Традиция

Электромагнитное поле шара

Электромагнитное поле шара, если не учитывать влияние внешних полей и окружающей среды, полностью определяется уравнением движения электрических зарядов в веществе шара и уравнениями Максвелла. Ввиду симметрии шара, компоненты электромагнитного поля наиболее просто выражаются через сферические координаты   r , θ , ϕ . ~ r, \; \theta, \; \phi. При этом в сферических координатах скалярный и векторный операторы Лапласа, градиент скалярной функции, дивергенция и ротор трёхмерного вектора не совпадают по своему виду с соответствующими выражениями в декартовых координатах.

Для электрического скалярного потенциала   φ ~ \varphi и для векторного потенциала   A ~ \mathbf A однородно заряженного шара, вращающегося вокруг своей оси, из уравнений Максвелла в однородных и изотропных средах следуют уравнения:   Δ φ − ε μ c 2 ∂ 2 φ ∂ t 2 = − γ ρ 0 q ε ε 0 , ( 1 ) ~ \Delta \varphi - \frac {\varepsilon \mu }{c^2} \frac {\partial^2 \varphi }{\partial t^2} = -\frac {\gamma \rho_{0q}}{\varepsilon \varepsilon_0 }, \qquad (1)   Δ A − ε μ c 2 ∂ 2 A ∂ t 2 = − μ γ ρ 0 q ε 0 c 2 v , ( 2 ) ~ \Delta \mathbf A - \frac {\varepsilon \mu }{c^2} \frac {\partial^2 \mathbf A }{\partial t^2} = -\frac {\mu \gamma \rho_{0q}}{\varepsilon_0 c^2} \mathbf v, \qquad (2)

где   Δ ~ \Delta есть оператор Лапласа;   γ ~ \gamma – фактор Лоренца;   ρ 0 q ~ \rho_{0q} – инвариантная плотность заряда вещества шара;   ε ~ \varepsilon – относительная диэлектрическая проницаемость;   ε 0 ~ \varepsilon_0 – электрическая постоянная;   c ~ c – скорость света;   μ ~ \mu – относительная магнитная проницаемость;   v ~ \mathbf v – линейная скорость вращения заряженного элемента вещества, взятого в объёме шара.

Калибровочное условие Лоренца в данном случае записывается так:   ∇ ⋅ A + ε μ c 2 ∂ φ ∂ t = 0. ( 3 ) ~ \nabla \cdot \mathbf A + \frac {\varepsilon \mu }{c^2} \frac {\partial \varphi }{\partial t} =0. \qquad (3)

Напряжённость электрического поля   E ~ \mathbf E и магнитная индукция   B ~ \mathbf B выражаются через скалярный и векторные потенциалы:   E = − ∇ φ − ∂ A ∂ t . ( 4 ) ~ \mathbf E = -\nabla \varphi -\frac {\partial \mathbf A }{\partial t}.\qquad (4)   B = ∇ × A . ( 5 ) ~ \mathbf B = \nabla \times \mathbf A.\qquad (5)

При вращении с постоянной угловой скоростью поле стационарно и не зависит от времени. Это приводит к тому, что все временные производные в (1-4) равны нулю.

Относительная диэлектрическая проницаемость   ε ~ \varepsilon в веществе шара и в среде за пределами шара может иметь разные значения. Это же касается и относительной магнитной проницаемости   μ ~ \mu .

С целью упрощения, представленные далее результаты соответствуют значениям   ε = 1 ~ \varepsilon =1 ,   μ = 1 ~ \mu=1 для случая, когда внутри и за пределами шара не учитываются такие явления, как поляризованность, намагниченность и электропроводность. Предполагается также, что все электромагнитные величины не зависят от времени.

Неподвижный шарПравить

Для неподвижного однородно заряженного шара в (1) и в (4)   γ = 1 ~ \gamma =1 , и электрический потенциал и напряжённость электрического поля внутри шара равны: [1] [2]   φ i = ρ 0 q ( 3 a 2 − r 2 ) 6 ε 0 , ~ \varphi_i = \frac { \rho_{0q} \left( 3a^2-r^2 \right)}{6 \varepsilon_0 } ,   E i = ρ 0 q r 3 ε 0 e r , ~ \mathbf E_i = \frac { \rho_{0q} r }{3\varepsilon_0 } \mathbf e_r ,

где   a ~ a – радиус шара,   e r ~ \mathbf e_r – единичный вектор, направленный вдоль радиальной координаты   r ~ r .

В центре шара при   r = 0 ~ r =0 потенциал   φ i ~ \varphi_i имеет максимальное значение, а на поверхности шара при   r = a ~ r = a потенциал уменьшается в полтора раза. Внутреннее электрическое поле   E i ~ \mathbf E_i в центре шара равно нулю и растёт пропорционально радиальной координате   r ~ r .

Соответствующий внешний электрический потенциал и напряжённость электрического поля за пределами шара имеют следующий вид:   φ o = ρ 0 q a 3 3 ε 0 r , ~ \varphi_o = \frac { \rho_{0q } a^3 }{3 \varepsilon_0 r},   E o = ρ 0 q a 3 3 ε 0 r 2 e r . ~ \mathbf E_o = \frac { \rho_{0q} a^3 }{3\varepsilon_0 r^2 } \mathbf e_r .

Ввиду отсутствия движения электрических зарядов в неподвижном шаре, векторный потенциал и магнитная индукция во всём пространстве системы равны нулю.

Вращающийся шарПравить

Скалярный потенциал и электрическое полеПравить

При вращении шара с постоянной угловой скоростью   ω ~ \omega фактор Лоренца заряженных частиц вещества становится функцией радиальной координаты   r ~ r и угла   θ ~ \theta :   γ = 1 1 − v 2 / c 2 = 1 1 − ω 2 r 2 sin 2 θ c 2 . ~ \gamma = \frac {1}{ \sqrt {1-v^2/c^2} }= \frac {1}{ \sqrt {1- \frac {\omega^2 r^2 \sin^2 \theta}{c^2} }} .

С учётом этого решением уравнения (1) для скалярного потенциала, а также уравнения (4) для компонент напряжённости электрического поля внутри вращающегося однородно заряженного шара в сферических координатах будет следующее: [3]   φ i ≈ ρ 0 q a 2 2 ε 0 + ρ 0 q ω 2 a 4 12 c 2 ε 0 + ρ 0 q ω 4 a 6 30 c 4 ε 0 + c 2 ρ 0 q ω 2 ε 0 [ 1 − ω 2 r 2 sin 2 θ c 2 − 1 + ln 2 − ln ( 1 + 1 − ω 2 r 2 sin 2 θ c 2 ) ] − ~ \varphi_i \approx \frac {\rho_{0q} a^2}{2 \varepsilon_0 }+ \frac {\rho_{0q} \omega^2 a^4}{12 c^2 \varepsilon_0 }+ \frac {\rho_{0q} \omega^4 a^6}{30 c^4 \varepsilon_0 }+\frac { c^2 \rho_{0q} }{ \omega^2 \varepsilon_0 } \left[ \sqrt {1- \frac {\omega^2 r^2 \sin^2 \theta}{c^2} } -1+ \ln 2 - \ln \left( 1+ \sqrt {1- \frac {\omega^2 r^2 \sin^2 \theta}{c^2} } \right) \right] -   − ( ρ 0 q 12 ε 0 + ρ 0 q ω 2 a 2 60 c 2 ε 0 + ρ 0 q ω 4 a 4 140 c 4 ε 0 ) r 2 ( 3 cos 2 θ − 1 ) + ( ρ 0 q ω 2 1120 c 2 ε 0 + ρ 0 q ω 4 a 2 1680 c 4 ε 0 ) r 4 ( 35 cos 4 θ − 30 cos 2 θ + 3 ) − ~-\left( \frac {\rho_{0q} }{12 \varepsilon_0 } + \frac {\rho_{0q} \omega^2 a^2 }{60 c^2 \varepsilon_0 } + \frac {\rho_{0q}\omega^4 a^4 }{140 c^4 \varepsilon_0 } \right) r^2 \left( 3 \cos^2 \theta -1 \right) + \left(\frac {\rho_{0q}\omega^2 }{1120 c^2 \varepsilon_0 } + \frac {\rho_{0q}\omega^4 a^2 }{1680 c^4 \varepsilon_0 } \right) r^4 \left( 35 \cos^4 \theta -30 \cos^2 \theta +3 \right) -   − ρ 0 q ω 4 r 6 22176 c 4 ε 0 ( 231 cos 6 θ − 315 cos 4 θ + 105 cos 2 θ − 5 ) . ~-\frac {\rho_{0q}\omega^4 r^6}{22176 c^4 \varepsilon_0 } \left( 231\cos^6 \theta -315 \cos^4 \theta +105 \cos^2 \theta -5 \right).   E i r ≈ ( ρ 0 q 6 ε 0 + ρ 0 q ω 2 a 2 30 c 2 ε 0 + ρ 0 q ω 4 a 4 70 c 4 ε 0 ) r ( 3 cos 2 θ − 1 ) + ρ 0 q r sin 2 θ ε 0 ( 1 + 1 − ω 2 r 2 sin 2 θ c 2 ) − ~E_{ir} \approx \left( \frac {\rho_{0q } }{6 \varepsilon_0 } + \frac {\rho_{0q }\omega^2 a^2 }{30 c^2 \varepsilon_0 }+ \frac {\rho_{0q }\omega^4 a^4 }{70 c^4 \varepsilon_0 } \right) r \left( 3 \cos^2 \theta -1 \right) +\frac {\rho_{0q } r \sin^2 \theta} {\varepsilon_0 \left( 1+ \sqrt {1- \frac {\omega^2 r^2 \sin^2 \theta}{c^2} } \right) } -   − ( ρ 0 q ω 2 280 c 2 ε 0 + ρ 0 q ω 4 a 2 420 c 4 ε 0 ) r 3 ( 35 cos 4 θ − 30 cos 2 θ + 3 ) + ρ 0 q ω 4 3696 c 4 ε 0 r 5 ( 231 cos 6 θ − 315 cos 4 θ + 105 cos 2 θ − 5 ) . ~- \left(\frac {\rho_{0q }\omega^2 }{280 c^2 \varepsilon_0 }+ \frac {\rho_{0q }\omega^4 a^2 }{420 c^4 \varepsilon_0 } \right) r^3 \left(35 \cos^4 \theta - 30 \cos^2 \theta +3 \right) + \frac {\rho_{0q }\omega^4 }{3696 c^4 \varepsilon_0 } r^5 \left(231\cos^6 \theta - 315 \cos^4 \theta + 105 \cos^2 \theta -5 \right).   E i θ ≈ − ( ρ 0 q 2 ε 0 + ρ 0 q ω 2 a 2 10 c 2 ε 0 + 3 ρ 0 q ω 4 a 4 70 c 4 ε 0 ) r sin θ cos θ + ρ 0 q r sin θ cos θ ε 0 ( 1 + 1 − ω 2 r 2 sin 2 θ c 2 ) + ~E_{i \theta } \approx - \left( \frac {\rho_{0q } }{2 \varepsilon_0 } + \frac {\rho_{0q }\omega^2 a^2 }{10 c^2 \varepsilon_0 }+ \frac {3 \rho_{0q }\omega^4 a^4 }{70 c^4 \varepsilon_0 } \right) r \sin \theta \cos \theta +\frac {\rho_{0q } r \sin \theta \cos \theta } {\varepsilon_0 \left( 1+ \sqrt {1- \frac {\omega^2 r^2 \sin^2 \theta}{c^2} } \right) } +   + ( ρ 0 q ω 2 56 c 2 ε 0 + ρ 0 q ω 4 a 2 84 c 4 ε 0 ) r 3 sin θ cos θ ( 7 cos 2 θ − 3 ) − ρ 0 q ω 4 528 c 4 ε 0 r 5 sin θ cos θ ( 33 cos 4 θ − 30 cos 2 θ + 5 ) . ~+ \left(\frac {\rho_{0q }\omega^2 }{56 c^2 \varepsilon_0 }+ \frac {\rho_{0q }\omega^4 a^2 }{84 c^4 \varepsilon_0 } \right) r^3 \sin \theta \cos \theta \left(7 \cos^2 \theta -3 \right) - \frac {\rho_{0q }\omega^4 }{528 c^4 \varepsilon_0 } r^5 \sin \theta \cos \theta \left( 33 \cos^4 \theta - 30 \cos^2 \theta +5 \right).   E i ϕ = 0. ~ E_{i \phi }=0.

За пределами вращающегося вокруг своей оси шара скалярный потенциал и напряжённость электрического поля выражаются формулами:   φ o ≈ 1 r ( ρ 0 q a 3 3 ε 0 + ρ 0 q ω 2 a 5 15 c 2 ε 0 + ρ 0 q ω 4 a 7 35 c 4 ε 0 ) − 1 r 3 ( ρ 0 q ω 2 a 7 210 c 2 ε 0 + ρ 0 q ω 4 a 9 315 c 4 ε 0 ) ( 3 cos 2 θ − 1 ) + ~ \varphi_o \approx \frac {1}{r}\left( \frac {\rho_{0q} a^3}{3 \varepsilon_0 }+ \frac {\rho_{0q} \omega^2 a^5}{15 c^2 \varepsilon_0 }+ \frac {\rho_{0q} \omega^4 a^7}{35 c^4 \varepsilon_0 } \right) - \frac {1}{r^3} \left( \frac {\rho_{0q} \omega^2 a^7 }{210 c^2 \varepsilon_0 } +\frac {\rho_{0q}\omega^4 a^9 }{315 c^4 \varepsilon_0 } \right) \left( 3 \cos^2 \theta -1 \right) +   + ρ 0 q ω 4 a 11 9240 c 4 ε 0 r 5 ( 35 cos 4 θ − 30 cos 2 θ + 3 ) . ~ + \frac {\rho_{0q}\omega^4 a^{11} }{9240 c^4 \varepsilon_0 r^5} \left( 35 \cos^4 \theta -30 \cos^2 \theta +3 \right).   E o r ≈ 1 r 2 ( ρ 0 q a 3 3 ε 0 + ρ 0 q ω 2 a 5 15 c 2 ε 0 + ρ 0 q ω 4 a 7 35 c 4 ε 0 ) − 1 r 4 ( ρ 0 q ω 2 a 7 70 c 2 ε 0 + ρ 0 q ω 4 a 9 105 c 4 ε 0 ) ( 3 cos 2 θ − 1 ) + ~E_{or} \approx \frac {1}{r^2} \left( \frac {\rho_{0q }a^3 }{3 \varepsilon_0 } + \frac {\rho_{0q }\omega^2 a^5 }{15 c^2 \varepsilon_0 }+ \frac {\rho_{0q }\omega^4 a^7 }{35 c^4 \varepsilon_0 } \right) -\frac {1}{r^4} \left( \frac {\rho_{0q }\omega^2 a^7 }{70 c^2 \varepsilon_0 }+ \frac {\rho_{0q }\omega^4 a^9 }{105 c^4 \varepsilon_0 }\right) \left( 3 \cos^2 \theta -1 \right) +   + ρ 0 q ω 4 a 11 1848 c 4 ε 0 r 6 ( 35 cos 4 θ − 30 cos 2 θ + 3 ) . ~ + \frac {\rho_{0q }\omega^4 a^{11} }{1848 c^4 \varepsilon_0 r^6 } \left(35 \cos^4 \theta - 30 \cos^2 \theta +3 \right) .   E o θ ≈ − 1 r 4 ( ρ 0 q ω 2 a 7 35 c 2 ε 0 + 2 ρ 0 q ω 4 a 9 105 c 4 ε 0 ) sin θ cos θ + ρ 0 q ω 4 a 11 462 c 4 ε 0 r 6 s i n θ cos θ ( 7 cos 2 θ − 3 ) . ~E_{o \theta} \approx - \frac {1}{r^4} \left( \frac {\rho_{0q }\omega^2 a^7 }{35 c^2 \varepsilon_0 }+ \frac {2\rho_{0q }\omega^4 a^9 }{105 c^4 \varepsilon_0 }\right) \sin \theta \cos \theta + \frac {\rho_{0q }\omega^4 a^{11} }{462 c^4 \varepsilon_0 r^6 } sin \theta \cos \theta \left(7 \cos^2 \theta -3 \right) .   E o ϕ = 0. ~ E_{o \phi }=0.

Векторный потенциал и магнитное полеПравить

Компоненты векторного потенциала   A ~ \mathbf A и магнитной индукции   B ~ \mathbf B внутри вращающегося вокруг своей оси однородно заряженного шара согласно уравнениям (2) и (5) имеют следующий вид: [4]   A i r = 0. A i θ = 0. ~ \mathbf A_{ir} = 0. \qquad \mathbf A_{i \theta} = 0.   A i ϕ ≈ c 2 ρ 0 q 3 ε 0 ω 3 r sin θ − c 2 ρ 0 q ( 1 − ω 2 r 2 sin 2 θ c 2 ) 3 / 2 3 ε 0 ω 3 r sin θ − ρ 0 q r sin θ 2 ε 0 ω ( 1 − ω 2 a 2 3 c 2 − ω 4 a 4 15 c 4 − ω 6 a 6 35 c 6 ) − ~ \mathbf A_{i \phi} \approx \frac {c^2 \rho_{0q } }{3\varepsilon_0 \omega^3 r \sin \theta } -\frac { c^2 \rho_{0q } \left( 1-\frac {\omega^2 r^2 \sin^2 \theta }{ c^2 } \right)^{3/2} } {3\varepsilon_0 \omega^3 r \sin \theta } - \frac {\rho_{0q } r \sin \theta }{2\varepsilon_0 \omega } \left( 1- \frac {\omega ^2 a^2}{ 3c^2 } - \frac {\omega ^4 a^4}{ 15c^4 }- \frac {\omega ^6 a^6}{ 35c^6 } \right) -   − ρ 0 q ω r 3 sin θ ( 5 cos 2 θ − 1 ) 40 c 2 ε 0 ( 1 + 2 ω 2 a 2 7 c 2 + ω 4 a 4 7 c 4 ) + ρ 0 q ω 3 r 5 sin θ ( 21 cos 4 θ − 14 cos 2 θ + 1 ) 1008 c 4 ε 0 ( 1 + 9 ω 2 a 2 11 c 2 ) − ~- \frac {\rho_{0q } \omega r^3 \sin \theta \left( 5 \cos^2 \theta -1 \right)}{40 c^2\varepsilon_0 } \left( 1+ \frac {2\omega ^2 a^2}{ 7c^2 } + \frac {\omega ^4 a^4}{ 7c^4 } \right) + \frac {\rho_{0q } \omega^3 r^5 \sin \theta \left( 21\cos^4 \theta -14\cos^2 \theta +1 \right)}{1008 c^4\varepsilon_0 } \left( 1+ \frac {9\omega ^2 a^2}{ 11c^2 } \right)-   − ρ 0 q ω 5 r 7 sin θ ( 429 cos 6 θ − 495 cos 4 θ + 135 cos 2 θ − 5 ) 54912 c 6 ε 0 . ~-\frac {\rho_{0q } \omega^5 r^7 \sin \theta \left( 429\cos^6 \theta -495\cos^4 \theta +135\cos^2 \theta -5 \right)}{54912 c^6\varepsilon_0 }.   B i r ≈ ρ 0 q cos θ 1 − ω 2 r 2 sin 2 θ c 2 ε 0 ω − ρ 0 q cos θ ε 0 ω ( 1 − ω 2 a 2 3 c 2 − ω 4 a 4 15 c 4 − ω 6 a 6 35 c 6 ) − ~ \mathbf B_{ir} \approx \frac {\rho_{0q} \cos \theta \sqrt {1-\frac{\omega^2 r^2 \sin^2 \theta }{c^2}}} {\varepsilon_0 \omega } - \frac {\rho_{0q} \cos \theta} {\varepsilon_0 \omega } \left( 1- \frac {\omega^2 a^2 }{3c^2} - \frac {\omega^4 a^4 }{15c^4} -\frac {\omega^6 a^6 }{35c^6} \right) -   − ρ 0 q ω r 2 cos θ ( 5 cos 2 θ − 3 ) 10 c 2 ε 0 ( 1 + 2 ω 2 a 2 7 c 2 + ω 4 a 4 7 c 4 ) + ρ 0 q ω 3 r 4 cos θ ( 63 cos 4 θ − 70 cos 2 θ + 15 ) 504 c 4 ε 0 ( 1 + 9 ω 2 a 2 11 c 2 ) − ~- \frac {\rho_{0q} \omega r^2 \cos \theta \left(5 \cos^2 \theta -3 \right) } {10 c^2 \varepsilon_0 } \left( 1+ \frac {2\omega^2 a^2 }{7c^2} + \frac {\omega^4 a^4 }{7c^4} \right) + \frac {\rho_{0q} \omega^3 r^4 \cos \theta \left( 63 \cos^4 \theta -70 \cos^2 \theta +15 \right) } {504 c^4 \varepsilon_0 } \left( 1+ \frac {9\omega^2 a^2 }{11c^2} \right)-   − ρ 0 q ω 5 r 6 cos θ ( 429 cos 6 θ − 693 cos 4 θ + 315 cos 2 θ − 35 ) 6864 c 6 ε 0 . ~-\frac {\rho_{0q} \omega^5 r^6 \cos \theta \left( 429 \cos^6 \theta - 693 \cos^4 \theta +315 \cos^2 \theta -35 \right) } {6864 c^6 \varepsilon_0 }.   B i θ ≈ − ρ 0 q sin θ 1 − ω 2 r 2 sin 2 θ c 2 ε 0 ω + ρ 0 q sin θ ε 0 ω ( 1 − ω 2 a 2 3 c 2 − ω 4 a 4 15 c 4 − ω 6 a 6 35 c 6 ) + ~ \mathbf B_{i \theta} \approx -\frac {\rho_{0q} \sin \theta \sqrt {1-\frac{\omega^2 r^2 \sin^2 \theta }{c^2}}} {\varepsilon_0 \omega } + \frac {\rho_{0q} \sin \theta} {\varepsilon_0 \omega } \left( 1- \frac {\omega^2 a^2 }{3c^2} - \frac {\omega^4 a^4 }{15c^4} -\frac {\omega^6 a^6 }{35c^6} \right) +   + ρ 0 q ω r 2 sin θ ( 5 cos 2 θ − 1 ) 10 c 2 ε 0 ( 1 + 2 ω 2 a 2 7 c 2 + ω 4 a 4 7 c 4 ) − ρ 0 q ω 3 r 4 sin θ ( 21 cos 4 θ − 14 cos 2 θ + 1 ) 168 c 4 ε 0 ( 1 + 9 ω 2 a 2 11 c 2 ) + ~+ \frac {\rho_{0q} \omega r^2 \sin \theta \left(5 \cos^2 \theta -1 \right) } {10 c^2 \varepsilon_0 } \left( 1+ \frac {2\omega^2 a^2 }{7c^2} + \frac {\omega^4 a^4 }{7c^4} \right) - \frac {\rho_{0q} \omega^3 r^4 \sin \theta \left( 21 \cos^4 \theta -14 \cos^2 \theta +1 \right) } {168 c^4 \varepsilon_0 } \left( 1+ \frac {9\omega^2 a^2 }{11c^2} \right) +   + ρ 0 q ω 5 r 6 sin θ ( 429 cos 6 θ − 495 cos 4 θ + 135 cos 2 θ − 5 ) 6864 c 6 ε 0 . ~+\frac {\rho_{0q} \omega^5 r^6 \sin \theta \left( 429 \cos^6 \theta - 495 \cos^4 \theta +135 \cos^2 \theta -5 \right) } {6864 c^6 \varepsilon_0 }.   B i ϕ = 0. ~ \mathbf B_{i \phi}=0.

Компоненты внешнего векторного потенциала и магнитной индукции вращающегося заряженного шара определяются формулами:   A o r = 0. A o θ = 0. ~ \mathbf A_{or} = 0. \qquad \mathbf A_{o \theta} = 0.   A o ϕ ≈ ρ 0 q ω a 5 15 c 2 ε 0 sin θ r 2 ( 1 + 2 ω 2 a 2 7 c 2 + ω 4 a 4 7 c 4 ) − ρ 0 q ω 3 a 9 630 c 4 ε 0 sin θ ( 5 cos 2 θ − 1 ) r 4 ( 1 + 9 ω 2 a 2 11 c 2 ) + ~ \mathbf A_{o \phi} \approx \frac {\rho_{0q} \omega a^5}{15 c^2 \varepsilon_0 } \frac {\sin \theta }{r^2} \left( 1+ \frac {2\omega^2 a^2 }{7c^2} + \frac {\omega^4 a^4 }{7c^4} \right) - \frac {\rho_{0q} \omega^3 a^9}{630 c^4 \varepsilon_0 } \frac {\sin \theta \left( 5 \cos^2 \theta -1 \right)}{r^4} \left( 1+ \frac {9\omega^2 a^2 }{11c^2} \right)+   + ρ 0 q ω 5 a 13 8008 c 6 ε 0 sin θ ( 21 c o s 4 θ − 14 cos 2 θ + 1 ) r 6 . ~+\frac {\rho_{0q} \omega^5 a^{13}}{8008 c^6 \varepsilon_0 } \frac {\sin \theta \left( 21 cos^4 \theta -14 \cos^2 \theta +1 \right)}{r^6}.   B o r ≈ 2 ρ 0 q ω a 5 15 c 2 ε 0 cos θ r 3 ( 1 + 2 ω 2 a 2 7 c 2 + ω 4 a 4 7 c 4 ) − 2 ρ 0 q ω 3 a 9 315 c 4 ε 0 cos θ r 5 ( 5 c o s 2 θ − 3 ) ( 1 + 9 ω 2 a 2 11 c 2 ) + ~ \mathbf B_{or} \approx \frac {2 \rho_{0q} \omega a^5 }{15 c^2 \varepsilon_0 } \frac {\cos \theta }{r^3} \left( 1+ \frac {2\omega^2 a^2 }{7 c^2} +\frac {\omega^4 a^4 }{7 c^4} \right) -\frac {2 \rho_{0q} \omega^3 a^9 }{315 c^4 \varepsilon_0 } \frac {\cos \theta }{r^5} \left( 5 cos^2 \theta -3 \right) \left( 1+ \frac {9\omega^2 a^2 }{11 c^2} \right) +   + ρ 0 q ω 5 a 13 4004 c 6 ε 0 cos θ r 7 ( 63 c o s 4 θ − 70 c o s 2 θ + 15 ) . ~ +\frac { \rho_{0q} \omega^5 a^{13} }{4004 c^6 \varepsilon_0 } \frac {\cos \theta }{r^7} \left( 63cos^4 \theta -70 cos^2 \theta +15 \right).   B o θ ≈ ρ 0 q ω a 5 15 c 2 ε 0 sin θ r 3 ( 1 + 2 ω 2 a 2 7 c 2 + ω 4 a 4 7 c 4 ) − ρ 0 q ω 3 a 9 210 c 4 ε 0 sin θ r 5 ( 5 c o s 2 θ − 1 ) ( 1 + 9 ω 2 a 2 11 c 2 ) + ~ \mathbf B_{o \theta } \approx \frac {\rho_{0q} \omega a^5 }{15 c^2 \varepsilon_0 } \frac {\sin \theta }{r^3} \left( 1+ \frac {2\omega^2 a^2 }{7 c^2} +\frac {\omega^4 a^4 }{7 c^4} \right) -\frac { \rho_{0q} \omega^3 a^9 }{210 c^4 \varepsilon_0 } \frac {\sin \theta }{r^5} \left( 5 cos^2 \theta -1 \right) \left( 1+ \frac {9\omega^2 a^2 }{11 c^2} \right) +   + 5 ρ 0 q ω 5 a 13 8008 c 6 ε 0 sin θ r 7 ( 21 c o s 4 θ − 14 c o s 2 θ + 1 ) . ~ +\frac { 5 \rho_{0q} \omega^5 a^{13} }{8008 c^6 \varepsilon_0 } \frac {\sin \theta }{r^7} \left( 21cos^4 \theta -14 cos^2 \theta +1 \right).   B o ϕ = 0. ~ \mathbf B_{o \phi } = 0.

Дивергенция вектора   A ~ \mathbf A в сферических координатах записывается так:   ∇ ⋅ A = 1 r 2 ∂ ( r 2 A r ) ∂ r + 1 r sin θ ∂ ( A θ sin θ ) ∂ θ + 1 r sin θ ∂ A ϕ ∂ ϕ . ~ \nabla \cdot \mathbf A = \frac {1}{r^2} \frac {\partial \left( r^2 A_r \right)}{\partial r} + \frac {1}{r \sin \theta } \frac {\partial \left( A_\theta \sin \theta \right)}{\partial \theta } +\frac {1}{r \sin \theta } \frac {\partial A_\phi }{\partial \phi }.

Подстановка в выражение для дивергенции компонент внутреннего векторного потенциала   A i ~ \mathbf A_i и компонент внешнего векторного потенциала   A o ~ \mathbf A_o вместо   A ~ \mathbf A даёт соотношения   ∇ ⋅ A i = 0 ~ \nabla \cdot \mathbf A_i =0 и   ∇ ⋅ A o = 0 ~ \nabla \cdot \mathbf A_o =0 , поскольку векторный потенциал не зависит от угла   ϕ ~ \phi . Эти соотношения соответствуют калибровочному условию Лоренца (3), если учесть, что скалярный потенциал   φ ~ \varphi не зависит от времени.

СсылкиПравить

  1. ↑ Feynman R., Leighton R. and Sands M. The Feynman Lectures on Physics. Vol. 2 (1964). Addison-Wesley, Massachusetts, Palo Alto, London.
  2. ↑ Sergey G. Fedosin. The Electromagnetic Field of a Rotating Relativistic Uniform System. Chapter 2 in the book: Horizons in World Physics. Volume 306. Edited by Albert Reimer, New York, Nova Science Publishers Inc, pp. 53-128 (2021), ISBN: 978-1-68507-077-9, 978-1-68507-088-5 (e-book). https://doi.org/10.52305/RSRF2992. // Электромагнитное поле вращающейся релятивистской однородной системы.
  3. ↑ Fedosin S.G. Electric field of rotating uniformly charged ball. TechRxiv. November 11, 2025. https://doi.org/10.36227/techrxiv.176289249.96428033/v1.
  4. ↑ Fedosin S.G. Analysis of solution of equations for magnetic field of rotating ball using polynomials. Discover Physics, Vol. 2, 5 (2026). https://doi.org/10.1007/s44418-026-00008-w. TechRxiv. October 22, 2025. https://doi.org/10.36227/techrxiv.176116289.93994332/v1. // Анализ решения уравнений для магнитного поля вращающегося шара с помощью полиномов.

См. такжеПравить

Внешние ссылкиПравить

Источник — https://traditio.wiki/w/index.php?title=Электромагнитное_поле_шара&oldid=898855