма потенциалов отдельных зарядов.

Принцип суперпозиции может принимать и иные формулировки, которые полностью эквивалентны приведённой выше:

• Взаимодействие между двумя частицами не изменяется при внесении третьей частицы, также взаимодействующей с первыми двумя.
• Энергия взаимодействия всех частиц в многочастичной системе есть просто сумма энергий парных взаимодействий между всеми возможными парами частиц. В системе нет многочастичных взаимодействий.
• Уравнения, описывающие поведение многочастичной системы, являются линейными по количеству частиц.

Именно линейность фундаментальной теории в рассматриваемой области физики есть причина возникновения в ней принципа суперпозиции.

Т.е., если приложеная величинв A вызвала ответ X, и веденная величина B вызывает ответ Y тогда, вход (+ B) производит ответ (X + Y).

Математически, для всех линейных систем F (x) = y, то, где x — есть стимул (вход) и y, — своего рода ответ (результат) в виде суперпозиции (то есть, суммы) стимулов, что приводит к суперпозиции соответствующих ответов: $$F(x_1+x_2+\cdots)=F(x_1)+F(x_2)+\cdots.$$

В математике, это взаимоотношение скорее всего упоминается как аддитивность. В самых реальных случаях, аддитивность F подразумевает, что это — линейная траектория, которую также называют линейной функцией или линейным оператором.

Этот принцип имеет много применений в физике и различных разработках, т.к. много физических систем могут быть смоделированы как линейные системы. Например, луч может быть смоделирован как линейная система, где стимул входа - воздействие лучом, и ответ среды входа - отклонение луча. Поскольку физические системы вообще только приблизительно линейны, принцип суперпозиции - только приближение истинного физического поведения; это обеспечивает понимание в деле производства и эксплуатации в области этих систем.

Принцип суперположения сталкивается с любой линейной системой, включая алгебраические уравнения, линейные дифференциальные уравнения, и системами уравнений тех форм. Стимулы и ответы могли быть числами, функциями, векторами, векторными областями, переменными временем сигналами, или любым другим объектом, который выражает результат определенной аксиомы. Отметьте, что, когда векторы или векторные области, вовлеченные в состояние суперпозиции, рассматриваются как векторная сумма.

Принцип суперпозиции в электродинамике

Рис.1 Иллюстрация принципа суперпозиции в электростатике

Принцип суперпозиции является следствием, прямо вытекающим из рассматриваемой теории, а вовсе не постулатом, вносимым в теорию априори. Так, например, в электростатике принцип суперпозиции есть следствие того факта, что уравнения Максвелла в вакууме линейны. Именно из этого следует, что потенциальную энергию электростатического взаимодействия системы зарядов можно легко сосчитать, вычислив потенциальную энергию каждой пары зарядов.

Другим следствием линейности уравнений Максвелла является тот факт, что лучи света не рассеиваются и вообще никак не взаимодействуют друг с другом. Этот закон можно условно назвать принципом суперпозиции в оптике.

Подчеркнём, что электродинамический принцип суперпозиции не есть незыблемый закон Природы, а является всего лишь следствием линейности уравнений Максвелла, т. е. уравнений классической электродинамики. Поэтому, когда мы выходим за пределы применимости классической электродинамики, вполне стоит ожидать нарушение принципа суперпозиции.

Примеры нарушения электродинамического принципа суперпозиции

Если рассматривается электродинамика не в вакууме, а в какой-либо среде, то принцип суперпозиции может нарушаться. Так, например, если поляризуемость или намагниченность среды нелинейно зависят от приложенного поля, это приводит к нелинейным поправкам в уравнениях Максвелла. Прямеежным следствием этого является нарушение принципа суперпозиции в такой нелинейной среде.

В некоторых случаях эти нелинейности невелики, и принцип суперпозиции с некоторой степенью приближения может выполняться. В других случаях нарушение принципа суперпозиции велико и может приводить к принципиально новым явлениям. Так, например, два луча света, распространяющиеся в нелинейной среде, могут изменять траекторию друг друга. Более того, даже один луч света в нелинейной среде может воздействовать сам на себя и изменять свои характеристики. Многочисленные эффекты такого типа изучает нелинейная оптика.

Принцип суперпозиции нарушается также в вакууме при учёте квантовых явлений. В квантовой электродинамике фотон может на некоторое время превратиться в электрон-позитронную пару, которая уже может взаимодействовать с другими фотонами. Эффективно это приводит к тому, что фотоны могут взаимодействовать друг с другом. Такого типа процессы (рассеяние света на свете и другие процессы нелинейной электродинамики) наблюдались в эксперименте.

Отсутствие принципа суперпозиции в нелинейных теориях

Тот факт, что уравнения классической электродинамики линейны, является скорее исключением, чем правилом. Многие фундаментальные теории современной физики являются нелинейными. Например, квантовая хромодинамика — фундаментальная теория сильных взаимодействий — является разновидностью теории Янга — Миллса, которая нелинейна по построению. Это приводит к сильнейшему нарушению принципа суперпозиции даже в классических (неквантованных) решениях уравнений Янга — Миллса.

Другим известным примером нелинейной теории является общая теория относительности. В ней также не выполняется принцип суперпозиции. Например, Солнце притягивает не только Землю и Луну, но также и само взаимодействие между Землёй и Луной. Впрочем, в слабых гравитационных полях эффекты нелинейности слабы, и для повседневных задач приближённый принцип суперпозиции выполняется с высокой точностью.

Наконец, принцип суперпозиции не выполняется, когда речь идёт о взаимодействии атомов и молекул. Это можно пояснить следующим образом (Рис.2). Рассмотрим два атома, связанных общим электронным облаком. Поднесем теперь точно такой же третий атом. Он как бы оттянет на себя часть связывающего атомы электронного облака, и в результате связь между первоначальными атомами ослабнет. То есть, присутствие третьего атома изменяет энергию взаимодействия пары атомов. Причина этого проста: третий атом взаимодействует не только с первыми двумя, но и с той «субстанцией», которая обеспечивает связь первых двух атомов.

Нарушение принципа суперпозиции во взаимодействиях атомов в немалой степени приводит к тому удивительному разнообразию физических и химических свойств веществ и материалов, которое так трудно предсказать из общих принципов молекулярной динамики.

См. также

• Суперпозиция