4-сила

4-сила есть 4-вектор, рассматриваемый как релятивистское обобщение классического трёхмерного вектора силы на четырёхмерное пространство-время. Как и в классической механике, 4-сила может быть определена двумя способами. В первом из них измеряется изменение энергии и импульса частицы за единицу собственного времени. Во втором способе вводятся силовые характеристики — напряжённости поля, и с их помощью при известных энергии и импульсе частицы вычисляют 4-силу, действующую на частицу в данном поле. Равенство 4-сил, полученных данными способами, даёт уравнение движения частицы в заданном силовом поле.

В специальной теории относительности 4-сила определяется как производная 4-импульса $~ p^\lambda$ по собственному времени $~ \tau$ частицы: $$~F^\lambda := \frac{dp^\lambda }{d\tau}. \qquad\qquad (1)$$

Для частицы с постоянной инвариантной массой M > 0, $~ p^\lambda = M u^\lambda$, где $~ u^\lambda$ есть 4-скорость. Это позволяет связать 4-силу с 4-ускорением $~ a^\lambda$ аналогично второму закону Ньютона: $$~F^\lambda = M a^\lambda = \left(\gamma {\mathbf{F}\cdot \mathbf{v} \over c},\gamma {\mathbf {F}}\right) ,$$

где $~ \mathbf{v}$ есть классический 3-вектор скорости частицы, $~ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$ — фактор Лоренца, $~ c$ — скорость света, $$~{\mathbf {F}}={d \over dt} \left( \gamma M {\mathbf {v}} \right)={d\mathbf{p} \over dt}= M \gamma \left(\mathbf{a} +\gamma^2 \frac{ (\mathbf{v} \cdot \mathbf{a})}{c^2} \mathbf{v} \right) = M \gamma^3 \left(\mathbf{a} +\frac{ \mathbf{v} \times [\mathbf{v} \times \mathbf{a}]}{c^2} \right)$$— 3-вектор силы, $~ \mathbf{p}$ — 3-вектор релятивистского импульса, $~ \mathbf{a}= \frac {d \mathbf{v}}{dt}$ — 3-вектор ускорения, $$~\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}={d \over dt} \left(\gamma M c^2 \right)={dE \over dt},$$

$~ E$ — релятивистская энергия.

В общей теории относительности 4-сила определяется через ковариантную производную 4-импульса по собственному времени: $$F^\lambda := \frac{Dp^\lambda }{D\tau} = \frac{dp^\lambda }{d\tau } + \Gamma^\lambda {}_{\mu \nu}u^\mu p^\nu ,$$

где $~ \Gamma^\lambda {}_{\mu \nu}$ — символ Кристоффеля.

Примеры

4-сила, действующая в электромагнитном поле на частицу с электрическим зарядом $~q$, выражается следующим образом: $$~ F^\lambda = q F^{\lambda \mu} u_\mu,$$

где $~F^{\lambda \mu}$ — тензор электромагнитного поля, $~u_\mu$ — 4-скорость c нижним (ковариантным) индексом.

Плотность 4-силы

Для описания жидких или протяжённых сред, в которых требуется находить силы в разных точках пространства, вместо 4-вектора силы используют 4-вектор плотности силы, локально действующей на малый элемент объёма среды: $$~f^\lambda := \frac{dJ^\lambda }{d\tau}, \qquad\qquad (2)$$

где $~ J^\lambda = \rho_0 u^\lambda$ есть массовый 4-ток, $~ \rho_0$ — плотность вещества в системе его покоя.

В специальной теории относительности справедливы соотношения: $$~ u^\lambda = \left(\gamma c, \gamma {\mathbf {v}}\right),$$ $$~f^\lambda = \left(\frac {\gamma }{c} \frac { d\varepsilon }{dt}, \gamma {\mathbf {f}}\right) ,$$

где $~ \mathbf{f} = {d \over dt} \left(\gamma \rho_0 {\mathbf {v}} \right)={d\mathbf{J} \over dt}$ — 3-вектор плотности силы, $~ \mathbf{J}$ — 3-вектор массового тока, $~ \varepsilon = \gamma \rho_0 c^2$ — плотность релятивистской энергии.

Если проинтегрировать (2) по инвариантному объёму элемента вещества, измеряемому в сопутствующей системе отсчёта, то получится выражение для 4-силы (1): $$~\int {f^\lambda dV_0}= F^\lambda = \int {\frac{d(\rho_0 u^\lambda ) }{d\tau} dV_0} = \frac {d}{ d\tau } \int {\rho_0 u^\lambda dV_0} =\frac {d}{ d\tau } \int { u^\lambda dM} =\frac{dp^\lambda }{d\tau}.$$

Данная формула и определение плотности 4-силы через массовый 4-ток $~ J^\lambda$ при учёте действующих в системе полей требуют коррекции, поскольку не содержат дополнительного вклада от 4-импульсов самих полей.

4-сила в КТГ

Если частица находится в гравитационном поле, то согласно ковариантной теории гравитации (КТГ) гравитационная 4-сила равна: $$~ F^\nu = M \Phi^{\nu \mu} u_\mu = \Phi^{\nu \mu} p_\mu ,$$

где $~\Phi^{\nu \mu}$ — тензор гравитационного поля, выражаемый через напряжённость гравитационного поля и поле кручения, $~p_\mu$ — 4-импульс c нижним (ковариантным) индексом, и масса частицы $~M$ включает в себя вклады от массы-энергии полей, связанных с веществом частицы.

В КТГ тензор гравитационного поля с ковариантными индексами $~ \Phi_{rs}$ определяется непосредственно, а для перехода к тензору с контравариантными индексами по обычному правилу используется метрический тензор, в общем случае являющийся функцией от времени и координат: $$~ \Phi^{\nu \mu}= g^{\nu r} g^{s \mu } \Phi_{rs} .$$

Вследствие этого 4-сила $~ F^\nu$, зависящая от метрического тензора через $~ \Phi^{\nu \mu}$, также становится функцией метрики. В то же время определение 4-силы с ковариантным индексом не требует знания метрики: $$~ F_\mu = M \Phi_{\mu \nu} u^\nu = \Phi_{\mu \nu} p^\nu.$$

В ковариантной теории гравитации 4-вектор плотности силы определяется через поле ускорений: $$~ f_\alpha = \nabla_\beta {B_\alpha}^\beta = - u_{\alpha k} J^k = \rho_0 \frac {DU_\alpha }{D \tau}- J^k \nabla_\alpha U_k = \rho_0 \frac {dU_\alpha }{d \tau} - J^k \partial_\alpha U_k ,\qquad \qquad (3)$$

где $~ {B_\alpha}^\beta$ — тензор энергии-импульса поля ускорений со смешанными индексами, $~ u_{\alpha k}$ — тензор ускорений, 4-потенциал поля ускорений выражается через скалярный $~ \vartheta$ и векторный $~ \mathbf {U}$ потенциалы: $$~U_\alpha = \left(\frac {\vartheta }{c},- \mathbf {U} \right) .$$ В выражении (3) используется оператор производной по собственному времени $~\frac{ D } {D \tau }= u^\mu \nabla_\mu$, обобщающий производную Лагранжа (субстанциональную производную) на искривлённое пространство-время.

Если есть только гравитационные и электромагнитные силы и силы давления, то справедливо выражение: $$~f_\alpha = \Phi_{\alpha \mu } J^\mu + F_{\alpha \mu } j^\mu + f_{\alpha \mu } J^\mu = - \nabla_\mu \left( {U_\alpha }^\mu + {W_\alpha}^\mu + {P_\alpha}^\mu \right), \qquad \qquad (4)$$

где $~ j^\mu = \rho_{0q} u^\mu$ есть 4-вектор плотности электромагнитного тока или зарядовый 4-ток, $~\rho_{0q}$ — плотность электрического заряда элемента вещества в системе его покоя, $~ f_{\alpha \mu }$ — тензор поля давления, $~ {U_\alpha }^\mu$ — тензор энергии-импульса гравитационного поля, $~ {W_\alpha}^\mu$ — тензор энергии-импульса электромагнитного поля, $~ {P_\alpha}^\mu$ — тензор энергии-импульса поля давления.

В ряде случаев вместо массового 4-тока используется величина $~ h^\lambda = \rho u^\lambda$, где $~ \rho$ — плотность движущегося вещества в произвольной системе отсчёта. Величина $~ h^\lambda$ не является 4-вектором, так как плотность вещества не является инвариантной величиной при преобразованиях координат. При интегрировании по движущемуся объёму элемента вещества благодаря соотношениям $~ dM= \rho_0 dV_0=\rho dV$ и $~ dV dt = dV_0 d\tau$ получается следующее: $$~ \int {\frac {dh^\lambda}{ d\tau } dV}= \int {\frac{d(\rho u^\lambda ) }{d\tau} dV} = \frac {d}{ dt } \int {\rho u^\lambda dV_0}= \frac {d}{ dt } \int {\frac {dt}{ d\tau }u^\lambda dM}.$$

Для инерциальных систем отсчёта в последнем выражении можно вынести величину $~ \frac {dt}{ d\tau }$ за знак интеграла. Это даёт 4-силу для таких систем отсчёта: $$~ \frac {d}{ d\tau } \int {u^\lambda dM}= F^\lambda .$$

Однако движущееся вещество кроме импульса частиц имеет ещё и импульс поля, связанного с веществом, что требует более общего определения 4-импульса и 4-силы.

В общей теории относительности считается, что тензор энергии-импульса пылевидного вещества определяется выражением $~ t^{\nu \lambda }= J^\nu u^\lambda$, и для него $~ h^\lambda = \frac {t^{0 \lambda }}{c}$, то есть величина $~ h^\lambda = \rho u^\lambda$ состоит из четырёх временных компонент данного тензора. Интеграл от этих компонент по движущемуся объёму даёт соответственно энергию (с точностью до константы, равной $~ c$) и импульс элемента вещества. Однако такое решение справедливо лишь в приближении инерциального движения, как это показано выше. Кроме того, согласно выводам в статье, интегрирование временных компонент тензора энергии-импульса для получения энергии и импульса системы в общем случае незаконно и приводит к парадоксам наподобие проблемы 4/3 для гравитационного и электромагнитного полей.

Вместо этого в ковариантной теории гравитации 4-импульс, содержащий энергию и импульс, выводится не из тензоров энергии-импульса, а путём вариации лагранжиана системы.

Компоненты плотности 4-силы

Выражение (4) для плотности 4-силы можно разделить на 2 части, одна из которых будет описывать объёмную плотность мощности энергии, а другая описывать суммарную плотность силы от имеющихся полей. Будем считать, что скорость распространения гравитации равна скорости света.

В выражении (4) произведём замену: $$~ J^\mu = \rho_0 u^\mu = \rho_0 \frac {cdt}{ds} \frac {dx^\mu }{dt} = \rho \frac {dx^\mu }{dt} ,$$ где $~ ds$ обозначает интервал, $~ dt$ есть дифференциал координатного времени, $~ \rho= \rho_0 \frac {cdt}{ds}$ — плотность массы движущегося вещества, четырёхмерная величина $~ \frac {dx^\mu }{dt}=(c, \mathbf{v} )$ состоит из временной компоненты, равной скорости света $~ c$, и пространственной компоненты в виде 3-вектора скорости частицы $~ \mathbf{v}$.

Аналогично запишем зарядовый 4-ток через плотность заряда движущегося вещества $~ \rho_{q}= \rho_{0q} \frac {cdt}{ds}$: $$~ j^\mu = \rho_{0q} u^\mu = \rho_{0q} \frac {cdt}{ds} \frac {dx^\mu }{dt} = \rho_{q}\frac {dx^\mu }{dt}.$$

Кроме этого, выразим тензоры через их компоненты, то есть через соответствующие 3-векторы напряжённостей полей. Тогда для временной компоненты плотности 4-силы c ковариантным индексом находим: $$~ f_0 = \frac {1}{ c }( \rho \mathbf{\Gamma} \cdot \mathbf{v}+ \rho_{q} \mathbf{E} \cdot \mathbf{v}+\rho \mathbf{C} \cdot \mathbf{v} ) .$$

где $~ \mathbf{\Gamma }$ — напряжённость гравитационного поля, $~ \mathbf{E}$ — напряжённость электромагнитного поля, $~ \mathbf{ C}$ — напряжённость поля давления.

Пространственная компонента плотности ковариантной 4-силы является 3-вектором вида $~ - \mathbf{f}$, то есть 4-сила $~ f_\lambda = (f_0{,} -f_x{,}-f_y{,}-f_z),$

при этом плотность 3-силы равна: $$~ \mathbf{f}= \rho \mathbf{\Gamma }+ \rho [\mathbf{v} \times \mathbf{\Omega}] + \rho_{q}\mathbf{E}+ \rho_{q} [\mathbf{v} \times \mathbf{B}] + \rho \mathbf{C}+ \rho [\mathbf{v} \times \mathbf{I}],$$

где $~ \mathbf{\Omega}$ — поле кручения, $~ \mathbf{B}$ — индукция магнитного поля, $~ \mathbf{ I }$ — соленоидальный вектор поля давления.

Выражение для ковариантной плотности 4-силы можно также записать через компоненты тензора ускорений. Из (3) находим: $$~f_0 = - u_{0 k} J^k = - \frac {\rho }{ c } \mathbf{S} \cdot \mathbf{v},$$ $$~ \mathbf{f}= -\rho \mathbf{S} - \rho [\mathbf{v} \times \mathbf{N}] ,$$

где $~ \mathbf{S}$ — напряжённость поля ускорений, $~ \mathbf{ N }$ — соленоидальный вектор поля ускорений.

Используя выражение 4-потенциала поля ускорений через скалярный $~ \vartheta$ и векторный $~ \mathbf {U}$ потенциалы и определение производной Лагранжа, из (3) и (4) для скалярной и векторной компонент уравнения движения получается следующее: $$~ \frac { d \vartheta }{dt} - \frac {dx^k }{dt} \frac {\partial U_k }{\partial t} = \mathbf{v}\cdot \nabla \vartheta + v_x \frac { \partial U_x}{\partial t} + v_y \frac { \partial U_y}{\partial t} + v_z \frac { \partial U_z}{\partial t} = - \mathbf{S} \cdot \mathbf{v}= \mathbf{\Gamma} \cdot \mathbf{v}+ \frac {\rho_{0q} }{\rho_0 } \mathbf{E} \cdot \mathbf{v}+ \mathbf{C} \cdot \mathbf{v} . \qquad (5)$$ $$~ \frac { d \mathbf {U} }{dt} + \nabla \vartheta - v_x \nabla U_x - v_y \nabla U_y - v_z \nabla U_z = - \mathbf{S} - [\mathbf{v} \times \mathbf{N}] = \mathbf{\Gamma }+ [\mathbf{v} \times \mathbf{\Omega}] + \frac {\rho_{0q} }{\rho_0 } (\mathbf{E}+ [\mathbf{v} \times \mathbf{B}] ) + \mathbf{C}+ [\mathbf{v} \times \mathbf{I}]. \qquad (6)$$

Здесь $~ U_x , U_y , U_z$ являются компонентами векторного потенциала $~ \mathbf {U}$ поля ускорений, $~ v_x , v_y , v_z$ являются компонентами скорости $~ \mathbf {v}$ элемента вещества или частицы.

Уравнения движения вещества (5) и (6) получаются в ковариантной форме и справедливы в искривлённом пространстве-времени. В левой части этих уравнений присутствуют либо потенциалы, либо напряжённость и соленоидальный вектор поля ускорений. Правая часть уравнений движения выражается через напряжённости и соленоидальные векторы гравитационного и электромагнитного полей, и поля давления внутри вещества. Прежде чем решать данные уравнения движения, удобно найти вначале потенциалы всех полей через соответствующие волновые уравнения. Беря далее 4-ротор от 4-потенциалов полей, можно определить напряжённости и соленоидальные векторы всех полей. После подстановки их в (5) и (6) становится возможным найти соотношение между коэффициентами полей, выразить коэффициент поля ускорений и тем самым полностью определить это поле в веществе.

Связь с 4-ускорением

Особенностью уравнений движения (5) и (6) является то, что в них нет прямой связи с 4-ускорением рассматриваемой частицы вещества. Однако в ряде случаев возможно определить как ускорение и скорость движения, так и зависимость пройденного расстояния от времени. Простейшим примером является прямолинейное движение однородной твёрдой частицы в однородных внешних полях. В этом случае 4-потенциал поля ускорений точно совпадает с 4-скоростью частицы, так что скалярный потенциал $~ \vartheta = \gamma c^2$, векторный потенциал $~ \mathbf {U}= \gamma \mathbf {v}$, где $~ \gamma$ есть фактор Лоренца частицы. Подстановка равенства $~ U_\alpha = u_\alpha$ даёт в (3) следующее: $$~ \rho_0 \frac {dU_\alpha }{d \tau} = \rho_0 \frac {du_\alpha }{d \tau}= \rho_0 a_\alpha,$$ $$~ J^k \partial_\alpha U_k = \rho_0 u^k \partial_\alpha u_k =\frac {\rho_0 }{2} \partial_\alpha (u^k u_k) =\frac {\rho_0 }{2} \partial_\alpha c^2 =0,$$

где $~ a_\alpha = \frac {du_\alpha }{d \tau}= u^\mu \partial_\mu u_\alpha$ определяется как 4-ускорение.

Тогда из (3) и (4) следует уравнение для 4-ускорения частицы: $$~ a_\alpha = \Phi_{\alpha \mu } u^\mu + \frac {\rho_{0q} }{\rho_0 } F_{\alpha \mu } u^\mu + f_{\alpha \mu } u^\mu .$$

После умножения на массу частицы данное уравнение будет соответствовать уравнению (1) для 4-силы.

В рассматриваемом случае движения твёрдой частицы 4-ускорение с ковариантным индексом можно выразить через напряжённость и соленоидальный вектор поля ускорений: $$~ a_\alpha = \frac {cdt}{ds}\left(-\frac {1}{c} \mathbf{S} \cdot \mathbf{v}{,} \qquad \mathbf{S}+[\mathbf{v} \times \mathbf{N}] \right).$$

В специальной теории относительности $~ \frac {cdt}{ds}= \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}},$ и подставляя значения $~ \mathbf{S}$ и $~ \mathbf{ N }$ для одной частицы, для ковариантного 4-ускорения получается стандартное выражение: $$~ \mathbf {S} = - c^2 \nabla \gamma - \frac {\partial (\gamma \mathbf { v })}{\partial t},\qquad\qquad \mathbf {N} = \nabla \times (\gamma \mathbf { v }).$$ $$~ a_\alpha = \gamma \left( \frac {d(\gamma c)}{dt}{,} \qquad - \frac {d(\gamma \mathbf{v}) }{dt} \right).$$

Если масса $~ m$ частицы постоянна, то для силы, действующей на частицу, можно записать: $$~ \mathbf F= \frac {d \mathbf p }{dt}= m \frac {d (\gamma \mathbf v )}{dt}= -m \left(\mathbf{S}+[\mathbf{v} \times \mathbf{N}] \right)= \nabla E + \frac {\partial \mathbf p }{\partial t} - \mathbf { v }\times [ \nabla \times \mathbf p ] ,$$

где $~ E = \gamma m c^2$ есть релятивистская энергия, $~ \mathbf p = \gamma m \mathbf v$ — 3-вектор релятивистского импульса частицы.

Для тела с непрерывным распределением вещества векторы $~ \mathbf{S}$ и $~ \mathbf{ N }$ существенно отличаются от соответствующих мгновенных векторов конкретных частиц вблизи точки наблюдения. Эти вектора отражают усреднённую величину 4-ускорения внутри тел. В частности, внутри тел возникает 4-ускорение, генерируемое различными силами в веществе. Типичным примером являются релятивистская однородная система, а также космические тела, где основными силами являются силы гравитации и внутреннего давления, обычно направленные противоположно друг другу. При вращении этих тел плотность 4-силы, 4-ускорение, векторы $~ \mathbf{S}$ и $~ \mathbf{ N }$ становятся функциями не только радиуса, но и расстояния от оси вращения до точки наблюдения. В общем случае для протяжённых тел 4-ускорение в каждой точке тела становится некоторой функцией координат и времени. В качестве характеристики движения физической системы может быть выбрано 4-ускорение центра импульсов, для оценки которого следует проинтегрировать плотность силы по объёму всего вещества и разделить суммарную силу на инертную массу системы. Другой способ предполагает оценку 4-ускорения через напряжённость и соленоидальный вектор поля ускорений в центре импульсов в приближении специальной теории относительности, как это было показано выше.

См. также

• 4-вектор
• 4-скорость
• 4-ускорение
• 4-импульс
• Поле ускорений
• Поле давления
• Уравнение векторного поля

Внешние ссылки

• Four-force