Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла — основные уравнения классической электродинамики, описывающие эволюцию электромагнитного поля и его взаимодействие с зарядами и токами. Уравнения были опубликованы Дж. К. Максвеллом в 1873 году в его книге «Трактат об электричестве и магнетизме».

Классическая электродинамика
Solenoid.svg
Магнитное поле соленоида
Электричество · Магнетизм

Уравнения в классическом видеПравить

Уравнения в системе СИПравить

Название Дифференциальная форма Интегральная форма Примерное словесное выражение
Закон индукции Фарадея rot E = B t \operatorname{rot}\,\mathbf{E} = -{\partial \mathbf{B} \over \partial t} L E d l = S B t d S \oint\limits_L\!\mathbf{E}\, d\mathbf{l} = -\int\limits_S\!{\partial \mathbf{B} \over \partial t}\, d\mathbf{S} Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле
Закон Ампера
(с добавкой от Максвелла)
rot H = j + D t \operatorname{rot}\,\mathbf{H} = \mathbf{j} + {\partial \mathbf{D} \over \partial t} L H d l = I encl + S D t d S \oint\limits_L\!\mathbf{H}\, d\mathbf{l} = I_{\mathrm{encl}} + \oint\limits_S\!{\partial \mathbf{D} \over \partial t}\, d\mathbf{S} Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле
Теорема Гаусса div D = ρ \operatorname{div}\,\mathbf{D} = \rho S D d S = Q encl \oint\limits_S\!\mathbf{D}\, d\mathbf{S} = Q_{\mathrm{encl}} Электрический заряд является источником электрической индукции
Теорема Гаусса div B = 0 \operatorname{div}\,\mathbf{B} = 0 S B d S = 0 \oint\limits_S\!\mathbf{B}\, d\mathbf{S} = 0 Магнитная индукция не расходится (не имеет источников). (Неприменима к монополям. До сих пор монополей в природе не обнаружено.)

Приведенные выше уравнения Максвелла не составляют еще полной системы уравнений электромагнитного поля, поскольку они не содержат свойства среды, в которой возбуждено электромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины j \mathbf{j} , H \mathbf{H} , D \mathbf{D} , E \mathbf{E} и B \mathbf{B} , в которых учитываются индивидуальные свойства среды, называются материальными уравнениями.

Введённые обозначения:

  • rot   \mathrm{rot} \ — дифференциальный оператор ротора
  • div   \mathrm{div} \ — дифференциальный оператор дивергенции
  • S   S\ — замкнутая двумерная поверхность
  • L   L\ — замкнутый контур

Уравнения в Гауссовой системе единицПравить

rot H = 1 c D t + 4 π c j \operatorname{rot}\,\mathbf{H} = \mathbf{1 \over {c}} {\partial \mathbf{D} \over \partial t} + \mathbf{4\pi \over {c}}\mathbf{j} rot E = 1 c B t \operatorname{rot}\,\mathbf{E} = - \mathbf{1 \over {c}} {\partial \mathbf{B} \over \partial t} div D = 4 π ρ \operatorname{div}\,\mathbf{D} = 4\pi\rho div B = 0 \operatorname{div}\,\mathbf{B} = 0

Материальные уравненияПравить

Чтобы дополнить уравнения Максвелла до полной системы уравнений электродинамики, необходимо получить материальные уравнения, которые связывают величины j \mathbf{j} , H \mathbf{H} , D \mathbf{D} , E \mathbf{E} , B \mathbf {B} и в которых учтены индивидуальные свойства среды. Способ получения материальных уравнений дают молекулярные теории поляризации, намагничивания и электропроводности среды. В основе таких теорий лежат в той или иной степени идеализированные модели среды. Применяя к ним уравнения классической или квантовой механики, а также методы статистической физики, можно установить связь между векторами j \mathbf{j} , H \mathbf{H} , D \mathbf{D} с одной стороны и E \mathbf{E} , B \mathbf{B} с другой стороны. В случае слабых электромагнитных полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени, а также для изотропных, неферромагнитных и несегнетоэлектрических сред материальные уравнения записываются в виде: D = ε E \mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E} B = μ H \mathbf{B} = \mu\mathbf{H} j = σ E \mathbf{j} = \sigma\mathbf{E}

где ε   \varepsilon \ диэлектрическая проницаемость (в единицах СИ — Ф/м), μ   \mu \ магнитная проницаемость (в единицах СИ — Гн/м) и σ   \sigma \ электропроводность среды (в единицах СИ — 1/(Ом·м)).

В вакууме, без зарядов и токовПравить

Вакуум — это линейная, однородная, изотропная, бездисперсионная среда; и магнитная, и электрическая постоянные обозначаются через ε 0   \varepsilon_0 \ и μ 0   \mu_0 \ (не учитывая очень малых квантовых эффектов). D = ε 0 E \mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} B = μ 0 H \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H}

Уравнения Максвелла для вакуума без электрических зарядов и токов такие: div E = 0 \operatorname{div}\, \mathbf{E} = 0 div H = 0 \operatorname{div}\, \mathbf{H} = 0 rot E = μ 0 H t \operatorname{rot}\, \mathbf{E} = - \mu_0 \frac{\partial\mathbf{H}} {\partial t} rot H =     ε 0 E t \operatorname{rot}\, \mathbf{H} = \ \ \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}


Эта система дифференциальных уравнений имеет простое решение — гармоническая, плоская волна. Векторы электрического и магнитного полей перпендикулярны направлению распространения волны и друг другу, и находятся в фазе. Волна распространяется со скоростью: c = 1 μ 0 ε 0 . c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}.

Максвелл обозначил эту величину c c . Это просто скорость света в вакууме, а свет — это вид электромагнитного излучения. Общепринятые значения[1] скорости света, электрической и магнитной постоянных приведены в следующей таблице:

Символ Имя Численное значение Единицы измерения СИ Тип
c   c \ Постоянная скорости света 2,997 92458 × 10 8 2{,}99792458 \times 10^8 м/с LT−1
  ε 0 \ \varepsilon_0 Электрическая постоянная 8,854 18782 × 10 12 8{,}85418782 \times 10^{-12} Ф / м L−3M−1T4
  μ 0   \ \mu_0 \ Магнитная постоянная 1,256 63706 × 10 6 1{,}25663706 \times 10^{-6} Гн / м LMT−2I−2

Релятивистская инвариантностьПравить

Уравнения Максвелла в вакууме инвариантны относительно преобразований Лоренца. Это послужило одним из толчков к созданию специальной теории относительности. В ковариантной форме уравнения приобретают вид (в системе единиц СГС): i F i k = 4 π c J k \partial_i F^{i k} = \frac{4\pi}{c} J^k \, i F k l + k F l i + l F i k = 0 , \partial_i F_{k l} + \partial_k F_{l i} + \partial_l F_{i k} = 0 \,,

где J k = ( c ρ , j ) J^k=(c\rho,\; \mathbf{j}) 4-ток, а   F i k \ F^{i k} — антисимметричный тензор электромагнитного поля: F i k = ( 0 E x E y E z E x 0 B z B y E y B z 0 B x E z B y B x 0 ) F^{i k} = \left( \begin{matrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)


Уравнения Максвелла с использованием дифференциальных формПравить

В вакууме ε \varepsilon и μ \mu — константы. Для записи уравнений Максвелла проще использовать язык дифференциальных геометрии и форм. Электромагнитное поле — это 2-форма F \mathbf F в четырёхмерном многообразии пространства-времени. Уравнения Максвелла сожмутся до второй формулы Бианчи d F = 0 d\mathbf{F}=0

где d d — это ковариантная производная — дифференциальный оператор действующий на формы и уравнения источников d F = J , d * {\mathbf{F}}=\mathbf{J},

где звезда Ходжа * — это дуальный оператор Ходжа линейного преобразования из пространства 2-формы в дуальное пространство 4 2 = 2 4-2=2 форм в метрике пространства Минковского и системе СГС, где 1 / 4 π ε 0 = 1 1/4\pi\varepsilon_0=1 . 3-форма J \mathbf J называется «электрический ток» или токовая 3-форма, удовлетворяющая уравнению непрерывности d J = 0. d{\mathbf{J}}=0.

Внешняя ковариантная производная определена на любых многообразиях. Это формальное описание электромагнетизма подходит для четырёхмерных многообразий с метрикой Лоренца, что эквивалентно криволинейному пространству-времени Общей теории относительности.

В линейной макроскопической теории влияние материи на электромагнитное поле описывается через более общее линейное преобразования пространства 2-форм. C : Λ 2 F G Λ ( 4 2 ) C:\Lambda^2\ni\mathbf{F}\mapsto \mathbf{G}\in\Lambda^{(4-2)}

Это называется линейное приближение или материальные уравнения. Это преобразование совместимо с дуальным преобразованием Ходжа. Уравнения Максвелла с учётом среды такие: d F = 0 d\mathbf{F} = 0 d G = J d\mathbf{G} = \mathbf{J}

где ток J \mathbf J удовлетворяет уравнению непрерывности d J = 0 d\mathbf{J}=0 . Где поле — это внешнее дифференцирование (или линейная комбинация) базисных форм θ p \mathbf{\theta}^p , F = F p q θ p θ q \mathbf{F} = F_{pq}\mathbf{\theta}^p\wedge\mathbf{\theta}^q

для материальной среды G p q = C p q m n F m n G_{pq} = C_{pq}^{mn}F_{mn}

причём коэффициенты поля антисимметричны относительно индексов, а материальные коэффициенты антисимметричны относительно перестановок пар. Тогда дуальное преобразование Ходжа примет следующий вид C p q m n = g m a g n b ε a b p q g C_{pq}^{mn} = g^{ma}g^{nb} \varepsilon_{abpq} \sqrt{-g}

только для инвариантного тензора данного типа с определённой метрикой.


ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм. М.: Высшая школа, 1983.
  • Тоннела М.-А. Основы электромагнетизма и теории относительности. Пер. с фр. М.: Иностранная литература, 1962. 488 с.
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — «Теоретическая физика», том II. — ISBN 5-02-014420-7о книге
  • Фущич В. И., Никитин А. Г., Симметрия уравнений Максвелла. Киев: Наук. думка, 1983. 200 с.

См. такжеПравить

af:Maxwell se vergelykings eo:Ekvacioj de Maxwell hu:Maxwell-egyenletek lt:Maksvelo lygtys lv:Integrālie Maksvela vienādojumi nn:Maxwells likningar