Тензор ускорений

Тензор ускорений — антисимметричный тензор, описывающий 4-ускорение частиц и состоящий из шести компонент. При этом данные компоненты являются компонентами двух трёхмерных векторов – напряжённости поля ускорений, и соленоидального вектора ускорений. С помощью тензора ускорений определяется тензор энергии-импульса поля ускорений, уравнения поля ускорений и плотность 4-силы. Поле ускорений в веществе является компонентой общего поля.

Определение

Выражение для тензора ускорений можно найти в работах Федосина, где тензор определяется через 4-ротор: $$u_{\mu \nu} = \nabla_\mu U_\nu - \nabla_\nu U_\mu = \frac{\partial U_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial U_\mu}{\partial x^\nu}.\qquad\qquad (1)$$

Здесь 4-потенциал поля ускорений $~ U_\mu$ определяется по формуле: $$~ U_\mu = \left( \frac {\vartheta }{ c}, -\mathbf{U } \right),$$ где $~\vartheta$ – скалярный потенциал, $~ \mathbf{U }$ – векторный потенциал поля ускорений, $~ c$ – скорость света.

Выражение для компонент

С помощью (1) можно вычислить вектор напряжённости поля ускорений и соленоидальный вектор ускорений: $$~ S_i= c (\partial_0 U_i -\partial_i U_0),$$ $$~ N_k= \partial_i U_j -\partial_j U_i ,$$ причём во втором выражении тройка чисел $~ i{,} j {,}k$ состоит из неповторяющихся наборов 1,2,3; или 2,1,3; или 3,2,1 и т.д.

В векторной записи можно записать: $$~\mathbf{S}= -\nabla \vartheta - \frac{\partial \mathbf{U }} {\partial t},$$ $$~\mathbf{N }= \nabla \times \mathbf{U }.$$

Тензор ускорений состоит из компонент указанных векторов: $$~ u_{\mu \nu}= \begin{vmatrix} 0 & \frac {S_x}{ c} & \frac {S_y}{ c} & \frac {S_z}{ c} \\ -\frac {S_x}{ c} & 0 & - N_{z} & N_{y} \\ -\frac {S_y}{ c} & N_{z} & 0 & -N_{x} \\ -\frac {S_z}{ c}& -N_{y} & N_{x} & 0 \end{vmatrix}.$$

Переход к тензору ускорений с контравариантными индексами осуществляется путём двойного умножения на метрический тензор: $$~ u^{\alpha \beta}= g^{\alpha \nu} g^{\mu \beta} u_{\mu \nu}.$$

В рамках специальной теории относительности этот тензор имеет вид: $$~ u^{\alpha \beta}= \begin{vmatrix} 0 &- \frac {S_{x}}{ c} & -\frac {S_{y}}{ c} & -\frac {S_{z}}{ c} \\ \frac {S_{x}}{ c} & 0 & - N_{z} & N_{y} \\ \frac {S_{y}}{ c}& N_{z} & 0 & -N_{x} \\ \frac {S_{z}}{ c}& -N_{y} & N_{x} & 0 \end{vmatrix}.$$

При этом для векторов, связанных с отдельной точечной частицей, рассматриваемой как твёрдое тело, можно записать: $$~\mathbf{S}= - c^2 \nabla \gamma - \frac{\partial (\gamma \mathbf{v })} {\partial t},$$ $$~\mathbf{N }= \nabla \times (\gamma \mathbf{v }),$$

где $~\gamma = \frac {1}{\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}}$, $~\mathbf{v }$ – скорость частицы.

Для преобразования компонент тензора ускорений из одной инерциальной системы отсчёта в другую следует учитывать правило преобразования тензоров. Если система отсчёта K’ движется с произвольной постоянной скоростью $~\mathbf {V}$ относительно неподвижной системы отсчёта K, а оси систем координат параллельны друг другу, напряжённость поля ускорений и соленоидальный вектор ускорений преобразуются так: $$\mathbf {S}^\prime = \frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {S}) + \frac {1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}} \left(\mathbf {S}-\frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {S}) + [\mathbf {V} \times \mathbf {N }] \right),$$ $$\mathbf {N }^\prime = \frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {N }) + \frac {1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}} \left(\mathbf {N }-\frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {N }) - \frac {1}{ c^2} [\mathbf {V} \times \mathbf {S}] \right).$$

Свойства тензора

• $~ u_{\mu \nu}$ является антисимметричным тензором 2-го ранга, отсюда следует условие $~ u_{\mu \nu}= -u_{\nu \mu}$. Три из шести независимых компонент тензора ускорений связаны с компонентами вектора напряжённости поля ускорений $~\mathbf{ S }$, а другие три – с компонентами соленоидального вектора ускорений $~\mathbf{N }$. Ввиду антисимметричности такой инвариант, как свёртка тензора с метрическим тензором, обращается в нуль: $~ g^{\mu \nu} u_{\mu \nu}= u^{\mu}_\mu =0$.
• Свёртка тензора с самим собой $u_{\mu \nu} u^{\mu \nu}$ является инвариантом, а свёртка произведения тензоров с символом Леви-Чивиты в виде $\frac {1}{4} \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho} u_{\mu \nu} u_{\sigma \rho}$ является псевдоскалярным инвариантом. Указанные инварианты в специальной теории относительности выражаются так:

$$u_{\mu \nu} u^{\mu \nu} = -\frac {2}{c^2} (S^2- c^2 N^2) = inv,$$ $$\frac {1}{4} \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}u_{\mu \nu} u_{\sigma \rho} = - \frac {2}{ c } \left( \mathbf S \cdot \mathbf {N} \right) = inv.$$

• Детерминант тензора также является лоренцевским инвариантом:

$$\det \left( u_{\mu \nu} \right) = \frac{4}{c^2} \left(\mathbf S \cdot \mathbf {N} \right)^{2}.$$

Поле ускорений

Через тензор ускорений записываются уравнения поля ускорений: $$\nabla_\sigma u_{\mu \nu}+\nabla_\mu u_{\nu \sigma}+\nabla_\nu u_{\sigma \mu}=\frac{\partial u_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial u_{\nu \sigma}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial u_{\sigma \mu}}{\partial x^\nu} = 0. \qquad\qquad (2)$$ $$~ \nabla_\nu u^{\mu \nu} = - \frac{4 \pi \eta }{c^2} J^\mu, \qquad\qquad (3)$$

где $J^\mu = \rho_{0} u^\mu$ есть массовый 4-ток, $\rho_{0}$ – плотность массы в сопутствующей системе отсчёта, $u^\mu$ – 4-скорость движения элемента вещества, $~ \eta$ – постоянная поля ускорений.

Вместо (2) можно использовать выражение: $$~ \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}\frac{\partial u_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} = 0 .$$

Равенство (2) выполняется тождественно, что доказывается подстановкой в него определения для тензора ускорений согласно (1). Если подставить в (2) компоненты тензора $u_{\mu \nu}$, можно получить два векторных уравнения: $$~ \nabla \times \mathbf{S} = - \frac{\partial \mathbf{N} } {\partial t} , \qquad\qquad (4)$$ $$~ \nabla \cdot \mathbf{N} = 0 . \qquad\qquad (5)$$

Согласно (5), соленоидальный вектор ускорений не имеет источников, так как его дивергенция равна нулю. Из (4) следует, что изменение во времени соленоидального вектора ускорений приводит к появлению ротора напряжённости поля ускорений.

Уравнение (3) связывает поле ускорений с его источником в виде массового 4-тока. В пространстве Минковского специальной теории относительности вид уравнения упрощается и становится следующим: $$~ \nabla \cdot \mathbf{S} = 4 \pi \eta \rho,$$ $$~ \nabla \times \mathbf{N} = \frac{1}{c^2} \left( 4 \pi \eta \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{S}} {\partial t} \right),$$ где $~ \rho$ – плотность движущейся массы, $~ \mathbf{J}$ – плотность тока массы.

Согласно первому из этих уравнений, напряжённость поля ускорений имеет источник в виде плотности вещества, а по второму уравнению ток массы либо изменение во времени вектора напряжённости поля ускорений порождают круговое поле соленоидального вектора ускорений.

Из (3) и (1) можно получить следующее: $$~ R_{ \mu \alpha } u^{\mu \alpha }= \frac {4 \pi \eta }{c^2} \nabla_{\alpha}J^{\alpha}.$$

Уравнение непрерывности для массового 4-тока $~ \nabla_{\alpha}J^{\alpha}=0$ является калибровочным условием, которое используется для получения уравнения поля (3) из принципа наименьшего действия. С другой стороны, свёртка тензора ускорений и тензора Риччи равняется нулю, $~ R_{ \mu \alpha } u^{\mu \alpha }=0,$ как следствие антисимметричности тензора ускорений.

В пространстве Минковского ковариантная производная превращается в частную производную, и уравнение непрерывности становится таким: $$~\partial_{\alpha } J^\alpha = \frac {\partial \rho } {\partial t}+ \nabla \cdot \mathbf{J} =0.$$

Волновое уравнение для тензора ускорений выглядит следующим образом: $$~ \nabla^\sigma \nabla_\sigma u_{\mu \nu }= \frac {4 \pi \eta }{ c^2 } \nabla_\mu J_\nu - \frac {4 \pi \eta }{ c^2 } \nabla_\nu J_\mu + u_{\nu \rho }{R^\rho}_\mu - u_{\mu \rho }{R^\rho}_\nu + R_{\mu \nu, \lambda \eta } u^{\eta \lambda}.$$

Это уравнение справедливо при условии, что тензор Риччи определяется как результат свёртки метрического тензора и тензора кривизны в виде $$~R_{\mu \nu } = g^{\alpha \beta} R_{\mu \alpha \beta \nu }.$$

Если же тензор Риччи определяется в виде $$~R_{\alpha \nu } = g^{\mu \beta} R_{\mu \alpha \beta \nu },$$

то волновое уравнение для тензора ускорений будет таким: $$~ \nabla^\sigma \nabla_\sigma u_{\mu \nu }= \frac {4 \pi \eta }{ c^2 } \nabla_\mu J_\nu - \frac {4 \pi \eta }{ c^2 } \nabla_\nu J_\mu - u_{\nu \rho }{R^\rho}_\mu + u_{\mu \rho }{R^\rho}_\nu + R_{\mu \nu, \lambda \eta } u^{\eta \lambda}.$$

Использование в ковариантной теории гравитации

Тензор энергии-импульса поля ускорений

С помощью тензора ускорений в ковариантной теории гравитации строится тензор энергии-импульса поля ускорений: $$~ B^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi \eta }\left( -g^{im} u_{n m} u^{n k}+ \frac{1} {4} g^{ik} u_{m r} u^{m r}\right) .$$

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса поля ускорений со смешанными индексами задаёт плотность 4-силы: $$~ f_\alpha = \nabla_\beta {B_\alpha}^\beta = - u_{\alpha k} J^k = - \rho_0 u_{\alpha k}u^k = \rho_0 \frac {DU_\alpha }{D \tau}- J^k \nabla_\alpha U_k = \rho_0 \frac {dU_\alpha }{d \tau} - J^k \partial_\alpha U_k ,\qquad \qquad (6)$$

здесь использован оператор производной по собственному времени $~ \tau$.

Плотность 4-силы может быть записана для временной и пространственной компонент в виде двух выражений: $$~ f_0 = \nabla_\beta {B_0}^\beta = - u_{0 k} J^k = - \rho_0 \frac {dt}{ ds } (\mathbf{S }\cdot \mathbf{v }) ,$$ $$~ f_i = \nabla_\beta {B_i}^\beta = - u_{i k} J^k = c \rho_0 \frac {dt}{ ds } (\mathbf{S }+ [\mathbf {v} \times \mathbf {N}] ),$$

где $~ ds$ обозначает четырёхмерный пространственно-временной интервал, $~ i= 1{,} 2{,} 3.$

Действие и Лагранжиан

Полный Лагранжиан для вещества в гравитационном и электромагнитном полях включает в себя тензор ускорений и содержится в функции действия: $$~S =\int {L dt}=\int (kR-2k \Lambda - \frac {1}{c}D_\mu J^\mu + \frac {c}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu} -\frac {1}{c}A_\mu j^\mu - \frac {c \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu} -$$ $$~ -\frac {1}{c}U_\mu J^\mu - \frac {c }{16 \pi \eta } u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu} -\frac {1}{c} \pi_\mu J^\mu - \frac {c }{16 \pi \sigma } f_{ \mu\nu}f^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g}d\Sigma,$$

где $~L$ – функция Лагранжа или лагранжиан, $~dt$ – дифференциал времени используемой системы отсчёта, $~k$ – некоторый коэффициент, $~R$ – скалярная кривизна, $~\Lambda$ – космологическая константа, характеризующая плотность энергии рассматриваемой системы в целом, и потому являющаяся функцией системы, $~c$ – скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, $~ D_\mu$ – гравитационный 4-потенциал, $~ G$ – гравитационная постоянная, $~ \Phi_{ \mu\nu}$ – тензор гравитационного поля, $~ A_\mu$ – электромагнитный 4-потенциал, $~ j^\mu$ – электрический 4-ток, $~\varepsilon_0$ – электрическая постоянная, $~ F_{ \mu\nu}$ – тензор электромагнитного поля, $~ U_\mu$ – 4-потенциал поля ускорений, $~ \eta$ и $~ \sigma$ – постоянные поля ускорений и поля давления, соответственно, $~ u_{ \mu\nu}$ – тензор ускорений, $~ \pi_\mu$ – 4-потенциал поля давления, $~ f_{ \mu\nu}$ – тензор поля давления, $~\sqrt {-g}d\Sigma= \sqrt {-g} c dt dx^1 dx^2 dx^3$ – инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты $~ dx^0=cdt$, через произведение $~ dx^1 dx^2 dx^3$ дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень $~\sqrt {-g}$ из детерминанта $~g$ метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Варьирование функции действия по 4-координатам даёт уравнение движения элемента вещества в гравитационном и электромагнитном полях и в поле давления: $$~ -u_{\beta \sigma} \rho_{0} u^\sigma = \rho_0 \frac{ dU_\beta } {d \tau }- \rho_0 u^\sigma \partial_\beta U_\sigma = \Phi_{\beta \sigma} \rho_0 u^\sigma + F_{\beta \sigma} \rho_{0q} u^\sigma + f_{\beta \sigma} \rho_0 u^\sigma ,$$

здесь первый член в правой части есть плотность гравитационной силы, выраженная с помощью тензора гравитационного поля, второй член задаёт электромагнитную силу Лоренца для плотности заряда $~ \rho_{0q}$, измеряемой в сопутствующей системе отсчёта, последний член определяет силу давления.

Варьирование функции действия по 4-потенциалу поля ускорений приводит к уравнению поля ускорений (3).

Обобщённая скорость и Гамильтониан

Ковариантный 4-вектор обобщённой скорости, рассматриваемый как 4-потенциал общего поля, определяется выражением: $$~ s_{\mu } = U_{\mu } +D_{\mu } + \frac {\rho_{0q} }{\rho_0 }A_{\mu }+ \pi_{\mu} .$$

С учётом обобщённой скорости Гамильтониан содержит в себе тензор ускорений и имеет вид:

$~H = \int {( s_0 J^0 - \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu }+ \frac {c^2 }{16 \pi \eta } u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 }{16 \pi \sigma } f_{ \mu\nu} f^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3},$

где $~ s_0$ и $~ J^0$ обозначают временные компоненты 4-векторов $~ s_{\mu }$ и $~ J^{\mu }$.

В системе отсчёта, неподвижной относительно центра импульсов системы, Гамильтониан определяет инвариантную энергию системы.

Тензор ускорений используется для вычисления обобщённого 4-импульса, энергии, импульса и 4-импульса физической системы, а также псевдотензора момента импульса.

Специальная теория относительности

Изучая лоренц-ковариантность 4-силы, Friedman и Scarr нашли не полную ковариантность выражения для 4-силы в виде $~ F^\mu = \frac { d p^\mu }{d \tau }.$ Это привело их к выводу, что 4-ускорение должно быть выражено с помощью некоторого антисимметричного тензора $~ {A^\mu}_\nu$: $$~c \frac { d u^\mu }{d \tau } = {A^\mu}_\nu u^\nu .$$

Исходя из анализа различных видов движения, они оценили требуемые для них значения компонент тензора ускорений, дав тем самым этому тензору косвенное определение.

Из сравнения с (6) следует, что тензор $~ {A^\mu}_\nu$ с точностью до знака и постоянного множителя совпадает с тензором ускорений $~ {u^\alpha}_k$ в случае, когда рассматривается прямолинейное движение твёрдого тела без вращения. Действительно, тогда 4-потенциал поля ускорений совпадает с 4-скоростью, $~ U_\mu = u_\mu$. В результате величина $~ - J^k \partial_\alpha U_k =- \rho_0 u^k \partial_\alpha u_k$ в правой части (6) обнуляется, поскольку справедливы соотношения: $~ u^k u_k = c^2$, $~ 2 u^k \partial_\alpha u_k = \partial_\alpha (u^k u_k) = \partial_\alpha c^2 =0$. С учётом этого в (6) можно поднять индекс $~ \alpha$ и сократить плотность массы, что даёт следующее: $$~ - {u^\alpha}_k u^k =\frac {du^\alpha }{d \tau} .$$

Mashhoon и Muench рассматривали преобразование инерциальных систем отсчёта, сопутствующих ускоренной системе отсчёта и пришли к соотношению: $$~c \frac { d \lambda_\alpha }{d \tau } = {\Phi_\alpha}^\beta \lambda_\beta.$$

Тензор $~ {\Phi_\alpha}^\beta$ имеет те же свойства, что и тензор ускорений $~ {u_\alpha}^\beta.$

Другие теории

В статьях, посвящённых модифицированной ньютоновской динамике (МОНД) в тензор-вектор-скалярной гравитации, появляются скалярная функция $~ \psi$ или $~ \phi$, определяющая некоторое скалярное поле, 4-вектор $\mathfrak {U}_\mu$ или $A_\mu$, 4-тензор $\mathfrak {U}_{[\mu\nu ]}$ или $F_{ab} = \frac{\partial A_b}{\partial x^a} - \frac{\partial A_a}{\partial x^b}.$

Анализ этих величин в соответствующем Лагранжиане показывает, что скалярная функция $~ \psi$ или $~ \phi$ соответствуют скалярному потенциалу $~\vartheta$ поля ускорений; 4-вектор $\mathfrak {U}_\mu$ или $A_\mu$ соответствуют 4-потенциалу поля ускорений $~ U_\mu$; 4-тензор $\mathfrak {U}_{[\mu\nu ]}$ или $F_{ab}$ соответствуют тензору ускорений $u_{\mu \nu}$.

Как известно, поле ускорений предназначено не для объяснения ускоренного движения, а для его точного описания. В таком случае можно предположить, что тензор-вектор-скалярные теории не могут претендовать на объяснение кривых вращения галактик. В лучшем случае они могут служить только для описания движения, например для описания вращения звёзд в галактиках или вращения галактик в скоплениях галактик.

См. также

• Поле ускорений
• Тензор электромагнитного поля
• Тензор гравитационного поля
• Тензор поля давления
• Тензор поля диссипации
• Тензор энергии-импульса поля ускорений
• Общее поле
• Поле диссипации
• Поле давления
• Лоренц-инвариантная теория гравитации
• Ковариантная теория гравитации

Внешние ссылки

• Acceleration tensor