Традиция

Тензор энергии-импульса поля ускорений

Тензор энергии-импульса поля ускорений — симметричный четырёхмерный тензор второго ранга, описывающий плотность и поток энергии и импульса поля ускорений в веществе. Данный тензор, а также тензор энергии-импульса гравитационного поля, тензор энергии-импульса электромагнитного поля, тензор энергии-импульса поля диссипации и тензор энергии-импульса поля давления входят в уравнение для определения метрики в ковариантной теории гравитации. Ковариантная производная тензора энергии-импульса поля ускорений позволяет вычислить плотность 4-силы, действующей в веществе.

Ковариантная теория гравитацииПравить

ОпределениеПравить

В ковариантной теории гравитации (КТГ) поле ускорений считается не скалярным, а 4-векторным полем, 4-потенциал которого состоит из скалярной и 3-векторной компонент. В КТГ тензор энергии-импульса поля ускорений был определён Федосиным через тензор ускорений   u i k ~u_{ik} и метрический тензор   g i k ~ g^{ik} из принципа наименьшего действия: [1]   B i k = c 2 4 π η ( − g i m u n m u n k + 1 4 g i k u m r u m r ) , ~ B^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi \eta } \left( - g^{im} u_{nm} u^{nk}+ \frac {1} {4} g^{ik}u_{mr}u^{mr}\right) ,

где   η ~ \eta – постоянная поля ускорения, определяемая через фундаментальные постоянные и физические параметры системы. Поле ускорений рассматривается как компонента общего поля.

Компоненты тензора энергии-импульса поля ускоренийПравить

Так как тензор ускорений состоит из компонент напряжённости поля ускорений   S ~\mathbf{ S} и соленоидального вектора ускорений   N ~\mathbf{N} , то тензор энергии-импульса поля ускорений можно выразить через эти компоненты. В пределе специальной теории относительности метрический тензор перестаёт зависеть от координат и времени и в этом случае тензор энергии-импульса поля ускорений приобретает наиболее простой вид:   B i k = | ε a K x c K y c K z c c P a x ε a − S x 2 + c 2 N x 2 4 π η − S x S y + c 2 N x N y 4 π η − S x S z + c 2 N x N z 4 π η c P a y − S x S y + c 2 N x N y 4 π η ε a − S y 2 + c 2 N y 2 4 π η − S y S z + c 2 N y N z 4 π η c P a z − S x S z + c 2 N x N z 4 π η − S y S z + c 2 N y N z 4 π η ε a − S z 2 + c 2 N z 2 4 π η | . ~ B^{ik} = \begin{vmatrix} \varepsilon_a & \frac {K_x}{c} & \frac {K_y}{c} & \frac {K_z}{c} \\ c P_{ax} & \varepsilon_a - \frac{S^2_x+c^2 N^2_x}{4\pi \eta } & -\frac{S_x S_y+c^2 N_x N_y }{4\pi\eta } & -\frac{S_x S_z+c^2 N_x N_z }{4\pi\eta } \\ c P_{ay} & -\frac{S_x S_y+c^2 N_x N_y }{4\pi\eta } & \varepsilon_a -\frac{S^2_y+c^2 N^2_y }{4\pi\eta } & -\frac{S_y S_z+c^2 N_y N_z }{4\pi\eta } \\ c P_{az} & -\frac{S_x S_z+c^2 N_x N_z }{4\pi\eta } & -\frac{S_y S_z+c^2 N_y N_z }{4\pi\eta } & \varepsilon_a -\frac{S^2_z+c^2 N^2_z }{4\pi\eta } \end{vmatrix}.

Временные компоненты тензора обозначают:

1) объёмная плотность энергии поля ускорений   B 00 = ε a = 1 8 π η ( S 2 + c 2 N 2 ) . ~ B^{00} = \varepsilon_a = \frac{1}{8 \pi \eta }\left(S^2+ c^2 N^2 \right).

2) вектор плотности импульса поля ускорений   P a = 1 c 2 K , ~\mathbf{P_a} =\frac{ 1}{ c^2} \mathbf{K}, где вектор плотности потока энергии поля ускорений:   K = c 2 4 π η [ S × N ] . ~\mathbf{K} = \frac{ c^2 }{4 \pi \eta }[\mathbf{S}\times \mathbf{N}].

Вследствие симметрии тензора по индексам P 01 = P 10 , P 02 = P 20 , P 03 = P 30 P^{01}= P^{10}, P^{02}= P^{20}, P^{03}= P^{30} , так что 1 c K = c P a . \frac{ 1}{ c} \mathbf{K}= c \mathbf{P_a} .

3) Пространственные компоненты тензора образуют 3 x 3 подматрицу, являющуюся 3-мерным тензором плотности потока импульса поля ускорений, взятым со знаком минус. Данный 3-мерный тензор можно записать в следующем виде:   σ p q = 1 4 π η ( S p S q + c 2 N p N q − 1 2 δ p q ( S 2 + c 2 N 2 ) ) , ~ \sigma^{p q} = \frac {1}{4 \pi \eta } \left( S^p S^q + c^2 N^p N^q - \frac {1}{2} \delta^{pq} (S^2 + c^2 N^2 ) \right) ,

где p , q = 1 , 2 , 3 , p,q =1,2,3, компоненты S 1 = S x , S^1=S_x, S 2 = S y , S^2=S_y, S 3 = S z , S^3=S_z, N 1 = N x , N^1=N_x, N 2 = N y , N^2=N_y, N 3 = N z , N^3=N_z, символ Кронекера δ p q \delta^{pq} равен 1 при p = q , p=q, и равен нулю при p ≠ q . p \not=q.

Трёхмерная дивергенция тензора плотности потока импульса поля ускорений связывает плотность силы и скорость изменения плотности импульса поля ускорений:   ∂ q σ p q = − f p + 1 c 2 ∂ K p ∂ t , ~ \partial_q \sigma^{p q} = - f^p +\frac {1}{c^2} \frac{ \partial K^p}{\partial t}, где   f p ~ f^p обозначают компоненты трёхмерной плотности силы ускорения,   K p ~ K^p – компоненты вектора плотности потока энергии поля ускорений.

Плотность 4-силы и уравнения поляПравить

Из принципа наименьшего действия следует, что 4-вектор плотности силы   f α ~ f_\alpha может быть найден через тензор энергии-импульса поля ускорений, либо через произведение тензора поля ускорений и массового 4-тока:   f α = ∇ β B α β = − u α k J k . ( 1 ) ~ f_\alpha = \nabla_\beta {B_\alpha}^\beta = - u_{\alpha k} J^k. \qquad (1)

Уравнения поля ускорений записываются следующим образом:   ∇ n u i k + ∇ i u k n + ∇ k u n i = 0 , ~ \nabla_n u_{ik} + \nabla_i u_{kn} + \nabla_k u_{ni}=0,   ∇ k u i k = − 4 π η c 2 J i . ~\nabla_k u^{ik} = -\frac {4 \pi \eta }{c^2} J^i .

В рамках специальной теории относительности согласно (1) для компонент плотности 4-силы можно записать:   f α = ( − S ⋅ J c , − f ) , ~ f_\alpha = (- \frac {\mathbf{S} \cdot \mathbf{J} }{c}, - \mathbf{f} ), где   f = − ρ S − [ J × N ] ~ \mathbf{f}= - \rho \mathbf{S} - [\mathbf{J} \times \mathbf{N} ] – 3-вектор плотности силы,   ρ ~ \rho – плотность движущегося вещества,   J = ρ v ~\mathbf{J} =\rho \mathbf{v} – 3-вектор плотности массового тока,   v ~\mathbf{v} – 3-вектор скорости движения элемента вещества.

В пространстве Минковского уравнения поля ускорений превращаются в четыре уравнения для вектора напряжённости поля ускорений   S ~ \mathbf{ S} и соленоидального вектора ускорений   N ~\mathbf{N}  :   ∇ ⋅ S = 4 π η ρ , ~\nabla \cdot \mathbf{ S} = 4 \pi \eta \rho,   ∇ × N = 1 c 2 ∂ S ∂ t + 4 π η ρ v c 2 , ~\nabla \times \mathbf{ N} = \frac {1 }{c^2}\frac{\partial \mathbf{ S}}{\partial t}+\frac {4 \pi \eta \rho \mathbf{ v}}{c^2},   ∇ ⋅ N = 0 , ~\nabla \cdot \mathbf{ N} = 0,   ∇ × S = − ∂ N ∂ t . ~\nabla \times \mathbf{ S} = - \frac{\partial \mathbf{ N}}{\partial t}.

Уравнение для метрикиПравить

В ковариантной теории гравитации тензор энергии-импульса поля ускорений в соответствии с принципами метрической теории относительности является одним из тензоров, определяющих метрику внутри тел посредством уравнения для метрики:   R i k − 1 4 g i k R = 8 π G β c 4 ( B i k + P i k + U i k + W i k ) , ~ R_{ik} - \frac{1} {4 }g_{ik}R = \frac{8 \pi G \beta }{ c^4} \left( B_{ik}+ P_{ik}+ U_{ik}+ W_{ik} \right),

где   β ~ \beta – коэффициент, подлежащий определению,   B i k ~ B_{ik} ,   P i k ~ P_{ik} ,   U i k ~ U_{ik} и   W i k ~ W_{ik} – соответственно тензоры плотности энергии-импульса поля ускорений, поля давления, гравитационного и электромагнитного полей,   G ~ G – гравитационная постоянная.

Уравнение движенияПравить

Уравнение движения точечной частицы внутри или за пределами вещества может быть представлено в тензорном виде, с участием тензора энергии-импульса поля ускорений B i k B ^{ik} или тензора ускорений u n k u _{nk}  :   − ∇ k ( B i k + U i k + W i k + P i k ) = g i n ( u n k J k + Φ n k J k + F n k j k + f n k J k ) = 0. ( 2 ) ~ - \nabla_k \left( B^{ik}+ U^{ik} +W^{ik}+ P^{ik} \right) = g^{in}\left(u_{nk} J^k + \Phi_{nk} J^k + F_{nk} j^k + f_{nk} J^k \right) =0. \qquad (2)

где   Φ n k ~ \Phi_{nk} – тензор гравитационного поля,   F n k ~F_{nk} – тензор электромагнитного поля,   f n k ~ f _{nk} – тензор поля давления,   j k = ρ 0 q u k ~j^k = \rho_{0q} u^k – зарядовый 4-ток,   ρ 0 q ~\rho_{0q} – плотность электрического заряда элемента вещества в системе его покоя,   u k ~ u^k – 4-скорость.

Учтём теперь, что   J k = ρ 0 u k ~J^k = \rho_{0} u^k есть массовый 4-ток, а тензор ускорений определяется через 4-потенциал в виде   u n k = ∇ n U k − ∇ k U n . ~ u _{nk}= \nabla_n U_k - \nabla_k U_n. Это даёт следующее: [2]   ∇ β B n β = − u n k J k = − ρ 0 u k ( ∇ n U k − ∇ k U n ) = ρ 0 D U n D τ − ρ 0 u k ∇ n U k . ( 3 ) ~ \nabla_\beta {B_n}^\beta = - u_{n k} J^k = - \rho_{0} u^k (\nabla_n U_k - \nabla_k U_n)= \rho_{0} \frac {DU_n}{D \tau } - \rho_{0} u^k \nabla_n U_k . \qquad (3)

Здесь использован оператор производной по собственному времени   u k ∇ k = D D τ ~ u^k \nabla_k = \frac {D}{D \tau } , где   D ~ D – символ 4-дифференциала в искривлённом пространстве-времени,   τ ~ \tau – собственное время,   ρ 0 ~ \rho_0 есть плотность массы в сопутствующей системе отсчёта.

С учётом этого уравнение движения (2) приобретает вид:   ρ 0 D U n D τ − ρ 0 u k ∇ n U k = − ∇ k ( U n k + W n k + P n k ) = Φ n k J k + F n k j k + f n k J k . ~ \rho_{0} \frac {DU_n}{D \tau }- \rho_{0} u^k \nabla_n U_k = - \nabla^k \left(U_{nk} +W_{nk}+ P_{nk} \right) = \Phi_{nk} J^k + F_{nk} j^k + f_{nk} J^k.

Временная компонента данного уравнения при   n = 0 ~ n=0 описывает скорость изменения скалярного потенциала поля ускорений, а пространственная компонента при   n = 1 , 2 , 3 ~ n=1{,}2{,}3 связывает скорость изменения векторного потенциала поля ускорений с плотностями действующих сил.

Законы сохраненияПравить

При индексе   i = 0 ~ i=0 в (2), то есть для временной компоненты уравнения, в пределе специальной теории относительности из равенства нулю левой части (2) следует:   ∇ ⋅ ( K + H + P + F ) = − ∂ ( B 00 + U 00 + W 00 + P 00 ) ∂ t , ~ \nabla \cdot (\mathbf{ K }+ \mathbf{H}+\mathbf{P}+ \mathbf{F} ) = -\frac{\partial (B^{00}+U^{00}+W^{00}+P^{00} )}{\partial t},

где   K ~ \mathbf{K} – вектор плотности потока энергии поля ускорений,   H ~ \mathbf{H} – вектор Хевисайда,   P ~ \mathbf{P} – вектор Пойнтинга,   F ~ \mathbf{F} – вектор плотности потока энергии поля давления.

Это соотношение можно рассматривать как локальный закон сохранения энергии-импульса всех четырёх полей. [3]

Интегральная форма закона сохранения энергии-импульса получается путём интегрирования уравнения (2) по всему 4-объёму. При интегрировании (2) применяется формула Гаусса-Остроградского, которая заменяет интегрирование дивергенции суммы тензоров по 4-объёму на интегрирование суммы временных компонент тензоров по 3-объёму. В результате в лоренцевых координатах получается интегральный вектор, равный нулю: [4]   Q i = ∫ ( B i 0 + U i 0 + W i 0 + P i 0 ) d V . ~ \mathbb{Q}^i= \int{ \left( B^{i0}+ U^{i0} +W^{i0}+P^{i0} \right) dV }.

Равенство нулю интегрального вектора позволяет объяснить проблему 4/3, согласно которой масса-энергия поля в импульсе поля движущейся системы в 4/3 больше, чем в энергии поля неподвижной системы. С другой стороны, согласно [3] обобщённая теорема Пойнтинга и интегральный вектор должны рассматриваться по разному в веществе и за его пределами. В результате возникновение проблемы 4/3 связывается с тем, что временные компоненты тензоров энергии-импульса не образуют 4-векторы и потому принципиально не могут задавать одну и ту же массу в энергии и в импульсе полей.

Релятивистская механикаПравить

Как в релятивистской механике, так и в общей теории относительности (ОТО), тензор энергии-импульса поля ускорений не используется. Вместо него применяется так называемый тензор энергии-импульса вещества, имеющий в простейшем случае следующий вид:   ϕ n β = ρ 0 u n u β ~ \phi_{ n \beta }= \rho_0 u_n u_\beta . В ОТО тензор   ϕ n β ~ \phi_{ n \beta } подставляется в уравнение для метрики, а его ковариантная производная даёт следующее:   ∇ β ϕ n β = ∇ β ( ρ 0 u n u β ) = u n ∇ β J β + ρ 0 u β ∇ β u n . ~ \nabla^\beta \phi _{n \beta} = \nabla^\beta (\rho_0 u_n u_\beta) = u_n \nabla^\beta J_\beta + \rho_0 u_\beta \nabla^\beta u_n .

В ОТО предполагается, что выполняется уравнение непрерывности в виде   ∇ β J β = 0 . ~ \nabla^\beta J_\beta =0 . Тогда с учётом оператора производной по собственному времени ковариантная производная тензора   ϕ n β ~ \phi_{ n \beta } даёт произведение плотности на 4-ускорение, то есть плотность 4-силы:   ∇ β ϕ n β = ρ 0 u β ∇ β u n = ρ 0 D u n D τ . ( 4 ) ~ \nabla^\beta \phi _{n \beta} = \rho_0 u_\beta \nabla^\beta u_n = \rho_0 \frac {Du_n}{D \tau }. \qquad (4)

Однако уравнение непрерывности справедливо лишь в рамках специальной теории относительности в виде   ∂ β J β = ∂ β J β = 0 . ~ \partial^\beta J_\beta = \partial_\beta J^\beta =0 . В искривлённом пространстве-времени вместо этого должно было бы быть уравнение   ∇ β J β = 0 ~ \nabla^\beta J_\beta =0 , однако вместо нуля в правой части в этом уравнении появляется дополнительный ненулевой член с тензором кривизны Римана. [1] Вследствие этого (4) не является точным выражением, и тензор   ϕ n β ~ \phi_{ n \beta } определяет свойства вещества лишь в специальной теории относительности. В противоположность этому, в ковариантной теории гравитации уравнение (3) записано в ковариантной форме, так что тензор энергии-импульса поля ускорений   B n β ~ B_{ n \beta } описывает поле ускорений частиц вещества в том числе и в римановом пространстве-времени.

См. такжеПравить

СсылкиПравить

  1. ↑ а б Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016); статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.
  2. ↑ Fedosin S.G. Equations of Motion in the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12-30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей.
  3. ↑ а б Fedosin S.G. The generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem. International Frontier Science Letters, Vol. 14, pp. 19-40 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/IFSL.14.19. // Обобщённая теорема Пойнтинга для общего поля и решение проблемы 4/3.
  4. ↑ Fedosin S.G. The Integral Energy-Momentum 4-Vector and Analysis of 4/3 Problem Based on the Pressure Field and Acceleration Field. American Journal of Modern Physics. Vol. 3, No. 4, 2014, pp. 152-167. https://dx.doi.org/10.11648/j.ajmp.20140304.12 ; статья на русском языке: Интегральный 4-вектор энергии-импульса и анализ проблемы 4/3 на основе поля давления и поля ускорений.

Внешние ссылкиПравить

Источник — https://traditio.wiki/w/index.php?title=Тензор_энергии-импульса_поля_ускорений&oldid=724302