Поле давления

Поле давления  — двухкомпонентное векторное силовое поле, ковариантным образом описывающее динамическое давление отдельных частиц и давление, возникающее в системах с множеством тесно взаимодействующих частиц. Поле давления является компонентой общего поля, представленной в лагранжиане и в гамильтониане произвольной физической системы членом с энергией частиц в поле давления, и членом с энергией поля. В уравнение движения поле давления входит через тензор поля давления, а в уравнение для метрики — через тензор энергии-импульса поля давления. Любые силы, действующие на частицы вещества и приводящие к изменению их взаимодействия друг с другом, делают вклад в поле давления, в его энергию и импульс. Поле давления обычно рассматривается как макроскопическое поле, описывающее усреднённое взаимодействие частиц в произвольном малом объёме системы. Причиной возникновения поля давления на микроуровне являются различные взаимодействия. Например, электромагнитные силы и сильная гравитация удерживают вместе электроны и нуклоны в атомах. Под действием внешних сил происходит сдавливание вещества и изменение объёма, занимаемого атомами и электронами в атомах вещества. Это приводит к изменению энергии системы, что может быть представлено как изменение энергии поля давления.

Скалярное поле давления

В равновесных состояниях вещества и в отсутствие массовых сил атомы и молекулы движутся как правило хаотично и их общим направленным движением можно пренебречь. В таких условиях характеристикой внутреннего движения становится средняя скорость частиц $~ \bar {v}$. В молекулярно-кинетической теории для давления $~ p$ имеется формула: $p= \frac{1}{3}m_0 n \bar {v}^2 ,$ где $~ m_0$ — средняя масса одной частицы термодинамической системы, $~ n$ — концентрация частиц.

Будучи термодинамической макроскопической переменной, давление входит в уравнение состояния, связывающее между собой различные термодинамические переменные. В частности давление входит как физическая переменная в уравнение состояния идеального газа: $$p\cdot V= \frac{m}{M}R\cdot T,$$ $$~p= n k T,$$ где $~ V$ — объём газа, $~ m$ — масса газа, $~ M$ — молярная масса, $~R$ — универсальная газовая постоянная, $~ T$ — температура, $k = \frac{R}{N_A}$ — постоянная Больцмана, $~ N_A$ — число Авогадро.

Давление входит в закон Бернулли для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости, являющийся следствием закона сохранения энергии: $$\tfrac{\rho v^2}{2} + \rho g h + p = \mathrm{const}$$

где $~\rho$ — плотность жидкости, $~v$ — скорость потока, $~h$ — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости, $~p$ — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости, $~g$ — ускорение свободного падения. Первый член равенства есть динамическое давление, второй член даёт давление от массовых сил (в данном случае от гравитации), третий член представляет собой статическое давление, а константа в правой части называется полным давлением.

Скалярное давление характеризует состояние сплошной среды и в случае состояния равновесия в жидкости становится гидростатическим давлением. При этом давление является диагональной компонентой симметричного трёхмерного тензора напряжений Коши: $$~\sigma_{ij} = -p \delta_{ij} ,$$

где $~\delta_{ij}$ есть символ Кронекера.

В общей теории относительности для идеальной жидкости используется тензор энергии-импульса давления, являющийся обобщением формул классической механики: $$~ P^{\mu \nu } = \frac {p}{c^2}u^\mu u^\nu - g^{\mu \nu } p,$$

где $~ g^{\mu \nu }$ есть метрический тензор, $~u^\mu$ — 4-скорость, $~ c$ — скорость света.

В концепции скалярного поля под энергией поля давления подразумевается работа, совершаемая давлением по изменению объёма системы от начального состояния с нулевым давлением до текущего состояния, с учётом вклада кинетической энергии частиц от изменения массы-энергии за счёт поля давления.

Векторное поле давления

Недостатком скалярной концепции поля давления является неточный учёт энергии и импульса поля давления в ускоренных системах отсчёта с множеством источников поля, где проявляются эффекты самодействия поля, сложения отдельных волн давления при ограниченной скорости распространения поля. В векторных полях появляется дополнительная степень свободы в виде векторного потенциала. В результате энергия одной компоненты поля может переходить в энергию другой компоненты, напряжённость поля становится функцией скалярного и векторного потенциалов, а сила определяется напряжённостью поля, скоростью движения и соленоидальным вектором. Примерами самодействия поля являются электромагнитная индукция и гравитационная индукция. Давление как двухкомпонентное векторное поле было представлено Сергеем Федосиным в рамках метрической теории относительности и  ковариантной теории гравитации, а уравнения этого поля появились как следствие принципа наименьшего действия.

Математическое описание

4-потенциал поля давления выражается через скалярный $~\wp$ и векторный $~ \boldsymbol {\Pi }$ потенциалы: $$~\pi_\mu = \left(\frac {\wp }{c},- \boldsymbol {\Pi } \right) .$$

Антисимметричный тензор поля давления вычисляется через 4-ротор от 4-потенциала: $$f_{\mu \nu} = \nabla_\mu \pi_\nu - \nabla_\nu \pi_\mu = \frac{\partial \pi_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial \pi_\mu}{\partial x^\nu}.$$

Компонентами тензора поля давления являются компоненты вектора напряжённости поля давления $~\mathbf {C}$ и соленоидальный вектор давления $~\mathbf { I }$: $$~ f_{\mu \nu}= \begin{vmatrix} 0 & \frac { C_x}{ c} & \frac { C_y}{ c} & \frac { C_z}{ c} \\ -\frac { C_x}{ c} & 0 & - I_{z} & I_{y} \\ -\frac { C_y}{ c} & I_{z} & 0 & - I_{x} \\ -\frac { C_z}{ c}& - I_{y} & I_{x} & 0 \end{vmatrix}.$$

При этом получается следующее: $$~\mathbf{C}= -\nabla \wp - \frac{\partial \mathbf{\Pi }} {\partial t}, \qquad\qquad \mathbf{I }= \nabla \times \mathbf{\Pi }. \label 1 \tag 1$$

Действие, Лагранжиан и энергия

В ковариантной теории гравитации 4-потенциал $~ \pi_\mu$ поля давления является частью 4-потенциала общего поля $~ s_\mu$, который является суммой 4-потенциалов таких частных полей, как электромагнитное и гравитационное поля, поле ускорений, поле давления, поле диссипации, поле сильного взаимодействия, поле слабого взаимодействия, других векторных полей, действующих на вещество и его частицы. Все эти поля так или иначе представлены в веществе, так что 4-потенциал $~ s_\mu$ не может состоять только из одного 4-потенциала $~ \pi_\mu$. Плотность энергии взаимодействия общего поля с веществом задаётся произведением 4-потенциала общего поля на массовый 4-ток: $~ s_\mu J^\mu$. Из 4-потенциала общего поля путём применения 4-ротора получается тензор общего поля: $$~ s_{\mu \nu} =\nabla_\mu s_\nu - \nabla_\nu s_\mu.$$

Тензорный инвариант, в виде $~ s_{\mu \nu} s^{\mu \nu}$, с точностью до постоянного коэффициента пропорционален плотности энергии общего поля. В результате функция действия, содержащая скалярную кривизну $~R$ и космологическую постоянную $~ \Lambda$, определяется выражением: $$~S =\int {L dt}=\int (kR-2k \Lambda - \frac {1}{c}s_\mu J^\mu - \frac {c}{16 \pi \varpi} s_{\mu\nu}s^{\mu\nu} ) \sqrt {-g}d\Sigma,$$

где $~L$ — функция Лагранжа или лагранжиан, $~dt$ — дифференциал времени координатной системы отсчёта, $~k$ и $~ \varpi$ — постоянные, подлежащие определению, $~c$ — скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, $~\sqrt {-g}d\Sigma= \sqrt {-g} c dt dx^1 dx^2 dx^3$ — инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты $~ dx^0=cdt$, через произведение $~ dx^1 dx^2 dx^3$ дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень $~\sqrt {-g}$ из детерминанта $~g$ метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Варьирование функции действия даёт уравнения общего поля, четырёхмерное уравнение движения и уравнение для определения метрики. Так как поле давления является компонентой общего поля, то из уравнений общего поля вытекают соответствующие уравнения поля давления.

При выполнении условия калибровки космологической постоянной в виде $$~ c k \Lambda = - s_\mu J^\mu ,$$

энергия системы не зависит от члена со скалярной кривизной и становится однозначно определённой: $$~E = \int {( s_0 J^0 + \frac {c^2 }{16 \pi \varpi } s_{ \mu\nu} s^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3},$$

где $~ s_0$ и $~ J^0$ обозначают временные компоненты 4-векторов $~ s_{\mu }$ и $~ J^{\mu }$.

4-импульс системы определяется формулой: $$~p^\mu = \left( \frac {E}{c}{,} \mathbf {p}\right) = \left( \frac {E}{c}{,} \frac {E}{c^2}\mathbf {v} \right) ,$$

где $~ \mathbf {p}$ и $~ \mathbf {v}$ обозначают импульс системы и скорость движения центра масс системы.

Уравнения

Четырёхмерные уравнения поля давления по своей форме оказываются подобными уравнениям Максвелла и имеют следующий вид: $$\nabla_\sigma f_{\mu \nu}+\nabla_\mu f_{\nu \sigma}+\nabla_\nu f_{\sigma \mu}=\frac{\partial f_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial f_{\nu \sigma}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial f_{\sigma \mu}}{\partial x^\nu} = 0.$$ $$~ \nabla_\nu f^{\mu \nu} = - \frac{4 \pi \sigma }{c^2} J^\mu,$$

где $~J^\mu = \rho_{0} u^\mu$ есть массовый 4-ток, $~\rho_{0}$ — плотность массы в сопутствующей системе отсчёта, $~u^\mu$ — 4-скорость движения элемента вещества, $~ \sigma$ — постоянная, определяемая в каждой задаче, и предполагается, что имеется равновесие между всеми полями в рассматриваемой физической системе.

Условие калибровки 4-потенциала поля давления: $$~ \nabla^\mu \pi_\mu = 0 .$$

В пространстве Минковского специальной теории относительности вид уравнений поля давления упрощается и их можно выразить через напряжённость поля $~\mathbf {C}$ и соленоидальный вектор $~\mathbf { I }$: $$~ \nabla \cdot \mathbf{C} = 4 \pi \sigma \gamma \rho_0, \qquad\qquad \nabla \times \mathbf{ I } = \frac{1}{c^2} \left( 4 \pi \sigma \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{C}} {\partial t} \right),$$ $$~ \nabla \times \mathbf{C} = - \frac{\partial \mathbf{ I } } {\partial t} , \qquad\qquad \nabla \cdot \mathbf{ I } = 0 .$$

где $~ \gamma = \frac {1}{\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}}$ есть фактор Лоренца, $~ \mathbf{J}= \gamma \rho_0 \mathbf{v }$ — плотность тока массы, $~ \mathbf{v }$ — скорость элемента вещества.

Используя ещё условие калибровки в виде $~ \partial^\mu \pi_\mu = \frac {1}{c^2} \frac{\partial \wp }{\partial t}+\nabla \cdot \boldsymbol {\Pi }=0$ и соотношения $\eqref {1}$, из уравнений поля можно получить волновые уравнения для потенциалов поля давления: $$~ \frac {1}{c^2}\frac{\partial^2 \wp }{\partial t^2 } -\Delta \wp = 4 \pi \sigma \gamma \rho_0, \label 2 \tag 2$$ $$~ \frac {1}{c^2}\frac{\partial^2 \boldsymbol {\Pi } }{\partial t^2 } -\Delta \boldsymbol {\Pi }= \frac {4 \pi \sigma}{c^2} \mathbf{J}.$$

Уравнение движения элемента вещества в общем поле описывается формулой: $$~ s_{\mu \nu} J^\nu =0 .$$

Так как $~ J^\nu = \rho_0 u^\nu$, а тензор общего поля выражается через тензоры частных полей, то уравнение движения можно представить через эти тензоры: $$~ - u_{\mu \nu} J^\nu = F_{\mu \nu} j^\nu + \Phi_{\mu \nu} J^\nu + f_{\mu \nu} J^\nu + h_{\mu \nu} J^\nu + \gamma_{\mu \nu} J^\nu + w_{\mu \nu} J^\nu . \label 3 \tag 3$$

Здесь $~ u_{\mu \nu}$ — тензор ускорений, $~ F_{\mu \nu}$ — тензор электромагнитного поля, $~ j^\nu$ — зарядовый 4-ток, $~ \Phi_{\mu \nu}$ — тензор гравитационного поля, $~ h_{\mu \nu}$ — тензор поля диссипации, $~ \gamma_{\mu \nu}$ — тензор поля сильного взаимодействия, $~ w_{\mu \nu}$ — тензор поля слабого взаимодействия.

Тензор энергии-импульса

Тензор энергии-импульса поля давления вычисляется с помощью тензора давления: $$~ P^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi \sigma }\left( -g^{im} f_{n m} f^{n k}+ \frac{1} {4} g^{ik} f_{m r} f^{m r}\right) .$$

В составе тензора $~ P^{ik}$ находится 3-вектор потока энергии-импульса $~\mathbf {F}$, подобный по смыслу вектору Пойнтинга и вектору Хевисайда. Вектор $~\mathbf {F}$ можно представить через векторное произведение вектора напряжённости поля $~ \mathbf {C}$ и соленоидального вектора $~ \mathbf { I }$: $$~ \mathbf {F}=c P^{0i} = \frac {c^2}{4 \pi \sigma }[\mathbf {C}\times \mathbf { I }],$$ здесь индекс $~ i=1,2,3.$

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса поля давления задаёт плотность 4-силы давления: $$~ f^\alpha = - \nabla_\beta P^{\alpha \beta} = {f^\alpha}_{k} J^k . \label 4 \tag 4$$ Тензор энергии-импульса поля давления входит в состав тензора энергии-импульса общего поля $~ T^{ik}$, однако в общем случае тензор $~ T^{ik}$ содержит в себе ещё перекрёстные члены с произведениями напряжённостей и соленоидальных векторов частных полей: $$~ T^{ik}= k_1W^{ik}+ k_2U^{ik}+ k_3B^{ik}+ k_4P^{ik} + k_5Q^{ik}+ k_6 L^{ik}+ k_7A^{ik}+ cross \quad terms,$$

где $~ k_1{,} k_2{,} k_3{,} k_4{,} k_5{,} k_6{,} k_7$ — некоторые коэффициенты, $~ W^{ik}$ — тензор энергии-импульса электромагнитного поля, $~ U^{ik}$ — тензор энергии-импульса гравитационного поля, $~ B^{ik}$ — тензор энергии-импульса поля ускорений, $~ Q^{ik}$ — тензор энергии-импульса поля диссипации, $~ L^{ik}$ — тензор энергии-импульса поля сильного взаимодействия, $~ A^{ik}$ — тензор энергии-импульса поля слабого взаимодействия.

Через тензор $~ T^{ik}$ тензор энергии-импульса поля давления входит в уравнение для метрики: $$~ R^{ik} - \frac{1} {4 }g^{ik}R = \frac{8 \pi G \beta }{ c^4} T^{ik},$$

где $~ R^{ik}$ — тензор Риччи, $~ G$ — гравитационная постоянная, $~ \beta$ — некоторая постоянная, и использовано условие калибровки космологической постоянной.

Применение в некоторых задачах

В случае, когда собственный векторный потенциал некоторого векторного поля частицы равен нулю в системе покоя частицы, 4-потенциал этого векторного поля в произвольной системе отсчёта может быть представлен так: $$~ L_\mu = \frac {k_f \varepsilon_p }{\rho_0 c^2} u_\mu ,$$ где $~ k_f = \frac {\rho_0}{\rho_{0q}}$ для электромагнитного поля и $~ k_f = 1$ для остальных полей, $~ \rho_{0}$ и $~\rho_{0q}$ — плотность массы и соответственно плотность заряда в сопутствующей системе отсчёта, $~ \varepsilon_p$ — плотность энергии частицы в данном поле, $~ u_\mu$ — ковариантная 4-скорость.

Для поля давления $~ \varepsilon_p = p_0$, $~ k_f = 1$, и согласно определения, для 4-потенциала поля давления одной частицы имеем: $$~\pi_\mu = \left(\frac {\wp }{c},- \boldsymbol {\Pi } \right) = \frac {p_0 }{\rho_0 c^2} u_\mu ,$$

где $~ p_0$ есть скалярное давление. Для произвольной частицы компоненты 4-потенциала в рамках специальной теории относительности (СТО) имеют вид: $~ \wp = \frac { \gamma p_0 }{\rho_0 },$ $~ \boldsymbol {\Pi }= \frac { \gamma p_0 }{\rho_0 c^2}\mathbf{v},$

и следовательно, векторный потенциал направлен вдоль скорости частицы. Если компоненты векторного потенциала являются функциями от времени и прямо не зависят от пространственных координат, то для такого движения согласно $\eqref {1}$ соленоидальный вектор $~ \mathbf { I }$ обращается в нуль.

Благодаря взаимодействию множества частиц друг с другом посредством различных полей, в том числе на расстоянии без непосредственного контакта, поле давления в веществе изменяется и отличается от поля давления одной частицы в точке наблюдения. Поле давления в системе частиц задаётся через напряжённость и соленоидальный вектор, характеризующие типичные усреднённые характеристики движения вещества. Например, в гравитационно-связанной системе возникает радиальный градиент вектора $~ \mathbf { C },$ а если часть частиц движется синхронно или вращается, то возникает вектор $~ \mathbf { I }.$ Из $\eqref {3}$ и $\eqref {4}$ следует общее выражение для плотности 4-силы с ковариантным индексом, возникающей от поля давления: $$~ (f_\mu)_p = f_{\mu \nu} J^\nu = \rho_0 \frac {cdt}{ds}\left(\frac {1}{c} \mathbf{C} \cdot \mathbf{v}{,} \qquad -\mathbf{C}-[\mathbf{v} \times \mathbf{ I }] \right),$$

где $~ ds$ обозначает четырёхмерный пространственно-временной интервал.

Для стационарного случая, когда потенциалы поля давления не зависят от времени, волновое уравнение $\eqref {2}$ для скалярного потенциала в СТО преобразуется в уравнение: $$~ \Delta \wp = - 4 \pi \sigma \gamma \rho_0.$$

Решение этого уравнения для неподвижной сферы с хаотически движущимися в ней частицами имеет вид: $$~ \wp = \wp_c - \frac {\sigma \gamma_c c^2 }{\eta } + \frac {\sigma \gamma_c c^3 }{r \eta \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} } \sin \left(\frac {r}{c}\sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \approx \wp_c - \frac {2 \pi \sigma \rho_0 r^2 \gamma_c }{3}.$$ $$~ p_0 \approx p_{0c} - \frac {2 \pi \sigma \rho^2_0 r^2 \gamma_c }{3}.$$ $$~ p_{0c} \approx \frac {3 \sigma M^2 }{8 \pi R^4}.$$

Здесь $~ \eta$ есть постоянная поля ускорений, $~ \wp_c$ представляет собой скалярный потенциал поля давления в центре сферы, $~ \gamma_c = \frac {1}{\sqrt{1 - {v^2_c \over c^2}}}$ есть фактор Лоренца для скоростей $~ v_c$ частиц в центре сферы, и ввиду малости аргумента синус разложен до членов второго порядка. Из формулы следует, что потенциал давления и скалярное давление максимальны в центре и уменьшаются при приближении к поверхности сферы радиуса $~ R$ и общей массы $~ M$.

Найденная зависимость для давления в центре $~ p_{0c}$ хорошо выполняется для самых разных космических объектов, включая газовые облака и глобулы Бока, Землю, нейтронные звёзды. В центре звёзд главной последовательности, включая Солнце, основной вклад в общее давление вместо гравитации вносят термоядерные реакции. Этот вклад был учтён в статье, где для давления в центре ядра Солнца получилось соотношение: $$~ p_{0s} \approx \frac {3 \aleph M^2_c }{8 \pi R^4_c},$$

где $~ R_c$ и $~ M_c$ обозначают радиус и массу ядра Солнца, $~ \aleph$ есть постоянная в тензоре энергии-импульса поля сильного взаимодействия, причём $~ \aleph \approx \sigma$.

В рассмотренной системе скалярный потенциал $~ \wp$ становится функцией радиуса, а векторный потенциал $~ \boldsymbol {\Pi }$ и соленоидальный вектор $~ \mathbf { I }$ равны нулю. Напряжённость поля давления $~\mathbf {C}$ находится с помощью $\eqref {1}$. Далее могут быть вычислены все функции поля давления, включая 4-ускорение от поля давления, энергию частиц в этом поле и энергию самого поля давления. Для космических тел без дополнительных источников энергии основной вклад в 4-ускорение в веществе вносит гравитационная сила тяжести и поле давления. При этом автоматически выводится релятивистская энергия покоя системы, с учётом движения частиц внутри сферы. Для системы частиц с полем ускорения, полем давления, гравитационным и электромагнитным полями указанный подход позволил решить проблему 4/3 и показал, где и в какой форме содержится энергия системы. Для постоянной поля давления в этой задаче было найдено соотношение: $$~\sigma = 3G- \frac {3q^2}{4 \pi \varepsilon_0 m^2 },$$ где $~ \varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $~q$ и $~m$ — полный заряд и масса системы.

В статьях соотношение для коэффициентов полей было уточнено следующим образом: $$~\eta + \sigma = G - \frac {\rho^2_{0q}}{4 \pi \varepsilon_0 \rho^2_{0}}.$$

Если ввести параметр $~ \mu$ как количество нуклонов на одну частицу ионизированного газа, то постоянная поля давления выразится так: $$~ \sigma = \frac {2 G}{2+ 3 \gamma_c \mu }.$$

Для давления внутри космических тел в модели гравитационного равновесия находится зависимость от текущего радиуса: $$~ p_0 = p_{0c} - \frac {2 \pi \sigma \rho_0 \rho_{0c}\gamma_c r^2}{3}+ \frac { \pi \sigma A\rho_0 \gamma_c r^3}{3} + \frac {\pi \sigma B \rho_0 \gamma_c r^4}{5} ,$$

где коэффициенты $~ A$ и $~ B$ входят в зависимость плотности массы от радиуса в соотношении $~ \rho_0 = \rho_{0c}- Ar - Br^2.$

В предположении, что типичные частицы системы имеют массу $~\stackrel{-}{m } = \mu m_u$, где $~ m_u$ есть масса одной частицы газа, в качестве которой берётся атомная единица массы, и именно типичные частицы задают температуру и давление, для постоянной поля давления получается следующее: $$~ \sigma = \frac {2}{5} \left( G- \frac {\rho^2_{0q}}{ 4 \pi \varepsilon_0 \rho^2_0 } \right) .$$

При этом скалярный потенциал в центре сферы приблизительно равен: $$~ \wp_c \approx \frac {3 \sigma m}{10 a} \left( 1+\frac {9}{2\sqrt {14}} \right) .$$

Релятивистское уравнение движения вязкого сжимаемого вещества, с учётом 4-потенциала поля давления, тензора поля давления и тензора энергии-импульса поля давления, в пределе малой кривизны пространства-времени было представлено в виде уравнения Навье-Стокса в гидродинамике в рамках СТО.

В рамках релятивистской однородной системы учёт векторного поля давления позволил уточнить теорему вириала, которая в релятивистской форме записывается так: $$~ \langle W_k \rangle \approx - 0,6 \sum_{k=1}^N\langle\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k\rangle ,$$

причём величина $~ W_k \approx \gamma_c T$ превышает кинетическую энергию частиц $~ T$ на множитель, равный фактору Лоренца $~ \gamma_c$ частиц в центре системы. В обычных условиях можно считать, что $~ \gamma_c \approx 1$, и тогда видно, что в теореме вириала кинетическая энергия связана с потенциальной энергией не коэффициентом 0,5, а скорее коэффициентом, близким к 0,6. Отличие от классического случая возникает за счёт учёта поля давления и поля ускорений частиц внутри системы, при этом производная от вириальной скалярной функции $~ G_v$ не равна нулю и должна рассматриваться как производная Лагранжа.

Анализ интегральной теоремы обобщённого вириала позволяет найти на основе теории поля формулу для среднеквадратичной скорости типичных частиц системы, не используя понятия температуры: $$v_\mathrm{rms} = c \sqrt{1- \frac {4 \pi \eta \rho_0 r^2}{c^2 \gamma^2_c \sin^2 {\left( \frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) } } } .$$

Интегральная теорема энергии поля для поля давления в искривлённом пространстве-времени выглядит следующим образом: $$~ - \int { \left( \frac {8 \pi \sigma }{c^2} \pi_\alpha J^\alpha + f_{\alpha \beta} f^{\alpha \beta} \right) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 } = \frac {2}{c} \frac {d}{dt} \left( \int { \pi^\alpha f_\alpha ^{\ 0} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3} \right) + 2 \iint \limits_S {\pi^\alpha f_\alpha ^{\ k} n_k \sqrt {-g} dS} .$$

В релятивистской однородной системе скалярный потенциал $~\wp$ поля давления связан со скалярным потенциалом $~\vartheta$ поля ускорений соотношением: $$~ \wp = \frac {\sigma (\vartheta -c^2)}{ \eta } = \frac {2 (\vartheta -c^2)}{ 3 }.$$

Релятивистское выражение для давления имеет следующий вид:

$p = \frac{2\rho c^2 (\gamma - 1) }{3}= \frac {2 \rho c^2 }{3} \left( \frac {1}{\sqrt {1- v^2/ c^2 }}-1 \right) \approx \frac {\rho v^2}{3},$

где $\rho$ — плотность движущегося вещества, $c$ — скорость света, $\gamma =\frac {1}{\sqrt {1- v^2/ c^2 }}$ — Лоренц-фактор. В пределе малых скоростей это соотношение переходит в стандартную формулу молекулярно-кинетической теории.

См. также

• Общее поле
• Поле ускорений
• Поле диссипации
• Ковариантная теория гравитации
• Метрическая теория относительности
• Тензор поля давления
• Тензор энергии-импульса поля давления
• 4-сила
• Уравнение векторного поля

Внешние ссылки

• Pressure field