Традиция

Поле кручения

Поле кручения — силовое поле, действующее на массы и тела, находящиеся в поступательном или вращательном движении, является второй компонентой гравитационного поля в лоренц-инвариантной теории гравитации и в ковариантной теории гравитации. По своему действию поле кручения аналогично магнитному полю в электромагнетизме (смотри максвеллоподобные гравитационные уравнения). Термин поле кручения в таком значении введён Сергеем Федосиным в 1999 г. Размерность поля кручения в системе физических единиц СИ такая же, как у частоты, то есть c-1.

Поле кручения играет важную роль в гравитационной модели сильного взаимодействия.

Поле кручения в лоренц-инвариантной теории гравитацииПравить

В лоренц-инвариантной теории гравитации (ЛИТГ) сила гравитации рассматривается как двухкомпонентная сила, зависящая от напряжённости гравитационного поля (гравитационного ускорения)   Γ ~ \mathbf{\Gamma } и от гравитационного кручения   Ω ~ \mathbf{\Omega} :   F = M Γ + M [ v × Ω ] , ~ \mathbf{F} = M \mathbf{\Gamma }+ M \left[\mathbf{v} \times \mathbf{\Omega} \right],

где   M ~ M и   v ~\mathbf{v} есть масса и скорость тела, движущегося в гравитационном поле.

Кручение   Ω ~\mathbf{\Omega} в ЛИТГ с точностью до постоянного множителя соответствует напряжённости так называемого гравитомагнитного поля   H g ~\mathbf{H_g} в общей теории относительности (ОТО). Причиной возникновения кручения в ЛИТГ является необходимость соответствия принципу лоренц-инвариантности для потенциалов поля гравитации в инерциальных системах отсчёта. [1]

Как и напряжённость гравитационного поля, поле кручения делает свой вклад в тензор гравитационного поля, в тензор энергии-импульса гравитационного поля, а также в плотность энергии гравитационного поля:   u = − 1 8 π G ( Γ 2 + c g 2 Ω 2 ) , ~u=-\frac{1}{8 \pi G }\left(\Gamma ^2+ c^2_{g} \Omega^2 \right), где   c g ~ c_{g} – скорость распространения гравитационного воздействия,   G ~ G – гравитационная постоянная,

в вектор плотности потока энергии гравитационного поля или вектор Хевисайда:   H = − c g 2 4 π G [ Γ × Ω ] , ~\mathbf{H} =-\frac{ c^2_{g} }{4 \pi G }[\mathbf{\Gamma }\times \mathbf{\Omega }],

и в функцию Лагранжа для частицы в гравитационном поле.

Уравнения ХевисайдаПравить

Поле кручения входит в три из четырёх дифференциальных уравнений Хевисайда:   ∇ ⋅ Ω = 0 , ~ \nabla \cdot \mathbf{\Omega}= 0,   ∇ × Ω = 1 c g 2 ( − 4 π G J + ∂ Γ ∂ t ) = 1 c g 2 ( − 4 π G ρ v ρ + ∂ Γ ∂ t ) , ~ \nabla \times \mathbf{\Omega}= \frac{1}{c^2_{g}} \left( -4 \pi G \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{\Gamma }} {\partial t} \right) = \frac{1}{c^2_{g}} \left( -4 \pi G \rho \mathbf{ v_{\rho}} + \frac{\partial \mathbf{\Gamma }} {\partial t} \right),   ∇ × Γ = − ∂ Ω ∂ t , ~ \nabla \times \mathbf{\Gamma } = - \frac{\partial \mathbf{\Omega} } {\partial t},

где:

  •   J ~ \mathbf{J} – плотность тока массы,
  •   ρ ~ \rho – плотность движущейся массы,
  •   v ρ ~ \mathbf{ v_{\rho}} – скорость движения потока массы, создающего гравитационное поле и кручение.

Из первого уравнения следует, что поле кручение не имеет источников, и значит, линии поля кручения всегда замкнуты, как у магнитного поля. Согласно второму уравнению, кручение создаётся движением вещества и изменением во времени напряжённости гравитационного поля. Из третьего уравнения вытекает эффект гравитационной индукции.

Согласно ЛИТГ, напряжённость гравитационного поля (гравитационное ускорение)   Γ ~ \mathbf{\Gamma } и кручение   Ω ~ \mathbf{\Omega} определяют компоненты реальной физической гравитационной силы, которая может быть обоснована на квантовом уровне подобно электромагнитной силе. Кручение возникает всегда, когда имеет место какое-либо движение массы. Поскольку любое движение можно разбить на две части — вращательное и поступательное, то соответственно можно говорить о двух видах кручения. Кручение за пределами вращающейся сферы с моментом импульса   L ~ \mathbf{L} имеет дипольный вид: [2]   Ω = G 2 c g 2 L − 3 ( L ⋅ r / r ) r / r r 3 . ~ \mathbf{\Omega}= \frac{ G }{2 c^2_{g}} \frac{ \mathbf{L}- 3 (\mathbf{L} \cdot \mathbf{r} /r) \mathbf{r} /r}{r^3}.

Наличие 1/2 в формуле для   Ω ~ \mathbf{\Omega} отражает тот факт, что гравитационный момент осесимметричного тела равен половине его момента импульса. При прямолинейном движении тела кручение гравитационного поля равно:   Ω = V c g 2 × Γ , ~ \mathbf{\Omega}= \frac{ \mathbf{V}}{c^2_{g}} \times \mathbf{\Gamma },

где   V ~\mathbf{V} – скорость движения тела,   Γ ~ \mathbf{\Gamma } – напряжённость гравитационного поля от тела в той точке, где определяется кручение   Ω ~ \mathbf{\Omega} , причём напряжённость   Γ ~ \mathbf{\Gamma } берётся с учётом запаздывания распространения гравитационного возмущения.

В общем случае кручение от точечной произвольно движущейся массы можно выразить через создаваемую ею напряжённость гравитационного поля   Γ ~ \mathbf{\Gamma } :   Ω = 1 c g e r × Γ , ~ \mathbf{\Omega}= \frac{ 1 }{c_{g}} \mathbf{ e}_{r} \times \mathbf{\Gamma },

где e r \mathbf{ e}_{r} есть единичный вектор, направленный от точечной массы в ту точку, где определяется кручение, взятый в раннее время с учётом запаздывания.

Частица со спином в поле крученияПравить

Формула для момента силы, действующего на вращающуюся частицу со спином   L ~\mathbf{L} в поле кручения   Ω ~ \mathbf{\Omega} , записывается так:   K = 1 2 L × Ω . ~ \mathbf{K} = \frac{1}{2} \mathbf{L} \times \mathbf{\Omega}.

Поскольку частица представляет собой волчок со спином   L ~\mathbf{L} , то при наличии момента сил   K ~ \mathbf{K} частица начнёт прецессировать вдоль направления поля   Ω ~ \mathbf{\Omega} . Это следует из уравнения вращательного движения:   K = d L d t . ~ \mathbf{K} = \frac{d \mathbf{L} } {dt}.

Так как момент сил   K ~ \mathbf{K} перпендикулярен спину   L ~ \mathbf{L} и кручению   Ω ~ \mathbf{\Omega} , то это же справедливо и для приращения спина   d L ~d \mathbf{L} за время   d t ~ dt . Перпендикулярность   L ~ \mathbf{L} и   d L ~d \mathbf{L} приводит к прецессии спина частицы с угловой скоростью   w = − Ω 2 ~ \mathbf{w} = -\frac{ \mathbf{\Omega}}{2} вокруг направления   Ω ~ \mathbf{\Omega} . Последнее равенство следует из того, что   K = d L d t = 1 2 L × Ω ~ \mathbf{K}= \frac{d \mathbf{L}} {dt}=\frac{1}{2} \mathbf{L} \times \mathbf{\Omega} , а величина   w = d L L sin  Синус  Q d t = d φ d t ~w= \frac{dL} {L \sin Q dt} = \frac{d\varphi} {dt} , где   Q ~Q есть угол между   Ω ~ \mathbf{\Omega} и   L ~ \mathbf{L} , причём приращение угла d φ d\varphi отсчитывается от проекции вектора L \mathbf{L} на плоскость, перпендикулярную вектору   Ω ~ \mathbf{\Omega} , до проекции вектора L + d L \mathbf{L}+ d \mathbf{L} на эту плоскость.

При наличии неоднородного поля кручения частица со спином   L ~ \mathbf{L} будет увлекаться в область более сильного поля. Из уравнений ЛИТГ следует выражение для такой силы:   F = 1 2 ∇ ( L ⋅ Ω ) . ~ \mathbf{F} = \frac{1}{2}\nabla \left(\mathbf{L}\cdot \mathbf{\Omega} \right).

Механическая энергия частицы со спином в поле кручения будет равна:   U = − 1 2 L ⋅ Ω . ~U= -\frac{1}{2} \mathbf{L} \cdot \mathbf{\Omega}.

Гравитационный векторный потенциалПравить

Поле кручения и напряжённость гравитационного поля тесно связаны с потенциалами поля и выражаются через последние по формулам:   Ω = ∇ × D , ~\mathbf{\Omega }= \nabla \times \mathbf{D},   Γ = − ∇ ψ − ∂ D ∂ t , ~\mathbf{\Gamma }= -\nabla \psi - \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}, где   ψ ~\psi есть скалярный потенциал,   D ~ \mathbf{D} – векторный потенциал гравитационного поля.

Значение потенциалов определяется тем, что если пробную частицу единичной массы поместить во внешнее гравитационное поле, то   ψ ~\psi будет задавать дополнительную энергию такой частицы за счёт действия поля, при этом   D ~ \mathbf{D} оказывается частью обобщённого импульса частицы. [3] Векторный потенциал поля делает вклад в поле кручения и в напряжённость гравитационного поля, но поле кручения прямо не зависит от скалярного потенциала. При записи уравнений в четырёхмерной форме потенциалы поля образуют гравитационный 4-потенциал   D μ ~ D_\mu , причём тензор гравитационного поля, состоящий из   Ω ~\mathbf{\Omega } и   Γ , ~\mathbf{\Gamma }, получается как 4-ротор от   D μ ~ D_\mu .

Поле кручения (гравитомагнитное поле) в общей теории относительностиПравить

В отличие от ньютоновской механики, в общей теории относительности (ОТО) движение пробной частицы (и ход часов) в гравитационном поле зависит от того, вращается или нет тело — источник поля. Влияние вращения сказывается даже в том случае, когда распределение масс в источнике в его системе отсчёта не меняется со временем (например, имеется цилиндрическая симметрия относительно оси вращения). Гравитомагнитные эффекты в слабых полях чрезвычайно малы. В слабом гравитационном поле и при малых скоростях движения частиц можно отдельно рассматривать гравитационную и гравитомагнитную силы, действующие на пробное тело, причём напряжённость гравитомагнитного поля и гравитомагнитная сила описываются уравнениями, близкими по форме к соответствующим уравнениям электромагнетизма.

Рассмотрим движение пробной частицы в окрестностях вращающегося сферически симметричного тела с массой   M ~M и моментом импульса   L ~ \mathbf{L} . Если частица массой   m ~m движется со скоростью   v ≪ c ~v\ll c (   c ~c — скорость света), то на частицу, помимо гравитационной силы, будет действовать гравитомагнитная сила, направленная (подобно силе Лоренца) перпендикулярно как скорости, так и напряжённости гравитомагнитного поля   H g ~ \mathbf{H_g} . В системе единиц СГС будет:   F = m c [ v × 2 H g ] . ~ \mathbf{F}= \frac{m}{c} \left[\mathbf{v} \times 2 \mathbf{H_g} \right].

При этом, если вращающаяся масса находится в начале координат и   r ~ \mathbf{r} — радиус-вектор до точки наблюдения, напряжённость гравитомагнитного поля в этой точке равна: [4]   H g = G c L − 3 ( L ⋅ r / r ) r / r r 3 , ~ \mathbf{ H_g }= \frac{G}{c} \frac{ \mathbf{L} - 3(\mathbf{L} \cdot \mathbf{r}/r) \mathbf{r}/r}{r^3},

где   G ~ G — гравитационная постоянная.

Последняя формула совпадает (за исключением коэффициента) с аналогичной формулой для поля магнитного диполя с магнитным дипольным моментом, равным   L ~ \mathbf{L} . В ОТО гравитация не есть самостоятельная физическая сила. Скорее, гравитация ОТО сводится к искривлению пространства-времени и трактуется как геометрический эффект, приравнивается к метрическому полю. [5][6] Такой же геометрический смысл получает и гравитомагнитное поле   H g ~\mathbf{ H_g } .

В противоположность этому, в ЛИТГ предполагается, что сила от кручения возникает уже в пространстве Минковского, как и магнитная сила. В ОТО эквивалентная гравитомагнитная сила рассматривается в римановом пространстве, в котором гравитации носит тензорный, а не векторный характер. Поэтому спин гравитонов в ОТО полагается в два раза большим, чем в векторной теории ЛИТГ. Отсюда в ряде работ по гравитоэлектромагнетизму в ОТО в выражениях для силы и гравитомагнитного поля появляются добавочные численные множители по сравнению с выражениями для силы и поля кручения в ЛИТГ. Для прямолинейного движения тел формулы для кручения в ЛИТГ и в ОТО совпадают. [7]

Эффекты, связанные с полем крученияПравить

В случае сильных полей и релятивистских скоростей поле кручения нельзя рассматривать отдельно от гравитационного, поскольку начинает сказываться зависимость метрического тензора от величины полей, а уравнения поля становятся взаимосвязанными и нелинейными. При этом ЛИТГ переходит в ковариантную теорию гравитации (КТГ). [8] В слабых полях в качестве отдельных эффектов поля кручения рассматриваются следующие:

  • увлечение инерциальных систем отсчёта. Это прецессия спинового и орбитального моментов пробной частицы вблизи массивного вращающегося тела. В системе единиц СИ угловая скорость прецессии равна   w = − Ω 2 ~ \mathbf{w}= -\frac{\mathbf{\Omega}}{2} и направлена против направления поля кручения   Ω ~ \mathbf{\Omega} .
    • орбитальный эффект Лензе-Тирринга, приводящий к прецессии, то есть к вращению нормали эллиптической орбиты частицы относительно вектора поля гравитационного кручения вращающегося тела. Данный эффект векторно складывается со стандартной общерелятивистской прецессией перицентра (43″ в столетие для Меркурия), которая не зависит от вращения центрального тела. Орбитальная прецессия Лензе-Тирринга была впервые измерена для спутников LAGEOS и LAGEOS II.
    • спиновый эффект Лензе-Тирринга (или эффект Шиффа) выражается в прецессии гироскопа, находящегося вблизи вращающегося тела. Если гироскоп рассматривать как вращающийся волчок, то ось такого волчка будет периодически изменять своё направление в пространстве с частотой прецессии. Проверка такой прецессии была одной их целей эксперимента Gravity Probe B, проведённого NASA в 2005—2007 гг. на спутнике с орбитой, проходящей через полюс Земли. [9] Однако ошибки измерений оказались чересчур велики, в пределах 256—128 %, помешав осуществить измерения. [10] Экспериментальное измерение эффекта Шиффа является проверкой для теорий ОТО и КТГ в отношении формул для прецессии. На полюсе Земли угловая скорость прецессии   w ~w направлена также, как спин Земли   L ~L , и из КТГ следует:

  w = − Ω 2 = G L 2 c g 2 r 3 , ~w = -\frac{\Omega }{2}= \frac{G L}{2 c^2_{g} r^3},

где   r ~r есть расстояние от центра Земли до гироскопа на орбите возле полюса. Измерение   w ~w позволяет непосредственно определить скорость распространения гравитации   c g ~c_{g} в КТГ. Такая же формула справедлива и в ОТО, но для усреднённого по всей орбите значения угловой скорости прецессии, [11] причём при   c g = c ~ c_{g}=c для   w ~w должно быть значение 0,0409 угловых секунд в год (здесь   r = R e + 640 = 6378 + 640 = 7018 ~r=R_e +640=6378 +640 = 7018 км для спутника Gravity Probe B,   R e ~R_e – радиус Земли, высота спутника равна 640 км).

  • геодезическая прецессия (эффект де Ситтера) возникает при параллельном переносе вектора момента импульса в искривленном пространстве-времени. Для системы Земля-Луна, движущейся в поле Солнца, скорость геодезической прецессии равна 1,9″ в столетие; точные астрометрические измерения выявили этот эффект, который совпал с предсказанным в пределах ошибки ~1 %. Геодезическая прецессия гироскопов на спутнике Gravity Probe B совпала с предсказанным значением (поворот оси на 6,606 угловой секунды в год в плоскости орбиты спутника) с точностью лучше 1 %. Формула для прецессии де Ситтера в ОТО имеет вид: [12]

  w = 3 2 G M c 2 r 3 r × V = 3 2 G M c 2 r 2 ω o , ~ \mathbf{w} = \frac{3}{2} \frac{G M}{c^2 r^3} \mathbf{r} \times \mathbf{V} =\frac{3}{2} \frac{G M}{c^2 r^2} \mathbf{\omega}_o,

где   V ~ \mathbf{V} есть скорость движения гироскопа на земной орбите,   M ~M – масса Земли,   ω o ~ \mathbf{\omega}_o – угловая орбитальная скорость вращения гироскопа.

Угловая скорость геодезической прецессии перпендикулярна как скорости движения гироскопа, так и ускорению силы тяжести Земли, совпадая с направлением угловой орбитальной скорости вращения. Поэтому на полюсе Земли геодезическая прецессия перпендикулярна спиновой прецессии в эффекте Шиффа, угловая скорость которой здесь направлена по оси вращения Земли.

  • гравитомагнитный сдвиг времени. В слабых полях (например, вблизи Земли) этот эффект маскируется стандартными спец- и общерелятивистским эффектами изменения хода часов и находится далеко за пределами современной точности эксперимента.

Аналогии с электродинамикойПравить

Так как поле гравитационного кручения подобно магнитному полю в электродинамике, а момент импульса частицы подобен дипольному магнитному моменту, то согласно ЛИТГ это позволяет дать интерпретацию эффекта Лензе-Тиррирнга на примере вращения электрически заряженной пробной частицы вокруг притягивающего её тела в случае, если это тело имеет дипольный магнитный момент. В силу закона сохранения орбитального момента импульса, плоскость орбиты частицы стремится не изменять своё положение в пространстве. Однако при вращении частицы вокруг тела на заряд частицы будет действовать дополнительная сила Лоренца от магнитного поля тела, перпендикулярная скорости частицы. В стационарном режиме скорость и орбитальный момент импульса частицы не будут меняться по модулю, но сама орбита вращающейся частицы и направление её орбитального момента импульса будут прецессировать относительно оси дипольного магнитного момента тела, как в орбитальном эффекте Лензе-Тиррирнга.

Если же частица имеет собственный магнитный момент и спин, то возникнет взаимодействие магнитных моментов частицы и тела. Энергия этого взаимодействия зависит от взаимной ориентации магнитных моментов. Магнитное поле тела будет стремиться установить магнитный момент частицы по направлению поля, но частица обладает спином, стремящимся сохранить своё направление в пространстве. Поэтому возникнет прецессия спина частицы относительно оси дипольного магнитного момента тела, подобно эффекту Шиффа.

Другой эффект связан с орбитальным движением частицы с магнитным моментом и спином относительно заряженного тела. В системе покоя центра инерции частицы вращается как сама частица, так и тело вокруг этой частицы. Орбитальное вращение заряженного тела создаёт магнитное поле, действующее на магнитный момент частицы. Это приводит к прецессии магнитного момента и спина частицы относительно магнитного поля от орбитального вращения тела. Заменим теперь магнитное поле кручением гравитационного поля, а заряды массами. Тогда окажется, что угловая скорость прецессии спина частицы составит одну треть от угловой скорости геодезической прецессии (другие две трети возникают от искривления пространства-времени вокруг тела за счёт изменения метрики).

См. такжеПравить

СсылкиПравить

  1. ↑ Fedosin S.G. Electromagnetic and Gravitational Pictures of the World. Apeiron, 2007, Vol. 14, No. 4, P. 385 – 413; статья на русском языке: Электромагнитная и гравитационная картины мира.
  2. ↑ Федосин С.Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, ISBN 5-8131-0012-1. 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв.
  3. ↑ Fedosin S.G. The Hamiltonian in Covariant Theory of Gravitation. Advances in Natural Science, 2012, Vol. 5, No. 4, P. 55 – 75. http://dx.doi.org/10.3968%2Fj.ans.1715787020120504.2023; статья на русском языке: Гамильтониан в ковариантной теории гравитации.
  4. ↑ L. Iorio, H.I.M. Lichtenegger, M.L. Ruggiero, C. Corda. Phenomenology of the Lense-Thirring effect in the Solar System. arXiv:1009.3225v2 16 Sep 2010.
  5. ↑ Professor R.W.Tucker Publications. Can one measure Spacetime Torsion?, Proceedings for 60th birthday tribute to J. Azcaragga, Salamanca, Spain, June 2003.
  6. ↑ H. I. Arcos and J. G. Pereira. Torsion and the gravitational interaction. arXiv:gr-qc/0408096 v2 4 Nov 2004.
  7. ↑ Sergei M. Kopeikin. Gravitomagnetism and the Speed of Gravity. Int. J. Mod. Phys.D 15:305-320,2006.
  8. ↑ Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи, Пермь, 2009, 844 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.
  9. ↑ Everitt, C.W.F., et al., Gravity Probe B: Countdown to Launch. In: Laemmerzahl, C., Everitt, C.W.F., Hehl, F.W. (Eds.), Gyros, Clocks, Interferometers…: Testing Relativistic Gravity in Space. — Berlin, Springer, 2001, pp. 52-82.
  10. ↑ Muhlfelder, B., Mac Keiser, G., and Turneaure, J., Gravity Probe B Experiment Error, poster L1.00027 presented at the American Physical Society (APS) meeting in Jacksonville, Florida, on 14-17 April 2007, 2007.
  11. ↑ Yi Mao , Max Tegmark, Alan Guth, Serkan Cabi. Constraining Torsion with Gravity Probe B. arXiv:gr-qc/0608121v45, Phys. Rev. D. 76, 104029, 2007.
  12. ↑ N. Straumann, General Relativity and relativistic Astrophysics, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1991.

Дополнительные ссылкиПравить

Источник — https://traditio.wiki/w/index.php?title=Поле_кручения&oldid=598149