Симплекс

Симплекс — (от лат. simplex — простой) (математический), простейший выпуклый многогранник данного числа измерений n. При n = 3 трёхмерный симплекс представляет собой произвольный, в том числе неправильный, тетраэдр. Под двумерным симплексом понимают произвольный треугольник, а под одномерным — отрезок. Нульмерный симплекс есть просто одна точка.

Определение

Симплекс есть выпуклая оболочка n+1 точки n-мерного евклидова пространства, которые предполагаются аффинно независимыми (т.е. не лежат в одной гиперплоскости). Эти точки называются вершинами симплекса.

Связанные определения

• Симплекс называется правильным, если все его рёбра имеют одинаковую длину.

Стандартный симплекс

Зелёный треугольник — стандартный 2-симплекс

Стандартный n-симплекс — это подмножество $\mathbb{R}^{n+1}$, определяемое как: $$\Delta^n=\{(t_0,\dots, t_n)\mid {(\sum_i t_i = 1)} \wedge {(\forall i \; t_i\geqslant 0)} \}.$$

Его вершинами являются точки:

e₀=(1, 0, …, 0),

e₁=(0, 1, …, 0),

…

e_n=(0, 0, …, 1).

Существует каноническое взаимно-однозначное отображение стандартного n-симплекса в любой другой n-симплекс с координатами вершин $(v_0, v_1,\dots, v_n)$: $$(t_0,\dots, t_n) \mapsto \sum_i t_i v_i.$$ Значения t_i для данной точки называются её барицентрическими координатами.

Свойства

• n-мерный симплекс имеет $n+1$ вершин, любые $k+1$ из которых образуют k-мерную грань.
  • В частности, число k-мерных граней в n-симплексе равно биномиальному коэффициенту $\tbinom{n+1}{k+1}.$
  • В частности, число граней старшей размерности совпадает с количеством вершин и равно $n+1$.
• Ориентированный объём n-симплекса в n-мерном евклидовом пространстве можно определить по формуле:

  $V=\frac{1}{n!} \det(v_1-v_0, v_2-v_0, \dots, v_n-v_0)$

  • Определитель Кэли — Менгера позволяет вычислить объём симплекса, зная длины его рёбер:

    $V^2 = \frac{(-1)^{n-1}}{2^n (n!)^2} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 0 & d_{01}^2 & d_{02}^2 & \dots & d_{0n}^2 \\ 1 & d_{10}^2 & 0 & d_{12}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\ 1 & d_{20}^2 & d_{21}^2 & 0 & \dots & d_{2n}^2 \\ \vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ 1 & d_{n0}^2 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & \dots & 0 \\ \end{vmatrix}$

где $d_{ij}=|v_i - v_j|$ — расстояние между i-й и j-й вершинами, n — размерность пространства. Эта формула является обобщением формулы Герона для треугольников.

• Объём правильного n-симплекса с единичной стороной равен $\frac{\sqrt{n+1}}{n!\cdot 2^{n/2}}.$

• Радиус $R$ описаной n-мерной сферы удовлетворяет соотношению

  $(R{\cdot}V)^2=T,$

где $V$-объем симплекса и

$$T = \frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}{n!}^2} \begin{vmatrix} 0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & \dots & d_{1(n+1)}^2 \\ d_{21}^2 & 0 & d_{23}^2 & \dots & d_{2(n+1)}^2 \\ d_{31}^2 & d_{32}^2 & 0 & \dots & d_{3(n+1)}^2 \\ \vdots&\vdots & \vdots & \ddots&\vdots& \\ d_{(n+1)1}^2 & d_{(n+1)2}^2 & d_{(n+1)3}^2 & \dots & 0 \\ \end{vmatrix}$$

Построение

Преобразование 1-симплекса в 2-симплекс

Преобразование 2-симплекса в 3-симплекс

Если размерность пространства равна n, то через любые n его точек можно провести гиперплоскость, и существуют множества из n+1 точки, через которые гиперплоскость провести нельзя. Таким образом, n+1 — минимальное число таких точек n–мерного пространства, которые не лежат в одной гиперплоскости; эти точки могут служить вершинами n–мерного многогранника.

Простейший n–мерный многогранник с количеством вершин n+1 называется симплексом (принято также название «n-мерный тетраэдр»). В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют такие фигуры:

• 0-симплекс (точка) – 1 вершина;
• 1–симплекс (отрезок) – 2 вершины;
• 2–симплекс (треугольник) – 3 вершины;
• 3–симплекс (тетраэдр) – 4 вершины.

Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами:

1. В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства;
2. Существует общее правило преобразования фигур низшей размерности в фигуры высшей размерности. Оно заключается в том, что из геометрического центра фигуры строится перпендикуляр в следующее измерение, на этом перпендикуляре строится новая вершина и соединяется рёбрами со всеми вершинами исходного симплекса;
3. Как следует из описанной в п. 2 процедуры, любая вершина симплекса соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Описанная сфера

Построение описанной 2-сферы вокруг 1-симплекса с дополнительной точкой

Вокруг любого n-симплекса можно описать n-сферу.

Для 1-симплекса это утверждение очевидно. Описанная 1-сфера будет представлять собой отрезок, совпадающий с самим 1-симплексом, и её радиус будет составлять R = a/2. Добавим к 1-симплексу ещё одну точку и попробуем описать вокруг них 2-сферу.

Построим 2-сферу s₀ радиусом a/2 таким образом, чтобы отрезок AB был её диаметром. Если точка С находится за пределами окружности s₀, то увеличивая радиус окружности и смещая её в сторону точки С можно добиться того, что все три точки окажутся на окружности. Если же точка С лежит внутри окружности s₀, то подогнать окружность под эту точку можно увеличивая её радиус и смещая в сторону, противоположную точке С. Как видно из рисунка, сделать это можно в любом случае, когда точка С не лежит на одной прямой с точками АВ. Не является помехой и несимметричное расположение точки С относительно АВ.

Рассматривая общий случай, предположим, что существует (n–1)-сфера S_n-1 радиуса r, описанная вокруг некоторой (n–1)-мерной фигуры. Поместим центр сферы в начало координат. Уравнение сферы будет иметь вид $$x_1^2+x_2^2+x_3^2+ ... + x_{n-1}^2 = r^2. \qquad (1)$$

Построим n-сферу с центром в точке (0, 0, 0, ... 0, h_S) и радиусом R, причём $$R^2=r^2+h_S^2.$$ Уравнение этой сферы $$x_1^2+x_2^2+x_3^2+ ... + x_{n-1}^2+(x_n-h_S)^2 = r^2+h_S^2$$ или $$x_1^2+x_2^2+x_3^2+ ... + x_{n-1}^2 = r^2-x_n^2+2x_nh_S. \qquad (2)$$

Подставив в уравнение (2) x_n = 0, получим уравнение (1). Таким образом, при любом h_S сфера S_n-1 является подмножеством сферы S_n, а именно – её сечением плоскостью x_n = 0.

Предположим, что точка С имеет координаты (X₁, X₂, X₃, ..., X_n ). Преобразуем уравнение (2) к виду $$x_1^2+x_2^2+x_3^2+ ... + x_{n-1}^2 + x_n^2 = r^2+2x_nh_S$$

и подставим в него координаты точки С: $$X_1^2+X_2^2+X_3^2+ ... + X_{n-1}^2 + X_n^2 = r^2+2X_nh_S.$$

Выражение в левой части представляет собой квадрат расстояния R_C от начала координат до точки C, что позволяет привести последнее уравнение к виду $$R_C^2 = r^2+2X_nh_S,$$

откуда можно выразить параметр h_S: $$h_S = \frac{R_C^2-r^2}{2X_n}.$$

Очевидно, что h_S существует при любых R_C, X_n и r, кроме X_n = 0. Это значит, что если точка С не лежит в плоскости сферы S_n–1, всегда можно найти такой параметр h_S, что на сфере S_n c центром (0, 0, 0, ..., h_S) будет лежать и сфера S_n–1, и точка С. Таким образом, вокруг любых n+1 точек можно описать n–сферу, если n из этих точек лежат на одной (n–1)–сфере, и последняя точка не лежит с ними в одной (n–1)–плоскости.

Применяя последнее по индукции, можно утверждать, что n–сферу можно описать вокруг любых n+1 точек, если они не лежат в одной (n–1)–плоскости.

Число граней симплекса

Симплекс имеет n+1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Поскольку все вершины симплекса соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L+1 вершин симплекса определяют его L–мерную грань, и эта грань сама является L–симплексом. Тогда для симплекса число L-мерных граней равно числу способов выбрать L+1 вершину из полного набора n+1 вершин.

Обозначим символом К(L,n) число L–мерных граней в n–многограннике, тогда для n-симплекса $$K(L,n) = C^{L+1}_{n+1},$$

где $C^m_n$ – число сочетаний из n по m.

В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно n+1: $$K(0,n) = K(n-1,n) = n+1.$$

Место физических цветов

Рис. 1. Трехмерное представление цветового пространства человека

Набор всех физических цветов можно интерпретировать как математические векторы в бесконечномерном векторном пространстве, более узко — в гильбертовом пространстве (en:Hilbert_space). Его называют цветовым пространством, H_color.

Рис.2.Средняя точка треугольника SML (cм. рис.1).

Место физических цветов можно интерпретировать как симплексы (геометрические фигуры, являющаяся n-мерными обобщениями треугольников) в (математическом) конусе, вершины которого — спектральные цвета. Белый цвет (свет) располагается на оси (в точке пересечения оси и основания конуса) (en:Centroid) симплекса, черно-белый — только на оси конуса (внизу — чёрный, вверху — белый, между ними — оттенки серого), и монохроматические цвета, связанные с осью с любой данной вершиной где-нибудь по линии оси от этих вершин в любых плоскостях сечений конусов в зависимости от их яркости. (Максимально яркие цвета спектра располагаются в плоскости наибольшего диаметра сечений конусов, в середине оси)(см. рис.3).

Литература

• Александров П. С., Комбинаторная топология, М. — Л., 1947
• Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1947, с. 23—31.

См. также

• Аффинное пространство
• Барицентрические координаты
• Барицентрическое подразделение
• Симплекс-метод
• Симплициальный комплекс
• N-мерная евклидова геометрия
• Теорема косинусов
• Сумма углов треугольника

Ссылки

• БСЭ — Симплекс