Теория групп

Теория групп — раздел абстрактной алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства.

Список определений, относящихся к теории групп, вы можете найти в статье Словарь терминов теории групп.

История

У теории групп три исторических корня: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия. Математики, стоящие у истоков теории групп, — это Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа. Галуа был первым математиком, связавшим теорию групп с другой ветвью абстрактной алгебры — теорией полей, разработав теорию, ныне называемую теорией Галуа.

Одной из первых задач, приведших к возникновению теории групп, была задача получения уравнения степени m, которое имело бы корнями m корней данного уравнения степени n (m < n). Эту задачу в простых случаях рассмотрел Худде (1659 г.). В 1740 г. Сондерсон заметил, что нахождение квадратичных множителей биквадратных выражений сводится к решению уравнения 6 степени, а Ле Сёр (1748 г.) и Вейринг (с 1762 по 1782 гг.) развили эту идею.

Общую основу для теории уравнений, строящуюся на теории перестановок, в 1770—1771 гг. нашёл Лагранж, и на этой почве в дальнейшем выросла теория подстановок. Он обнаружил, что корни всех резольвент, с которыми он сталкивался, являются рациональными функциями от корней соответствующих уравнений. Чтобы изучить свойства этих функций, он разработал «исчисление сочетаний» (Calcul des Combinaisons). Современная ему работа Вандермонда (1770 г.) также предвосхищала развитие теории групп.

Паоло Руффини в 1799 г. предложил доказательство неразрешимости уравнений пятой и высших степеней в радикалах. Для доказательства он использовал понятия теории групп, хоть и называл их другими именами. Руффини также опубликовал письмо, написанное ему Аббати, лейтмотивом которого была теория групп.

Галуа обнаружил, что если $r_1, r_2, \ldots r_n$ — корни уравнения, то всегда существует группа перестановок этих корней такая, что 1) всякая функция, инвариантная относительно подстановок группы, рациональна и, наоборот, 2) всякая рациональная функция от корней инвариантна относительно перестановок группы. Свои первые труды по теории групп он опубликовал в 1829 г., в возрасте 18 лет, но они остались практически незамеченными, пока в 1846 г. не было издано собрание его сочинений.

Артур Кэли и Огюстен Луи Коши стали одними из первых математиков, оценивших важность теории групп. Эти учёные также доказали некоторые важные теоремы теории (например, теорему Кэли и теорему Коши). Изучаемый ими предмет был популяризован Серретом, который посвятил теории секцию из своей книги по алгебре, Жорданом, чей труд «Действия над подстановками» (Traité des Substitutions) стал классикой, и Евгением Нетто (1882 г.), чей труд был в 1892 г. переведён на английский язык Коулом. Большой вклад в развитие теории групп внесли также многие другие математики XIX века: Бертран, Эрмит, Фробениус, Кронекер и Матьё.

Современное определение понятия «группа» было дано только в 1882 г. Вальтером фон Дюком.

В 1884 г. Софус Ли положил начало изучению как групп преобразований того, что мы сейчас называем группами Ли и их дискретными подгруппами; за его трудом последовали работы Киллинга, Штуди, Шура, Маурера и Эли Картана. Теория дискретных групп была разработана Клейном, Ли, Пуанкаре и Пикаром в связи с изучением модулярных форм и других объектов.

В середине XX века (в основном, между 1955 и 1983 гг.) была проведена огромная работа по классификации всех конечных простых групп, включающая десятки тысяч страниц статей.

Ощутимый вклад в теорию групп внесли и многие другие математики, такие как Артин, Эмми Нётер, Людвиг Силов и другие.

Краткое описание теории

Группы повсеместно используются в математике и естественных науках, часто для обнаружения внутренней симметрии объектов (группы автоморфизмов). Внутренняя симметрия обычно связана с инвариантными свойствами; множество преобразований, которые сохраняют это свойство, вместе с операцией композиции, образуют группу, называемую группой симметрии.

В теории Галуа, которая и дала начало понятию группы, группы используются для описания симметрии уравнений, корнями которых являются корни некоторого полиномиального уравнения. Из-за важной роли, которую они играют в этой теории, получили своё название разрешимые группы.

Абелевы группы (т.е. группы, в которых операция коммутативна) являются основой для построения более сложных объектов абстрактной алгебры, таких как кольца, поля и модули.

В алгебраической топологии группы используются для описания инвариантов топологических пространств (отсюда, например, пошло название «подгруппа кручения»). Под инвариантами здесь имеются в виду свойства пространства, не меняющиеся при каком-то его деформировании. Примеры такого использования групп — фундаментальные группы, группы гомологий и когомологий.

Группы Ли применяются при изучении дифференциальных уравнений и многообразий; они сочетают в себе теорию групп и математический анализ. Область анализа, связанная с этими группами, называется гармоническим анализом.

В комбинаторике понятия группы подстановок и действия группы используются для упрощения подсчёта числа элементов в множестве; в частности, часто используется лемма Бёрнсайда.

Понимание теории групп также очень важно для физики и других естественных наук. В химии группы используются для классификации кристаллических решёток и симметрий молекул. В физике группы используются для описания симметрий, которым подчиняются физические законы. Особенно важны в физике представления групп, в частности, групп Ли, так как они часто указывают путь к «возможным» физическим теориям.

Примеры из физики: стандартная модель, калибровочная инвариантность.

Некоторые теоремы

• Простейшие свойства групп — в статье Группа (математика)
• Основная теорема о гомоморфизме — в статье факторгруппа
• Теорема Жордана — Гёльдера
• Теорема Крулла — Шмидта
• Теорема Лагранжа (теория групп)
• Теоремы Силова
• Представление группы

Литература

• Ляховский В.Д., Болохов А.А. Группы симметрии и элементарные частицы, Изд-во ЛГУ, 1983.
• Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения, т.1, 2, М., 1980.
• Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления, М., 1970.
• Желобенко Д.П., Штерн А.И. Представления групп Ли, М., 1980.