Релятивистская однородная система

Релятивистская однородная система — идеальная физическая система, в которой плотность массы (или другая физическая величина) зависит от лоренц-фактора частиц системы, однако является постоянной в системах отсчёта, сопутствующих движущимся частицам.

Отличие от классической однородной системы

В классической физике широко используется идеальная однородная модель тела, в которой плотность массы постоянна по всему объёму тела либо задаётся как средняя по объёму величина. Подобная модель упрощает решение физических задач и позволяет быстро оценивать различные физические величины. Например, масса тела вычисляется простым умножением плотности массы на объём тела, что проще, чем интегрирование плотности по объёму в случае зависимости плотности от координат. Недостатком классической модели является то, что большинство реальных физических систем далеки от подобной идеальной однородности.

Применение понятия релятивистской однородной системы основано на  специальной теории относительности (СТО) и является следующим шагом на пути более точного описания физических систем. В СТО особое значение имеют инвариантные физические величины, которые могут быть вычислены в каждой инерциальной системе отсчёта и равны тем значениям, которые имеют эти величины в собственной системе отсчёта тела. Так, умножением инвариантной массы на 4-скорость получают 4-импульс тела, содержащий инвариантную энергию, а умножение соответствующих инвариантных величин на 4-скорость в случае движения твёрдых точечных частиц позволяет находить 4-потенциалы любых векторных полей и строить их полную теорию. Другим примером является то, что вместо производной по времени при определении 4-скорости или  4-ускорения как правило используется оператор производной по собственному времени. Поэтому применение инвариантной плотности массы и плотности заряда движущихся частиц, составляющих систему, не только соответствует принципам СТО, но и существенно облегчает решение релятивистских уравнений движения.

Функции поля для тел сферической формы

Уравнения поля наиболее просто решаются в случае сферической симметрии в отсутствие общего вращения частиц. Тогда все физические величины зависят только от текущего радиуса, начало которого находится в центре сферы. Далее представлены решения уравнений для различных полей в рамках СТО, включая скалярные потенциалы, напряжённости полей и соленоидальные векторы. Ввиду хаотичного движения частиц в системе векторные потенциалы полей становятся равными нулю. Это приводит к обнулению соленоидальных векторов полей, в том числе магнитной индукции и гравитационного поля кручения.

Поле ускорений

В 4-потенциал $~ U_\mu = \left(\frac {\vartheta }{c},- \mathbf U \right)$ поля ускорений входят скалярный потенциал $~ \vartheta$ и векторный потенциал $~ \mathbf U$. Применение 4-ротора к 4-потенциалу даёт тензор ускорений $~ u_{\mu \nu} = \nabla_\mu U_\nu - \nabla_\nu U_\mu$. В искривлённом пространстве-времени уравнение поля ускорений с источниками поля выводится из принципа наименьшего действия: $$~ \nabla^\nu u_{\mu \nu} = - \frac {4 \pi \eta }{c^2} J_\mu .$$

Это уравнение после выражения тензора ускорений $~ u_{\mu \nu}$ через 4-потенциал превращается в волновое уравнение для нахождения 4-потенциала поля ускорений: $$~ \nabla^\nu \nabla_\mu U_\nu - \nabla^\nu \nabla_\nu U_\mu = - \frac {4 \pi \eta }{c^2} J_\mu ,$$

которое с учётом условия калибровки 4-потенциала $~\nabla^\mu U_\mu = 0$ можно преобразовать так: $$~ \nabla^\nu \nabla_\nu U_\mu + R_{\mu \nu} U^\nu = \frac{4 \pi \eta }{c^2} J_\mu,$$

где $~ c$ — скорость света, $~ \eta$ — коэффициент поля ускорений, $~ J_\mu = g_{\mu \nu } J^\nu = g_{\mu \nu } \rho_0 u^\nu$ — массовый 4-ток с ковариантным индексом, $~ g_{\mu \nu }$ — метрический тензор, $~ R_{\mu \nu}$ — тензор Риччи, $~ u^\nu$ — 4-скорость, $~ \rho_0$ — инвариантная плотность массы частиц в сопутствующих им системах отсчёта, одинаковая для всех частиц.

В пространстве-времени Минковского в рамках СТО ковариантные производные вида $~ \nabla_\mu$ переходят в частные производные вида $~ \partial_\mu$, причём результат действия частных производных не зависит от последовательности их действия. Как следствие калибровки 4-потенциала выполняется равенство: $~ \partial^\nu \partial_\mu U_\nu = \partial_\mu \partial^\nu U_\nu = 0$. В результате 4-потенциал поля ускорений может быть найден из волнового уравнения: $$~ \partial^\nu \partial_\nu U_\mu = \frac {4 \pi \eta }{c^2} J_\mu .$$

Данное уравнение можно разбить на два уравнения, одно для скалярного потенциала, а другое для векторного потенциала поля ускорений. В рассматриваемой системе векторный потенциал равен нулю, а скалярный потенциал поля ускорений определяется выражением: $$~\vartheta = c g_{0 \mu} u^\mu = \gamma' c^2 ,$$

где $~ g_{0 \mu}$ — временные компоненты метрического тензора, $~ \gamma'$ — лоренц-фактор частиц в системе отсчёта K', связанной с центром сферы.

Так как скалярный потенциал стационарной системы не зависит от времени, волновое уравнение для скалярного потенциала превращается в уравнение Пуассона: $$~\triangle \vartheta = - 4 \pi \eta \rho_0 \gamma'$$

и для лоренц-фактора частиц получается формула: $$~ \gamma' = \frac {c \gamma_c }{r \sqrt {4 \pi \eta \rho_0}} \sin \left(\frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \approx \gamma_c - \frac {2 \pi \eta \rho_0 r^2 \gamma_c }{3 c^2 }, \qquad\qquad (1)$$

где $~ \gamma_c$ — лоренц-фактор частиц в центре сферы, $~ r$ — текущий радиус.

Напряжённость поля ускорений и соответствующий соленоидальный вектор выражаются формулами: $$~ \mathbf S = - \nabla \vartheta - \frac {\partial \mathbf U }{\partial t}= \frac { c^2 \gamma_c \mathbf r}{r^3} \left[ \frac {c }{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0}} \sin \left(\frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - r \cos \left(\frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \right] \approx$$ $$~ \approx \frac {4 \pi \eta \rho_0 \gamma_c \mathbf r }{3} \left( 1- \frac {4 \pi \eta \rho_0 r^2}{10 c^2}\right).$$ $$~ \mathbf N = \nabla \times \mathbf U = 0.$$

Поле давления

4-потенциал $~ \pi_\mu = \left(\frac {\wp }{c},- \mathbf \Pi \right)$ поля давления содержит скалярный потенциал $~ \wp$ и векторный потенциал $~ \mathbf \Pi$, и подчиняется условию калибровки: $~\nabla^\mu \pi_\mu =0$.

Уравнение поля давления с источниками поля, тензор поля давления $~ f_{\mu \nu}$ и уравнение для нахождения 4-потенциала поля давления имеют вид: $$~ \nabla^\nu f_{\mu \nu} = - \frac {4 \pi \sigma }{c^2} J_\mu , \quad f_{\mu \nu} = \nabla_\mu \pi_\nu - \nabla_\nu \pi_\mu , \quad \nabla^\nu \nabla_\nu \pi_\mu + R_{\mu \nu} \pi^\nu = \frac{4 \pi \sigma }{c^2} J_\mu,$$

где $~ \sigma$ — коэффициент поля давления.

В СТО последнее уравнение превращается в волновое уравнение: $$~ \partial^\nu \partial_\nu \pi_\mu = \frac {4 \pi \sigma }{c^2} J_\mu .$$

В стационарном случае потенциалы не зависят от времени и временная компонента волнового уравнения переходит в уравнение Пуассона для скалярного потенциала поля давления: $$~\triangle \wp = - 4 \pi \sigma \rho_0 \gamma' .$$

Решение этого уравнения внутри сферы с частицами следующее: $$~ \wp = \wp_c - \frac {\sigma c^2 \gamma_c }{\eta } + \frac {\sigma c^3 \gamma_c }{\eta r \sqrt {4 \pi \eta \rho_0}} \sin \left(\frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \approx \wp_c - \frac {2 \pi \sigma \rho_0 r^2 \gamma_c }{3 }.$$

где $~ \wp_c$ — скалярный потенциал в центре сферы. Данный потенциал приблизительно равен: $$~ \wp_c \approx \frac {3 \sigma m}{10 a} \left( 1+\frac {9}{2\sqrt {14}} \right) ,$$

при этом постоянная поля ускорений $~ \eta$ и постоянная поля давления $~ \sigma$ выражаются формулами: $$~ \eta = \frac {3}{5} \left( G- \frac {\rho^2_{0q}}{ 4 \pi \varepsilon_0 \rho^2_0 } \right) , \qquad \qquad \sigma = \frac {2}{5} \left( G- \frac {\rho^2_{0q}}{ 4 \pi \varepsilon_0 \rho^2_0 } \right) .$$

Напряжённость поля давления и соответствующий соленоидальный вектор определяются следующим образом: $$~ \mathbf C = - \nabla \wp - \frac {\partial \mathbf \Pi }{\partial t}= \frac { \sigma c^2 \gamma_c \mathbf r}{\eta r^3} \left[ \frac {c }{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0}} \sin \left(\frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - r \cos \left(\frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \right] \approx$$ $$~\approx \frac {4 \pi \sigma \rho_0 \gamma_c \mathbf r }{3} \left( 1- \frac {4 \pi \eta \rho_0 r^2}{10 c^2}\right).$$ $$~ \mathbf I = \nabla \times \mathbf \Pi = 0.$$

Гравитационное поле

Гравитационный 4-потенциал $~ D_\mu = \left(\frac {\psi }{c},- \mathbf D \right)$ гравитационного поля составляется с помощью скалярного $~ \psi$ и векторного $~ \mathbf D$ потенциалов. Калибровка 4-потенциала: $~\nabla^\mu D_\mu = 0$.

Уравнение гравитационного поля с источниками поля, тензор гравитационного поля $~ \Phi_{\mu \nu}$ и уравнение для нахождения 4-потенциала гравитационного поля в  ковариантной теории гравитации имеют вид: $$~ \nabla^\nu \Phi_{\mu \nu} = \frac {4 \pi G }{c^2} J_\mu , \quad \Phi_{\mu \nu} = \nabla_\mu D_\nu - \nabla_\nu D_\mu , \quad \nabla^\nu \nabla_\nu D_\mu + R_{\mu \nu} D^\nu = -\frac {4 \pi G }{c^2} J_\mu,$$

где $~ G$ — гравитационная постоянная.

В СТО последнее уравнение упрощается и становится волновым уравнением: $$~ \partial^\nu \partial_\nu D_\mu = -\frac {4 \pi G }{c^2} J_\mu .$$

Из волнового уравнения в стационарном случае следует уравнение Пуассона для скалярного потенциала внутри сферы c хаотически движущимися частицами в рамках Лоренц-инвариантной теории гравитации (ЛИТГ): $$~\triangle \psi_i = 4 \pi G \rho_0 \gamma' .$$

Правая часть этого уравнения содержит лоренц-фактор $~ \gamma'$, зависящий от радиуса согласно (1). Кроме этого, внутренний скалярный потенциал вблизи поверхности сферы должен совпасть со скалярным потенциалом внешнего поля системы, с учётом стандартной калибровки потенциала, то есть с равенством потенциала нулю на бесконечности.

В результате зависимость скалярного потенциала от текущего радиуса отличается от зависимости для классического случая однородной сферы с радиусом $~ a$ и лишь приблизительно равна ей: $$~ \psi_i = -\frac {G c^2 \gamma_c }{ \eta r} \left[ \frac {c }{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0}} \sin \left(\frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - r \cos \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \right] \approx -\frac {2 \pi G \rho_0 \gamma_c (3a^2 - r^2)}{3 }.$$

Для  напряжённости гравитационного поля и  поля кручения внутри сферы получается следующее: $$~ \mathbf \Gamma_i = - \nabla \psi_i - \frac {\partial \mathbf D_i }{\partial t}= - \frac {G c^2 \gamma_c \mathbf r}{ \eta r^3} \left[ \frac {c }{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0}} \sin \left(\frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - r \cos \left(\frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \right] \approx$$ $$~\approx -\frac { 4 \pi G \rho_0 \gamma_c \mathbf r }{3}\left( 1- \frac {4 \pi \eta \rho_0 r^2}{10 c^2}\right) .$$ $$~ \mathbf \Omega_i = \nabla \times \mathbf D_i = 0.$$

Решения для потенциала внешнего гравитационного поля и для напряжённости поля $~ \Gamma_o$ в соответствии с ЛИТГ следующие: $$~ \psi_o = - \frac {G c^2 \gamma_c }{ \eta r } \left[\frac {c}{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0}}\sin \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - a \cos \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0}\right) \right] \approx - \frac {G m \gamma_c }{r} \left( 1- \frac {3 \eta m }{10 a c^2} \right).$$ $$~ \mathbf \Gamma_o = - \nabla \psi_o - \frac {\partial \mathbf D_o }{\partial t}= - \frac {G c^2 \gamma_c \mathbf r}{ \eta r^3 } \left[\frac {c}{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0}}\sin \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - a \cos \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0}\right) \right] \approx$$ $$~\approx - \frac {G m \gamma_c \mathbf r}{r^3} \left( 1- \frac {3 \eta m }{10 a c^2} \right) . \qquad \qquad (2)$$

Здесь вспомогательная масса $~ m$ равна произведению плотности массы $~ \rho_0$ на объём сферы: $~ m = \frac {4 \pi \rho_0 a^3 }{3}$. Из выражений для потенциала и напряжённости внешнего гравитационного поля видно, что роль гравитационной массы играет масса $~ m_g \approx m \gamma_c \left( 1- \frac {3 \eta m }{10 a c^2} \right) .$ Поскольку $~ \gamma_c > 1$, то выполняется соотношение $~ m_g > m$.

Чтобы понять различие данных масс, следует вычислить суммарную релятивистскую массу $~ m_b$ частиц, движущихся внутри сферы. Для движения частиц между ними должны быть какие-то промежутки. Как средние ускорения, так и средние скорости частиц внутри сферы являются функцией текущего радиуса. Разделив скорости частиц на их ускорение, можно найти зависимость среднего периода колебательного движения частиц от радиуса. Наконец, умножая скорость на средний период движения, можно получить оценку величины промежутков между частицами.

Чтобы вычислить объём сферы, необходимо просуммировать объёмы всех движущихся внутри сферы типичных частиц, а также объёмы пустот между ними. Предположим теперь, что размеры типичных частиц намного больше, чем промежутки между частицами, а объём пустот существенно меньше суммарного объёма частиц. В этом случае можно воспользоваться приближением сплошной среды, так что элемент массы вещества внутри сферы будет определяться приблизительным выражением $~ dm \approx \rho_0 \gamma' dV$, где $~ \rho_0$ есть плотность массы в сопутствующих частицам системах отсчёта, $~ \gamma'$ представляет собой фактор Лоренца движущихся частиц, произведение $~ \rho_0 \gamma'$ даёт плотность массы частиц с точки зрения неподвижного относительно сферы наблюдателя, а элемент объёма $~ dV$ есть элемент объёма неподвижной сферы и соответствует объёму частицы с точки зрения этого наблюдателя. Это приводит к тому, что суммарный объём движущихся внутри сферы частиц становится приблизительно равным объёму сферы. Для массы с учётом фактора Лоренца (1) получается соотношение: $$~ m_b = \int dm = \int \rho_0 \gamma' dV = \frac {c^2 \gamma_c }{\eta } \left[\frac {c}{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }} \sin \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) - a \cos \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }\right) \right] \approx$$ $$~ \approx m \gamma_c \left( 1- \frac {3 \eta m }{10 a c^2} \right) . \qquad \qquad (3)$$

Отсюда следует равенство гравитационной массы $~ m_g$ и суммарной релятивистской массы $~ m_b$ частиц, движущихся внутри сферы. Обе эти массы больше, чем масса $~ m$. По способу своего построения масса $~ m_b$ оказывается равной сумме инвариантных масс частиц, составляющих систему.

Внешнее поле кручения равно нулю: $$~ \mathbf \Omega_o = \nabla \times \mathbf D_o = 0.$$

Электромагнитное поле

Электромагнитный потенциал $~ A_\mu = \left(\frac {\varphi }{c},- \mathbf A \right)$ электромагнитного поля включает в себя скалярный потенциал $~ \varphi$ и векторный потенциал $~ \mathbf A$. Ковариантная калибровка Лоренца для 4-потенциала: $~\nabla^\mu A_\mu = 0$. Для неподвижного однородно заряженного сферического тела с хаотическим движением зарядов общее электромагнитное поле в среднем является чисто электрическим и векторный потенциал равен нулю.

Уравнение электромагнитного поля с источниками поля, тензор электромагнитного поля $~ F_{\mu \nu}$ и уравнение для нахождения 4-потенциала выражаются так: $$~ \nabla^\nu F_{\mu \nu} = - \frac {1 }{\varepsilon_0 c^2} j_\mu , \quad F_{\mu \nu} = \nabla_\mu A_\nu - \nabla_\nu A_\mu , \quad \nabla^\nu \nabla_\nu A_\mu + R_{\mu \nu} A^\nu = \frac {1 }{\varepsilon_0 c^2} j_\mu,$$

где $~ \varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $~ j_\mu$ — электромагнитный 4-ток.

Последнее уравнение в СТО переходит в волновое уравнение: $$~ \partial^\nu \partial_\nu A_\mu = \frac {1 }{\varepsilon_0 c^2} j_\mu .$$

Ввиду отсутствия зависимости от времени в рассматриваемом случае волновое уравнение становится уравнением Пуассона для скалярного потенциала $~ \varphi_i$ внутри сферы: $$~\triangle \varphi_i = - \frac {\rho_{0q} \gamma'}{\varepsilon_0 } ,$$ где $~ \rho_{0q}$ есть плотность заряда в системах отсчёта, сопутствующих зарядам.

Зависимость скалярного потенциала от текущего радиуса в общем случае отличается от зависимости потенциала в классическом случае однородно заряженной сферы с радиусом $~ a$, совпадая с ней только в первом приближении: $$~ \varphi_i = \frac {\rho_{0q} c^2 \gamma_c }{ 4 \pi \varepsilon_0 \eta \rho_0 r } \left[\frac {c }{ \sqrt {4 \pi \eta \rho_0}} \sin \left(\frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - r \cos \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \right] \approx \frac {\rho_{0q} \gamma_c (3a^2 - r^2)}{6 \varepsilon_0 }.$$

Напряжённость электрического поля и магнитное поле внутри сферы имеют вид: $$~ \mathbf E_i = - \nabla \varphi_i - \frac {\partial \mathbf A_i }{\partial t}= \frac { \rho_{0q} c^2 \gamma_c \mathbf r}{4 \pi \varepsilon_0 \eta \rho_0 r^3 } \left[\frac {c}{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0}} \sin \left( \frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - r \cos \left( \frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \right] \approx$$ $$~ \approx \frac { \rho_{0q} \gamma_c \mathbf r }{3 \varepsilon_0 } \left( 1- \frac {4 \pi \eta \rho_0 r^2}{10 c^2}\right) .$$ $$~ \mathbf B_i = \nabla \times \mathbf A_i = 0.$$

За пределами рассматриваемой системы плотность заряда равна нулю, и уравнение Пуассона для скалярного потенциала превращается в уравнение Лапласа: $$~\triangle \varphi_o = 0 .$$

Решение для потенциала внешнего электрического поля, соответствующее калибровке потенциала и  уравнению Максвелла для напряжённости электрического поля $~ E_o$, имеет вид: $$~ \varphi_o = \frac {\rho_{0q} c^2 \gamma_c }{ 4 \pi \varepsilon_0 \eta \rho_0 r } \left[ \frac {c}{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0}} \sin \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - a \cos \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0}\right) \right] \approx \frac { q \gamma_c }{4\pi \varepsilon_0 r }\left( 1- \frac {3 \eta m}{10 a c^2}\right) .$$ $$~ \mathbf E_o = - \nabla \varphi_o - \frac {\partial \mathbf A_o }{\partial t}= \frac {\rho_{0q} c^2 \gamma_c \mathbf r}{ 4 \pi \varepsilon_0 \eta \rho_0 r^3} \left[\frac {c}{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }} \sin \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) - a \cos \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }\right) \right] \approx$$ $$~ \approx \frac { q \gamma_c \mathbf r}{4\pi \varepsilon_0 r^3 }\left( 1- \frac {3 \eta m}{10 a c^2}\right) .$$

Внешнее магнитное поле равно нулю: $$~ \mathbf B_o = \nabla \times \mathbf A_o = 0.$$

В данных выражениях заряд $~ q$ является вспомогательной величиной, равной произведению плотности заряда $~ \rho_{0q}$ на объём сферы: $~ q = \frac {4 \pi \rho_{0q} a^3 }{3}$. При этом в качестве полного заряда системы выступает величина $$~ q_b = \int \rho_{0q} \gamma' dV = \frac {\rho_{0q}c^2 \gamma_c }{\eta \rho_0 } \left[\frac {c}{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }} \sin \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) - a \cos \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }\right) \right] \approx$$ $$~\approx q \gamma_c \left( 1- \frac {3 \eta m }{10 a c^2} \right) ,$$ причём $~ q_b > q .$ Заряд $~ q_b$ вычисляется так же, как масса $~ m_b$, и имеет смысл суммы зарядов всех частиц системы.

Тензорные инварианты полей

Знание напряжённостей и соленоидальных компонент полей позволяет найти компоненты тензоров соответствующих полей с ковариантными индексами. Для перехода к тензорам полей с контравариантными индексами требуется знать метрический тензор. В СТО метрический тензор не зависит от координат и времени, определяется однозначно и в декартовых координатах состоит из нулей и единиц. В результате нетрудно найти тензорные инварианты полей $~ u_{\mu \nu} u^{\mu \nu}$, $~ f_{\mu \nu} f^{\mu \nu}$, $~ \Phi_{\mu \nu} \Phi^{\mu \nu}$ и $~ F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$, где $~ u_{\mu \nu}$, $~ f_{\mu \nu}$, $~ \Phi_{\mu \nu}$ и $~ F_{\mu \nu}$ — тензор ускорений, тензор поля давления, тензор гравитационного поля и тензор электромагнитного поля, соответственно.

Тензорные инварианты полей входят в лагранжиан, в гамильтониан, в функцию действия и в релятивистскую энергию системы и находятся там внутри интегралов по пространственному объёму. Кроме этого, они входят в соответствующие тензоры энергии-импульса полей. Поскольку в рассматриваемой системе соленоидальные векторы равны нулю, тензорные инварианты зависят только от напряжённостей полей: $$~ u_{\mu \nu} u^{\mu \nu} = - \frac {2}{c^2}(S^2 - c^2 N^2) = - \frac {2}{c^2}S^2.$$ $$~ f_{\mu \nu} f^{\mu \nu} = - \frac {2}{c^2}(C^2 - c^2 I^2) = - \frac {2}{c^2}C^2.$$ $$~ \Phi_{\mu \nu} \Phi^{\mu \nu} = - \frac {2}{c^2}(\Gamma^2 - c^2 \Omega^2) = - \frac {2}{c^2}\Gamma^2.$$ $$~ F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} = - \frac {2}{c^2}(E^2 - c^2 B^2) = - \frac {2}{c^2}E^2.$$

Интегралы по объёму от тензорных инвариантов, умноженные на соответствующие множители, были вычислены в статье. Для поля ускорений и поля давления интегралы берутся только по объёму сферы: $$~ \int \limits^{a}_{r=0} \frac {c^2}{16 \pi \eta } u_{\mu \nu} u^{\mu \nu} dV = - \frac {c^4 \gamma^2_c }{2 \eta } \left[\frac {a}{2} + \frac {c}{4 \sqrt {4 \pi \eta \rho_0}} \sin \left(\frac {2a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - \frac {c^2}{4 \pi \eta \rho_0 a} \sin^2 \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \right] \approx$$ $$~\approx -\frac { \eta m^2 \gamma^2_c }{10 a}\left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right).$$ $$~ \int \limits^{a}_{r=0} \frac {c^2}{16 \pi \sigma } f_{\mu \nu} f^{\mu \nu} dV = - \frac {\sigma c^4 \gamma^2_c }{2 \eta^2 } \left[\frac {a}{2} + \frac {c}{4 \sqrt {4 \pi \eta \rho_0}} \sin \left(\frac {2a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - \frac {c^2}{4 \pi \eta \rho_0 a} \sin^2 \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \right] \approx$$ $$~\approx -\frac { \sigma m^2 \gamma^2_c }{10 a}\left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right).$$

Гравитационное и электромагнитное поля системы присутствуют не только внутри, но и снаружи сферы, где тянутся в бесконечность, причём напряжённости внутренних и внешних полей ведут себя по-разному. В интегралы от тензорных инвариантов этих полей по объёму сферы подставляются напряжённости $~ \mathbf \Gamma_i$ и $~ \mathbf E_i$ соответственно, что даёт: $$~ - \int \limits^{a}_{r=0} \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{\mu \nu} \Phi^{\mu \nu} dV =$$ $$~ = \frac {G c^4 \gamma^2_c }{2 \eta^2 } \left[\frac {a}{2} + \frac {c}{4 \sqrt {4 \pi \eta \rho_0}} \sin \left(\frac {2a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - \frac {c^2}{4 \pi \eta \rho_0 a} \sin^2 \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \right] \approx \frac { G m^2 \gamma^2_c }{10 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right).$$ $$~ \int \limits^{a}_{r=0} \frac {c^2 \varepsilon_0}{4 } F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} dV =$$ $$~ = -\frac {\rho^2_{0q} c^4 \gamma^2_c }{8 \pi \varepsilon_0 \eta^2 \rho^2_0} \left[\frac {a}{2} + \frac {c}{4 \sqrt {4 \pi \eta \rho_0}} \sin \left(\frac {2a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - \frac {c^2}{4 \pi \eta \rho_0 a} \sin^2 \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \right] \approx$$ $$~\approx -\frac { q^2 \gamma^2_c }{40 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right).$$

В интегралы по объёму от тензорных инвариантов гравитационного и электромагнитного полей системы за пределами сферы подставляются напряжённости $~ \mathbf \Gamma_o$ и $~ \mathbf E_o$ соответственно: $$~ - \int \limits^{\infty}_{r=a} \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{\mu \nu} \Phi^{\mu \nu} dV =$$ $$~ = \frac {G c^4 \gamma^2_c }{2 \eta^2 a} \left[\frac {c}{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }} \sin \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) - a \cos \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }\right) \right]^2 \approx \frac { G m^2 \gamma^2_c }{2 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{5 a c^2} \right).$$ $$~ \int \limits^{\infty}_{r=a} \frac {c^2 \varepsilon_0}{4 } F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} dV =$$ $$~ = -\frac {\rho^2_{0q} c^4 \gamma^2_c }{ 8 \pi \varepsilon_0 \eta^2 \rho^2_0 a } \left[\frac {c}{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }} \sin \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) - a \cos \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }\right) \right]^2 \approx -\frac { q^2 \gamma^2_c }{8 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{5 a c^2} \right) .$$

Энергии частиц в потенциалах полей

На частицы, находящиеся внутри сферы, действуют все четыре поля, и потому каждая частица системы приобретает соответствующую энергию в том или ином поле. Энергия частицы в поле вычисляется как интеграл по объёму от произведения эффективной плотности массы $~ \rho = \rho_0 \gamma'$ на соответствующий скалярный потенциал, а для электрического поля энергия определяется как интеграл по объёму от произведения эффективной плотности заряда $~ \rho_q = \rho_{0q} \gamma'$ на скалярный потенциал $~ \varphi$, где используется фактор Лоренца $~ \gamma'$ из (1). В СТО энергии частиц в поле ускорений, в поле давления, в гравитационном и электрическом полях для однородной релятивистской сферической системы с учётом выражений для потенциалов полей и поправок в расчётах равны соответственно: $$~ \int \rho \vartheta dV = \rho_0 c^2 \int \gamma'^2 dV = \frac {c^4 \gamma^2_c }{\eta } \left[ \frac {a}{2}- \frac {c}{4 \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }} \sin \left(\frac {2a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) \right] \approx$$ $$~ \approx m c^2 \gamma^2_c - \frac {3 \eta m^2 \gamma^2_c }{5a} \left( 1- \frac {2 \eta m }{7 a c^2} \right).$$ $$~ \int \rho \wp dV = \rho_0 \int \gamma' \wp dV = \frac {c^2 \gamma_c } {\eta } \left( \wp_c - \frac { \sigma c^2 \gamma_c }{\eta }\right) \left[ \frac {c}{ \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }} \sin \left( \frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) - a \cos \left( \frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) \right] +$$ $$~ + \frac { \sigma c^4 \gamma^2_c }{\eta^2 } \left[ \frac {a}{2} - \frac {c}{4 \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }}\sin \left(\frac {2a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) \right] \approx m \wp_c \gamma_c \left( 1 - \frac {3 \eta m }{10 a c^2} \right) - \frac {3 \sigma m^2 \gamma^2_c }{10 a} \left( 1 - \frac {13 \eta m }{28 a c^2} \right) .$$ $$~ \int \rho \psi_i dV = \rho_0 \int \gamma' \psi_i dV =$$ $$~= \frac {G c^4 \gamma^2_c }{\eta^2 } \cos \left( \frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) \left[ \frac {c}{ \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }} \sin \left( \frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) - a \cos \left( \frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) \right] -$$ $$~ - \frac {G c^4 \gamma^2_c }{\eta^2 } \left[ \frac {a}{2} - \frac {c}{4 \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }} \sin \left(\frac {2 a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) \right] \approx - \frac {6 G m^2 \gamma^2_c }{5 a} \left( 1- \frac {4 \eta m }{7 a c^2} \right).$$ $$~ \int \rho_q \varphi_i dV = \rho_{0q} \int \gamma' \varphi_i dV =$$ $$~ = -\frac {\rho^2_{0q} c^4 \gamma^2_c }{4 \pi \varepsilon_0 \eta^2 \rho^2_0 } \cos \left( \frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) \left[ \frac {c}{ \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }} \sin \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) - a \cos \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) \right] +$$ $$~ + \frac {\rho^2_{0q} c^4 \gamma^2_c }{4 \pi \varepsilon_0 \eta^2 \rho^2_0 } \left[ \frac {a}{2} - \frac {c}{4 \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }} \sin \left(\frac {2a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) \right] \approx \frac {3 q^2 \gamma^2_c }{10 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {4 \eta m }{7 a c^2} \right).$$

Заметим, что все поля, в которых находятся частицы, являются не полями от внешних источников, а генерируются самими частицами. В результате вычисленные выше энергии частиц в скалярных потенциалах полей превышают в два раза потенциальную энергию того или иного взаимодействия. Например, для вычисления электростатической энергии системы из двух зарядов достаточно взять потенциал первого заряда в месте расположения второго заряда, и умножить на величину второго заряда. Если же использовать формулу для энергии в виде интеграла, то электростатическая энергия будет учтена дважды, поскольку добавляется ещё член, содержащий потенциал второго заряда в месте расположения первого заряда, умноженный на величину первого заряда. С другой стороны, электростатическая энергия должна состоять из двух компонент, учитывающих как энергию частиц в полях друг друга, так и энергию электрического поля как такового. Вместо этого в электростатике вычисляют электростатическую энергию либо через скалярный потенциал, либо через напряжённость поля путём интегрирования временной компоненты тензора энергии-импульса по объёму. Оба способа дают один и тот же результат, но связь между энергией поля и энергией частиц в потенциале оказывается при этом потерянной — не понятно, почему эти энергии должны совпадать.

Связь между коэффициентами полей

Для рассматриваемых четырёх полей уравнение движения вещества в концепции общего поля имеет вид: $$~ u_{\mu \nu } J^\nu + f_{\mu \nu } J^\nu + \Phi_{\mu \nu } J^\nu + F_{\mu \nu } j^\nu = 0,$$

где $~ J_\mu$ — массовый 4-ток, $~ j^\nu$ — электромагнитный 4-ток.

Компонентами тензоров полей являются напряжённости полей и соответствующие соленоидальные векторы, но в рассматриваемой физической системе последние равны нулю. В результате пространственная компонента уравнения движения сводится к соотношению: $$~ \mathbf S + \mathbf C + \mathbf \Gamma_i + \frac {\rho_{0q}}{\rho_0 }\mathbf E_i = 0 .$$

Если подставить сюда выражения для напряжённостей полей внутри сферы, получается соотношение между коэффициентами полей: $$~\eta + \sigma = G - \frac {\rho^2_{0q}}{ 4 \pi \varepsilon_0 \rho^2_0 }= G - \frac {q^2 }{ 4 \pi \varepsilon_0 m^2 }. \qquad \qquad (4)$$

То же самое получается и для временной компоненты уравнения движения, приводящей к обобщённой теореме Пойнтинга.

Связь между энергиями внутренних и внешних полей

В статье было обнаружено, что энергия частиц в гравитационном поле внутри неподвижной сферы с точностью до знака в два раза больше, чем суммарная энергия, связанная с тензорными инвариантами гравитационного поля внутри и снаружи тела. Подобная ситуация складывается и в рассматриваемой системе с хаотическим движением частиц и нулевыми соленоидальными векторами, как для гравитационного, так и для электромагнитного поля. В частности, можно записать: $$~ \int \limits^{a}_{r=0} \rho \psi_i dV = 2 \int \limits^{a}_{r=0} \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{\mu \nu} \Phi^{\mu \nu} dV + 2 \int \limits^{ \infty }_{r=a} \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{\mu \nu} \Phi^{\mu \nu} dV = 2 \int \limits^{\infty }_{r=0} \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{\mu \nu} \Phi^{\mu \nu} dV.$$ $$~ \int \limits^{a}_{r=0} \rho_q \varphi_i dV = -2 \int \limits^{a}_{r=0} \frac {c^2 \varepsilon_0}{4 } F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} dV - 2 \int \limits^{\infty}_{r=a} \frac {c^2 \varepsilon_0}{4 } F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} dV = - 2 \int \limits^{\infty }_{r=0} \frac {c^2 \varepsilon_0}{4 } F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} dV.$$

Данные выражения связывают энергию частиц в скалярных потенциалах полей с энергией, находимой с помощью напряжённостей полей.

Релятивистская энергия

В искривлённом пространстве-времени энергия системы для непрерывно распределённого вещества выражается формулой: $$~E_r = \frac {1}{c} \int {( \rho_0 \vartheta + \rho_0 \wp + \rho_0 \psi+ \rho_{0q} \varphi ) u^0 \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 +}$$ $$~ +\int { \left( \frac {c^2}{16 \pi \eta} u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu} + \frac {c^2}{16 \pi \sigma} f_{ \mu\nu} f^{ \mu\nu} - \frac {c^2}{16 \pi G} \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu} + \frac {c^2 \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu} \right) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3}. \qquad \qquad (5)$$

Данная формула справедлива в том случае, когда можно считать, что потенциалы и напряжённости полей в каждой точке пространства не зависят от скоростей движения отдельных частиц системы.

В СТО детерминант метрического тензора равен $~ g = -1$, временная компонента 4-скорости $~ u^0 = c \gamma'$, и для вычисления энергии сферической системы с частицами с учётом энергии полей можно использовать представленные выше энергии частиц в потенциалах полей и энергии в виде тензорных инвариантов полей: $$~E_r \approx m c^2 \gamma^2_c - \frac {3 \eta m^2 \gamma^2_c }{5a} \left( 1- \frac {2 \eta m }{7 a c^2} \right) + m \wp_c \gamma_c \left( 1 - \frac {3 \eta m }{10 a c^2} \right) - \frac {3\sigma m^2 \gamma^2_c }{10 a} \left( 1 - \frac {13 \eta m }{28 a c^2} \right) -$$ $$~ - \frac {6 G m^2 \gamma^2_c }{5 a} \left( 1- \frac {4 \eta m }{7 a c^2} \right) + \frac {3 q^2 \gamma^2_c }{10 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {4 \eta m }{7 a c^2} \right) - \frac { \eta m^2 \gamma^2_c }{10 a}\left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right) -\frac { \sigma m^2 \gamma^2_c }{10 a}\left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right) +$$ $$~ + \frac { G m^2 \gamma^2_c }{10 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right) -\frac { q^2 \gamma^2_c }{40 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right) + \frac { G m^2 \gamma^2_c }{2 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{5 a c^2} \right) -\frac { q^2 \gamma^2_c }{8 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{5 a c^2} \right) .$$

Выражение для энергии упрощается, если использовать соотношение между коэффициентами полей (4): $$~E_r \approx m c^2 \gamma^2_c - \frac {3 \eta m^2 \gamma^2_c }{5a} \left( 1- \frac {2 \eta m }{7 a c^2} \right) + m \wp_c \gamma_c \left( 1 - \frac {3 \eta m }{10 a c^2} \right) - \frac {3\sigma m^2 \gamma^2_c }{10 a} \left( 1 - \frac {13 \eta m }{28 a c^2} \right) -$$ $$~ - \frac {6 G m^2 \gamma^2_c }{5 a} \left( 1- \frac {4 \eta m }{7 a c^2} \right) + \frac {3 q^2 \gamma^2_c }{10 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {4 \eta m }{7 a c^2} \right) + \frac { G m^2 \gamma^2_c }{2 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{5 a c^2} \right) -\frac { q^2 \gamma^2_c }{8 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{5 a c^2} \right) .$$

Учёт связи между энергиями внутренних и внешних полей также упрощает выражение для энергии системы: $$~E_r \approx m c^2 \gamma^2_c - \frac {3 \eta m^2 \gamma^2_c }{5a} \left( 1- \frac {2 \eta m }{7 a c^2} \right) + m \wp_c \gamma_c \left( 1 - \frac {3 \eta m }{10 a c^2} \right) - \frac {3\sigma m^2 \gamma^2_c }{10 a} \left( 1 - \frac {13 \eta m }{28 a c^2} \right) -$$ $$~ - \frac {6 G m^2 \gamma^2_c }{10 a} \left( 1- \frac {4 \eta m }{7 a c^2} \right) + \frac {3 q^2 \gamma^2_c }{20 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {4 \eta m }{7 a c^2} \right) - \frac { \eta m^2 \gamma^2_c }{10 a}\left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right) -\frac { \sigma m^2 \gamma^2_c }{10 a}\left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right) .$$

Связь энергии с космологической постоянной

В рассматриваемом подходе релятивистская энергия системы не является абсолютной величиной и требует калибровки. Для этой цели используется космологическая постоянная $~ \Lambda$. Условие калибровки для четырёх основных полей связано с суммой произведений 4-потенциалов полей на соответствующие 4-токи и имеет следующий вид: $$~ -ck \Lambda = A_\mu j^\mu + (D_\mu + U_\mu + \pi_\mu) J^\mu, \qquad \qquad (6)$$ где для больших космических систем $~ -ck = \frac {c^4}{16\pi G \beta }$, $~\beta$ есть константа порядка единицы.

В рамках СТО условие калибровки выглядит так: $$~ -ck \Lambda = \gamma \rho_{0q} (\varphi - \mathbf A \cdot \mathbf v) + \gamma \rho_{0} (\psi - \mathbf D \cdot \mathbf v + \vartheta - \mathbf U \cdot \mathbf v + \wp - \mathbf \Pi \cdot \mathbf v ).$$

Если частицы системы разнести на бесконечность и оставить там неподвижными, члены с произведениями векторных потенциалов полей на скорость частиц $~\mathbf v$ обратятся в нуль, а лоренц-фактор произвольной частицы $~ \gamma=1$. В правой части останется лишь сумма членов, задающих плотность энергии частиц, находящихся в потенциалах своих собственных полей. Так как $~ \vartheta \approx \gamma_c c^2$, то видно, что с точностью до множителя $~ -ck$ космологическая постоянная для каждой частицы системы равна плотности энергии покоя этой частицы с некоторой добавкой от её собственных полей. Тогда интеграл по объёму всех частиц даёт некоторую энергию: $$~ -ck \int \Lambda dV = m' c^2 ,$$

где калибровочная масса $~ m'$ связана с условием калибровки энергии.

В процессах гравитационного скучивания частицы, изначально находившиеся далеко друг от друга, объединяются в тесно связанные системы, в которых потенциалы полей многократно возрастают. В рассматриваемой системе $~ \gamma = \gamma'$, соленоидальные векторы полей считаются равными нулю из-за хаотического движения частиц, что даёт: $$~ m' c^2 = \int [\gamma' \rho_{0q} \varphi_i + \gamma' \rho_{0} (\psi_i + \vartheta + \wp)] dV.$$

Выражение в правой части является частью релятивистской энергии системы, так что энергию можно записать так: $$~E_r = M c^2 \approx m' c^2 - \frac { \eta m^2 \gamma^2_c }{10 a}\left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right) -\frac { \sigma m^2 \gamma^2_c }{10 a}\left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right) +$$ $$~ + \frac { G m^2 \gamma^2_c }{10 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right) -\frac { q^2 \gamma^2_c }{40 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right) + \frac { G m^2 \gamma^2_c }{2 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{5 a c^2} \right) -\frac { q^2 \gamma^2_c }{8 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{5 a c^2} \right) .$$

Масса $~ M$ связана с релятивистской энергией неподвижной в целом системы и является инерциальной массой системы. С учётом (4) энергия будет равна: $$~E_r = M c^2 \approx m' c^2 + \frac { G m^2 \gamma^2_c }{2 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{5 a c^2} \right) -\frac { q^2 \gamma^2_c }{8 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{5 a c^2} \right) .$$

Отсюда видно, что релятивистская энергия данной системы равна калибровочной массе-энергии $~ m' c^2$, из которой следует вычесть гравитационную и электромагнитную энергию полей за пределами системы.

Функция Лагранжа и интегралы движения

Функция Лагранжа для системы частиц и четырёх основных векторных полей имеет следующий вид: $$~L = - \int {( U_\mu J^\mu + \pi_\mu J^\mu + D_\mu J^\mu + A_\mu j^\mu ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 +}$$ $$~ +\int { \left( ckR - 2ck \Lambda -\frac {c^2}{16 \pi \eta} u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu} - \frac {c^2}{16 \pi \sigma} f_{ \mu\nu} f^{ \mu\nu} + \frac {c^2}{16 \pi G} \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu} - \frac {c^2 \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu} \right) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3}.$$

Здесь $~ R$ есть скалярная кривизна. С помощью такой функции Лагранжа можно вычислить обобщённый импульс системы: $$~ \mathbf p = \frac {1}{c} \int {( \rho_0 \mathbf U + \rho_0 \mathbf \Pi + \rho_0 \mathbf D + \rho_{0q} \mathbf A ) u^0 \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 }.$$

Данный вектор зависит от векторных потенциалов всех четырёх полей и в замкнутой физической системе сохраняется, то есть является интегралом движения. Другим интегралом движения является релятивистская энергия системы $~E_r$, находимая по формуле (5). Далее предполагается, что можно пренебречь вкладами от гравитационного и электромагнитного полей за пределами вещества и учитывать только обобщённый импульс. Тогда можно считать, что указанные величины образуют 4-импульс системы, записанный с ковариантным индексом: $$~ p_\mu = \left( \frac { E_r }{c}, - \mathbf p \right).$$

Момент импульса системы также является интегралом движения: $$~ \mathbf M = \frac {1}{c} \int {( \rho_0 [\mathbf r \times \mathbf U] + \rho_0 [\mathbf r \times \mathbf \Pi] + \rho_0 [\mathbf r \times \mathbf D] + \rho_{0q} [\mathbf r \times \mathbf A] ) u^0 \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 }.$$

Антисимметричный псевдотензор момента импульса определяется через 4-радиус $~ x_\mu$, взятый с ковариантным индексом, и через 4-импульс $~ p_\mu$: $$~M_{\mu \nu} = \int {( x_\mu dp_\nu - x_\nu dp_\mu )} .$$

Пространственными компонентами псевдотензора момента импульса $~ M_{\mu \nu}$ являются компоненты момента импульса $~ \mathbf M$ системы: $$~ M_{12} = -M_{21} = -M_z , \qquad M_{13} = -M_{31} = M_y , \qquad M_{23} = -M_{32} = -M_x .$$

Радиус-вектор центра импульсов физической системы определяется формулой: $$~ \mathbf R_m = \frac {1}{c E_r} \int {( \rho_0 \vartheta + \rho_0 \wp + \rho_0 \psi+ \rho_{0q} \varphi ) \mathbf r u^0 \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 +}$$ $$~ + \frac {1}{E_r}\int { \left( \frac {c^2}{16 \pi \eta} u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu} + \frac {c^2}{16 \pi \sigma} f_{ \mu\nu} f^{ \mu\nu} - \frac {c^2}{16 \pi G} \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu} + \frac {c^2 \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu} \right) \mathbf r \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3}.$$

Временными компонентами псевдотензора момента импульса $~ M_{\mu \nu}$ являются компоненты трёхмерного вектора $~ \mathbf {\mathbb C}$, который часто называется время-зависимым динамическим массовым моментом (time-varying dynamic mass moment): $$~ M_{01} = -M_{10} = -\mathbb C_x , \qquad M_{02} = -M_{20} = -\mathbb C_y , \qquad M_{03} = -M_{30} = -\mathbb C_z .$$

Если учесть определение радиус-вектора центра импульсов и соотношение между импульсом и скоростью центра импульсов в виде $~ \mathbf p = \frac { E_r }{c^2} \mathbf V$, получается соотношение: $$~ \mathbf {\mathbb C} = \frac { E_r }{c} ( \mathbf V t - \mathbf R_m ) .$$

В замкнутой системе псевдотензор $~ M_{\mu \nu}$ должен сохраняться, и его компоненты должны быть некоторыми константами. Для пространственных компонент псевдотензора это даёт сохранение момента импульса: $~ \mathbf M = const$. Из равенства временных компонент псевдотензора и компонент вектора $~ \mathbf {\mathbb C}$ тогда следует, что должно быть $~ \mathbf {\mathbb C} = const$. С учётом выражения для $~ \mathbf {\mathbb C}$ это можно записать как $~ \mathbf R_m = \mathbf R_{m0} + \mathbf V t$, где постоянный вектор $~ \mathbf R_{m0}$ задаёт положение центра импульсов системы при $~ t=0$. Так в данной системе отсчёта получается уравнение движения центра импульсов с постоянной скоростью $~ \mathbf V$, как свойство движения замкнутой системы.

Компонента $~ M_z$ момента импульса однородного шара с учётом релятивистских поправок может быть вычислена по формуле: $$~ M_z = \frac {3 \pi \rho_0 c^4 a}{2 \omega^3} - \frac {\pi \rho_0 c^2 a^3}{2 \omega} - \frac {3 \pi \rho_0 c^5 \left( 1- \frac {\omega^2 a^2}{c^2} \right) \left( 1+ \frac {\omega^2 a^2}{3c^2} \right) }{4 \omega^4} \ln \frac {1+ \frac {\omega a}{c} }{1- \frac {\omega a}{c} } .$$

Здесь $~ \rho_0$ инвариантная плотность массы, $~ \omega$ есть угловая скорость вращения шара, имеющего радиус $~ a$.

Интегральный вектор

Уравнение для нахождения компонент метрического тензора в  ковариантной теории гравитации для тензоров со смешанными индексами выглядит следующим образом: $$~ R_\alpha^{\ \beta} - \frac {1}{4} R \delta_\alpha^{\ \beta} = - \frac {1}{2c k} \left( B_\alpha^{\ \beta}+ P_\alpha^{\ \beta} + U_\alpha^{\ \beta} + W_\alpha^{\ \beta} \right) .$$

Здесь $~ R_\alpha^{\ \beta}$ — тензор Риччи со смешанными индексами; $~ \delta_\alpha^{\ \beta}$ — единичный тензор или символ Кронекера; $~ B_\alpha^{\ \beta}$, $~ P_\alpha^{\ \beta}$, $~ U_\alpha^{\ \beta}$ и $~ W_\alpha^{\ \beta}$ — тензоры энергии-импульса поля ускорений и поля давления, гравитационного и электромагнитного полей, соответственно.

С помощью ковариантной производной $~ \nabla_\beta$ можно найти 4-дивергенцию обеих частей приведённого выше уравнения для метрики. Дивергенция левой части равна нулю в силу равенства нулю дивергенции тензора Эйнштейна, $~ \nabla_\beta \left( R_\alpha^{\ \beta} - \frac {1}{2} R \delta_\alpha^{\ \beta}\right) =0$, а также как следствие того, что за пределами тела скалярная кривизна обращается в нуль, $~ R =0$, а внутри тела она постоянна. Последнее вытекает из условия калибровки энергии замкнутой системы. Дивергенция правой части уравнения для метрики также будет равна нулю: $$~ \nabla_\beta \left( B_\alpha^{\ \beta}+ P_\alpha^{\ \beta} + U_\alpha^{\ \beta} + W_\alpha^{\ \beta} \right) = \nabla_\beta T_\alpha^{\ \beta} = 0 ,$$

где $~ T_\alpha^{\ \beta}$ есть суммарный тензор энергии-импульса всех имеющихся в системе полей.

Полученное выражение для пространственных компонент тензоров есть не что-иное, как записанное в ковариантной форме дифференциальное уравнение движения вещества под действием сил, генерируемых полями. Что касается временных компонент тензоров, то для них данное выражение есть обобщённая теорема Пойнтинга для всех полей.

В слабом поле и при малых скоростях движения частиц к уравнению $~ \nabla_\beta T_\alpha^{\ \beta} \approx \partial_\beta T_\alpha^{\ \beta} = 0$ можно применить теорему Гаусса. В результате в начальный момент времени для рассматриваемой системы будет справедливо соотношение: $$~ J_\alpha = \int { T_\alpha^{\ 0} dx^1 dx^2 dx^3} = const .$$

Здесь $~ J_\alpha$ представляет собой четырёхмерный интегральный вектор, сохраняющийся в замкнутой системе. Для неподвижной сферы с хаотически движущимися частицами в приближении сплошной среды потоки энергии полей, задающие компоненты $~ T_j^{\ 0}$, где $~ j =1,2,3$, отсутствуют, так что пространственные компоненты равны нулю, $~ J_j =0$. Что касается временной компоненты $~ J_0$ интегрального вектора, то для объёма, занятого веществом внутри сферы, она также равна нулю ввиду соотношения (4) для коэффициентов полей. Однако за пределами сферы, где имеются лишь гравитационное и электромагнитное поля, временная компонента интегрального вектора нулю не равна. В результате вклад в эту компоненту делают энергии внешних полей: $$~ J_0 = - \frac {G m^2_g}{2a} + \frac {q^2_b}{8\pi \varepsilon_0 a} .$$

Из изложенного следует, что интегральный вектор показывает распределение в рассматриваемой системе энергии и потоков энергии. Для появления ненулевых пространственных компонент $~ J_j$ интегрального вектора необходимо какое-либо стационарное движение вещества и полей, например, общее вращение, пульсации объёма или перемешивание вещества. В этом случае в системе появляются соленоидальные векторы и потоки энергии полей.

Поскольку интегральный вектор $~ J_\alpha$ связан с энергиями и потоками энергии полей в тензорах энергии-импульса, он отличается от 4-импульса $~ p_\mu$, включающем в себя инвариантную массу и пропорциональную ей энергию покоя. Получается, что различие $~ J_\alpha$ и $~ p_\mu$ связано с фундаментальным различием частиц и полей, одни не сводятся к другим, хотя и взаимосвязаны друг с другом.

Теорема вириала и кинетическая энергия частиц

В статье кинетическая энергия частиц рассматриваемой системы оценивается тремя способами: из теоремы вириала, из релятивистского определения энергии и с помощью обобщённых импульсов и собственных полей частиц. В пределе малых скоростей все эти способы дают для кинетической энергии следующее: $$~E_k \approx \frac {0,3608\eta m^2 \gamma_c }{a} .$$

Возможность использования обобщённых импульсов для вычисления энергии движения частиц связана с тем, что несмотря на обнуление на крупном масштабе векторных потенциалов и соленоидальных векторов, в объёме каждой из хаотически движущихся частиц эти потенциалы и векторы нулю не равны. В результате энергия движения частиц системы может быть найдена как полусумма скалярных произведений векторных потенциалов полей на импульс частиц, причём для электромагнитного поля следует брать не импульс, а произведение заряда на скорость и на фактор Лоренца.

Если возвести в квадрат равенство для $~ \gamma'$ в (1), можно получить зависимость квадрата скорости хаотического движения частиц от текущего радиуса: $$~{v'}^2 \approx v^2_c - \frac {4 \pi \eta \rho_0 r^2 }{3} .$$

С другой стороны, можно считать, что $~ \mathbf v' = \mathbf v_r + \mathbf v_\perp ,$ где $~ \mathbf v_r$ обозначает усреднённую компоненту скорости, направленную вдоль радиуса, а $~ \mathbf v_\perp$ является усреднённой компонентой скорости, перпендикулярной текущему радиусу. Кроме этого, из статистических соображений следует, что $$~{v'}^2 = v^2_r + v^2_\perp = 3 v^2_r .$$

Отсюда вытекает зависимость радиальной скорости от радиуса: $$~v_r \approx \frac {v_c}{ \sqrt 3} \left( 1- \frac {2 \pi \eta \rho_0 r^2 }{3 v^2_c} \right) .$$

Далее из теоремы вириала находится квадрат скорости частиц в центре сферы: $$~v^2_c \approx \frac {3 \eta m }{5 a} \left( 1 + \frac {9}{\sqrt {56}}\right) \approx \frac {1,3216 \eta m }{a} .$$

Это даёт возможность оценить фактор Лоренца в центре: $$~\gamma_c = \frac {1}{\sqrt {1- \frac { v^2_c }{c^2}}} \approx 1+ \frac { v^2_c }{2c^2} +\frac {3 v^4_c }{8c^4} \approx 1+ \frac {3 \eta m}{10 a c^2} \left( 1+\frac {9}{2\sqrt {14}} \right) + \frac {27 \eta^2 m^2}{200 a^2 c^4} \left( 1+\frac {9}{2\sqrt {14}} \right)^2 .$$

В обычной трактовке теоремы вириала усреднённая по времени кинетическая энергия системы частиц должна быть в два раза меньше усреднённой энергии, связанной с силами $~ \mathbf F_i$, удерживающими частицы на радиус-векторах $~ \mathbf r_i$ : $$~ \langle W_k \rangle_m = - 0,5 \langle \sum^{N}_{i=1} \mathbf F_i \cdot \mathbf r_i \rangle.$$

Однако в релятивистской однородной системе данное равенство изменяется: $$~ \langle W_k \rangle \approx - 0,6 \langle \sum^{N}_{i=1} \mathbf F_i \cdot \mathbf r_i \rangle,$$

причём здесь величина $~ W_k$ превышает кинетическую энергию частиц, $~ W_k \approx \gamma_c E_k$, и сравнивается с ней лишь в пределе малых скоростей.

В отличие от классического случая, полная временная производная вириала в стационарной системе отличается от нуля вследствие зависимости вириала от радиуса: $$~ \frac {dG_V}{dt} \approx \mathbf v \cdot \nabla {G_V}\approx \frac {0,1216 \eta m^2 \gamma^2_c }{a} .$$

Анализ интегральной теоремы обобщённого вириала позволяет найти на основе теории поля формулу для среднеквадратичной скорости типичных частиц системы, не используя понятия температуры: $$v_\mathrm{rms} = c \sqrt{1- \frac {4 \pi \eta \rho_0 r^2}{c^2 \gamma^2_c \sin^2 {\left( \frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) } } } .$$

Экстремальные объекты

В формуле (2) для напряжённости гравитационного поля $~ \mathbf \Gamma_o$ за пределами тела присутствует величина $~A = \sin \delta - \delta \cos \delta$, где $~ \delta = \frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0}$. Как было показано в статье, при значении $~ \delta = \delta_0 = 4,494$ радиан напряжённость гравитационного поля $~ \mathbf \Gamma_o$ обращается в нуль и гравитационное ускорение исчезает. Следовательно, в реальных физических объектах должно выполняться условие $~ \delta = \frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} < \delta_0$. Если угол $~ \delta$ увеличивать, то вначале величина $~A$ растёт, а затем начинает уменьшаться и даже меняет свой знак. Так, при $~ \delta = \frac {\pi}{2}$ будет $~A =1$, при $~ \delta = \pi$ будет $~A =\pi$, при $~ \delta = \frac {3 \pi}{2}$ будет $~A = -1$.

Рассмотрим теперь наблюдаемую Вселенную, которая на масштабе 100 Мпс и более может рассматриваться как релятивистская однородная система. Суммарная плотность массы-энергии Вселенной близка к критическому значению $~ \rho_c \approx 10^{-26}$ кг/м³, а размер Вселенной можно оценить как Хаббловскую длину $~ R_H =c/H_0 \approx 10^{26}$ м, где $~ H_0$ есть параметр Хаббла.

Используя приблизительное равенство $~\eta \approx \frac {3}{5} G$ согласно, находим значение $~ \delta_U = \frac { R_H }{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_c} \approx 1,7 > \frac {\pi}{2}$ радиан. Поскольку угол $~ \delta_U$ достаточно велик, то для моделирования гравитационного поля Вселенной необходимо использовать уточнённые формулы с синусами и косинусами. Например, если взять размер наблюдаемой Вселенной равным $~ 2,64 R_H$, то будет $~ \delta_U = \delta_0$ и гравитационное поле на границах Вселенной будет стремиться к нулю. Именно это и наблюдается в виде крупномасштабной ячеистой структуры из скоплений галактик. В качестве причины ослабления действия гравитации предполагается рассеяние гравитонов на частицах космической среды.

Другим экстремальным объектом является протон, в котором плотность массы во всём объёме меняется приблизительно в 1,5 раза. В результате протон в первом приближении является релятивистской однородной системой. Радиус $~ r_p$ протона порядка 0,873 фм, а средняя плотность порядка $~ \rho_p = 6 \cdot 10^{17}$ кг/м³. В качестве гравитационной постоянной на уровне атомов следует использовать постоянную сильной гравитации $~ G_s$. Оценка величины $~ \delta$ для протона при $~\eta \approx \frac {3}{5} G_s$ даёт: $~ \delta_p = \frac { r_p }{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_p} \approx 2,4 < \delta_0$ радиан. Это показывает, что протон является экстремальным объектом с точки зрения ослабления его гравитационного поля.

В статье приведён способ оценки фактора Лоренца движения вещества в центре протона, дающий $~ \gamma_c =1,9$. Кроме этого, оценивается радиус действия сильной гравитации в веществе с критической плотностью массы $~ \rho_c \approx 10^{-26}$ кг/м³ в наблюдаемой Вселенной: $~ r_G$ м. На больших масштабах во Вселенной работает уже не сильная, а обычная гравитация, имеющая радиус действия порядка Хаббловской длины.

Предположим, что $~ r_G$ соответствует радиусу некоторой чёрной дыры для сильной гравитации, вычисляемому по формуле Шварцшильда: $~ r_G = \frac {2 G_s m} {c^2}$ . Если масса $~ m = \frac {4 \pi \rho_c r^3_G} {3}$ , то для радиуса чёрной дыры с такой массой получается $~ r_G =c \sqrt {\frac {3}{8 \pi G_s \rho_c }} = 2,7 \cdot 10^6$ м, а масса $~ m = 8 \cdot 10^{-7}$ кг. Формула Шварцшильда допускает чёрную дыру для сильной гравитации при малой массе порядка массы протона, большой плотности массы и радиусе меньше радиуса протона. Кроме этого, подстановка в формулу Шварцшильда массы $~ m$ и радиуса $~ r_G$ формально соответствует чёрной дыре с большим радиусом и малой плотностью $~ \rho_c$ . Однако для внешнего наблюдателя такая чёрная дыра скорее соответствует не чёрной дыре, а объекту, содержащем сильно разрежённый водородный газ космического пространства. Точно также, Метагалактика с радиусом порядка $~ r_H$ и плотностью массы $~ \rho_c$ не является чёрной дырой, хотя и соответствует формуле Шварцшильда для обычной гравитации. Отсюда в соответствии с теорией бесконечной вложенности материи следует вывод — на каждом уровне материи соответствующая гравитация формирует только один тип самого компактного и стабильного объекта. Так, на уровне нуклонов под действием сильной гравитации возникает протон, а на уровне звёзд обычная гравитация порождает нейтронную звезду. Если умножить радиус нейтронной звезды на коэффициент подобия по размерам $~ P = 1,4 \cdot 10^{19}$, равный отношению радиуса звезды к радиусу протона, получится радиус порядка $1,7 \cdot 10^{23}$ м. Этот радиус должен соответствовать компактному объекту типа нейтронной звезды на уровне метагалактик, который может возникнуть под действием гравитации этого уровня материи. В первом приближении постоянная гравитации для метагалактик определяется с помощью теории подобия: $~ G_M =\frac {G P S^2} {\Phi} = 3 \cdot 10^{-50}$ м³•с^-2•кг^-1, где $~ S=0,23$ есть коэффициент подобия по скоростям, $~ \Phi = 1,62 \cdot 10^{57}$ есть коэффициент подобия по массе.

По аналогии со случаем протона, нейтронная звезда также рассматривается как релятивистская однородная система. Для звезды с массой 1,35 масс Солнца, радиусом $~ R_s = 12$ км и средней плотностью $~ \rho_s \approx 3,7 \cdot 10^{17}$ кг/м³ , при $~\eta \approx \frac {3}{5} G$ получается угол $~ \delta_s = \frac { R_s }{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_s} \approx 0,546$ радиан. С учётом этого, если подставить в (3) массу звезды вместо $~ m_b$ и радиус звезды вместо $~ a$, можно оценить фактор Лоренца в центре звезды: $~ \gamma_{cs} =1,04$. Это позволяет оценить температуру в центре звезды: $~ T_s \approx 2,8 \cdot 10^{11}$ К, что достаточно близко к расчётам температуры в центре только что образовавшейся звезды.

Таким образом, зависимости гравитационного поля внутри и снаружи тел в статье хорошо согласуются с выводами теории гравитации Лесажа, теории бесконечной вложенности материи, с сильной гравитацией на уровне нуклонов и с представлением о динамическом силовом поле в электрогравитационном вакууме.

Космологическая постоянная и скалярная кривизна

Согласно (6) за пределами тела, где 4-токи равны нулю, космологическая постоянная $~ \Lambda$ становится равной нулю. Кроме этого, становится равной нулю и скалярная кривизна $~ R$. Внутри тела выполняется соотношение $~ R= 2\Lambda$, так что в веществе с большей плотностью увеличиваются как скалярная кривизна, так и космологическая постоянная. Указанные величины могут быть вычислены с помощью (6) как усреднённые величины для типичных частиц физической системы. Для космического пространства приблизительно получается $~ \Lambda_0 \approx \frac {16 \pi G \rho_0}{c^2} \approx 10^{-52}$ м⁻², где средняя плотность массы $~ \rho_0 \approx 2,7 \cdot 10^{-27}$ кг/м³.

Аналогичная формула для протона даёт следующее: $~ \Lambda \approx \frac {16 \pi G \rho_p}{c^2} \approx 2,2 \cdot 10^{-8}$ м⁻². Однако для протона в расчётах должна использоваться постоянная сильной гравитации $~ G_s$. В таком случае находим: $~ \Lambda_p \approx \frac {16 \pi G_s \rho_p}{c^2} \approx 5,1 \cdot 10^{31}$ м⁻². Полученная величина почти на 84 порядка превышает значение космологической постоянной для космического пространства. Различие космологических постоянных для космического пространства и для протона связывается именно с процедурой усреднения: внутри протона космологическая постоянная велика, но в космическом пространстве вещество, содержащее протоны, нейтроны и электроны, сильно разрежено, пустота занимает основное место, так что усреднённая космологическая постоянная по всему пространству становится малой величиной. Таким образом решается один из парадоксов общей теории относительности, в котором космологическая постоянная связывается с нулевой энергией вакуума и потому должна быть очень велика, но фактически космологическая постоянная оказывается малой величиной.

Для релятивистской однородной системы с четырьмя действующими в ней полями среднее значение $~ \stackrel{-}{\Lambda }$ космологической постоянной в веществе постоянно и можно записать: $$~ -ck \stackrel{-}{\Lambda } = \frac {G \rho_0 c^2 \gamma_c}{\eta} \cos \left( \frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) - \frac {\rho^2_{0q} c^2 \gamma_c }{4 \pi \varepsilon_0 \eta \rho_0 }\cos \left( \frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) + \rho_0 \wp_c - \frac {\sigma\rho_0 c^2 \gamma_c }{\eta } .$$

Данное выражение можно упростить, если использовать скалярный потенциал гравитационного поля $~ \psi_a = - \frac {G m_g}{a}$ и скалярный потенциал электрического поля $~ \varphi_a = \frac {q_b }{4 \pi \varepsilon_0 a}$ на поверхности тела при $~ r=a$ : $$~ -ck \stackrel{-}{\Lambda } \approx \rho_0\psi_a - \frac {G m \rho_0 \gamma_c }{2 a } + \rho_0 c^2 \gamma_c + \rho_{0q} \varphi_a + \frac {q \rho_{0q} \gamma_c }{8 \pi \varepsilon_0 a } + \rho_0 \wp_c .$$

Теорема энергии поля

В релятивистской однородной системе известны точные значения напряжённостей и потенциалов всех действующих полей. Это позволяет проверить теорему энергии поля для такой системы и убедиться в справедливости теоремы. Указанная теорема объясняет в частности, почему электростатическую энергию можно вычислять либо через напряжённость поля, входящую в тензор электромагнитного поля, либо другим способом, через потенциал поля.

Кинетическая энергия и потенциальная энергия поля определяются следующим образом: $$~ E_{kf} = \int {A_\alpha j^\alpha \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 }.$$ $$~ W_f = \frac {1}{4 \mu_0 } \int { F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 }.$$

Если брать весь бесконечный объём и внутри и снаружи вещества системы, то а рамках специальной теории относительности и в отсутствие магнитных полей данные выражения упрощаются: $$~ E_{kf}= \int \rho_q \varphi_i dV \approx \frac {3 q^2 \gamma^2_c }{10 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {4 \eta m }{7 a c^2} \right).$$ $$~ W_{fi}= \int \limits^{a}_{r=0} \frac {c^2 \varepsilon_0}{4 } F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} dV \approx -\frac { q^2 \gamma^2_c }{40 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right).$$ $$~ W_{fo}= \int \limits^{\infty}_{r=a} \frac {c^2 \varepsilon_0}{4 } F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} dV \approx -\frac { q^2 \gamma^2_c }{8 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{5 a c^2} \right) .$$ $$~ W_f = W_{fi} + W_{fo} \approx -\frac { 3 q^2 \gamma^2_c }{20 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {4 \eta m }{7 a c^2} \right).$$

В силу теоремы энергии поля будет выполняться соотношение: $$~ E_{kf}+ 2 W_f = 0.$$

В общем случае тензорный инвариант выражается через квадрат напряжённости электрического поля и квадрат индукции магнитного поля: $~ F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}= - \frac {2}{c^2} (E^2 - c^2 B^2)$. Плотность энергии поля находится через временную компоненту тензора энергии-импульса: $~ W^{00} = \frac {1}{2} (\varepsilon_0 E^2 + \frac {1}{\mu_ 0} B^2)$. В электростатике, когда нет магнитных полей и $~ B = 0$, интеграл по объёму от тензорного инварианта становится пропорциональным интегралу по объёму от компоненты $~W^{00}$. В результате электростатическая энергия может быть вычислена разными способами: $$~ U_e= E_{kf}+ W_f \approx \frac { 3 q^2 \gamma^2_c }{20 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {4 \eta m }{7 a c^2} \right).$$

Кроме этого: $$~ U_e= - W_f = \frac {1}{2} E_{kf} = \int W^{00} dV.$$

Энергия связи

С помощью ковариантной теории гравитации вычисляются полная энергия, энергия связи, энергия полей, энергия давления и потенциальная энергия системы из частиц и четырёх полей в релятивистской однородной модели. Показывается заметное отличие полученных результатов от соотношений для простых систем в классической механике, в которых поля ускорений и поля давления не учитываются либо давление считается простой скалярной величиной. При этом инертная масса массивной системы оказывается меньше суммарной инертной массы частей системы.

Масса системы

В статье показывается, что релятивистская однородная система с непрерывным распределением вещества характеризуется пятью массами: калибровочная масса $~m'$ связана с космологической постоянной и представляет собой массу-энергию частиц вещества в 4-потенциалах полей системы; инертная масса $~M$; вспомогательная масса $~m$ равняется произведению плотности массы частиц на объём системы; масса $~m_b$ есть сумма инвариантных масс (масс покоя) частиц системы, равная по величине гравитационной массе $~m_g$. Соотношение для этих масс следующее: $$~m' < M < m < m_b = m_g .$$

Решение проблемы 4/3

Для электромагнитного и гравитационного полей проблема 4/3 заключается в неравенстве массы-энергии, извлечённой из энергии поля покоящегося тела, и массы-энергии, вытекающей из импульса поля движущегося тела. Если таким телом является релятивистская однородная система сферической формы, то масса-энергия, связанная с электростатической энергией системы, равна: $$~ m_f = \frac {E_e}{c^2} \approx \frac { 3 q^2 \gamma^2_c }{20 \pi \varepsilon_0 a c^2}.$$

Импульс электромагнитного поля движущейся сферы вычисляется через вектор Пойнтинга. Если $~ \gamma$ есть фактор Лоренца, а $~ v$ — скорость движения сферы, то импульс поля внутри и снаружи сферы, а также суммарный импульс равны: $$~ g_{pi} \approx \frac { \gamma q^2 \gamma^2_c v}{30 \pi \varepsilon_0 a c^2}.$$ $$~ g_{po} \approx \frac { \gamma q^2 \gamma^2_c v}{6 \pi \varepsilon_0 a c^2}.$$ $$~ g_p = g_{pi} + g_{po} \approx \frac { \gamma q^2 \gamma^2_c v }{5 \pi \varepsilon_0 a c^2}.$$

Отсюда находится масса-энергия, связанная с импульсом поля: $$~ m_p = \frac {g_p}{\gamma v} \approx \frac { q^2 \gamma^2_c }{5 \pi \varepsilon_0 a c^2}.$$

Для масс-энергий получается соотношение, описывающее проблему 4/3: $$~ m_p =\frac {4}{3} m_f .$$

Если рассматривать энергию и импульс электромагнитного поля только внутри сферы, или только за пределами сферы, для соответствующих масс-энергий получаются аналогичные соотношения.

Как указывается в статье, несовпадение масс-энергий является следствием того факта, что временные компоненты тензора энергии-импульса электромагнитного поля и их интегралы по объёму не составляют в совокупности какой-либо 4-вектор. В противоположность этому, 4-импульс системы является 4-вектором, так что одна и та же инертная масса входит и в энергию, и в импульс системы. С другой стороны, энергия и импульс электромагнитного поля входят лишь как составные части в энергию и импульс всей рассматриваемой системы, и потому сами по себе не обязаны составлять 4-вектор.

Чтобы получить 4-импульс системы, необходимо к энергии и импульсу электромагнитного поля добавить энергию и импульс других полей, действующих в системе. Кроме электромагнитного поля, в минимальный набор полей системы входят поле ускорений, поле давления и гравитационное поле, и потому необходимо учесть их энергию и импульс. При этом в рассматриваемом случае внутри сферы сумма энергий всех полей, находимых через тензорные инварианты и через тензоры энергии-импульса, обнуляется. Суммарный поток энергии и суммарный импульс полей внутри сферы также равны нулю, так что внутри сферы проблема 4/3 в применении к общему полю исчезает. Равенство нулю суммы энергий и суммы импульсов полей внутри сферы с хаотически движущимися частицами является следствием того, что частицы и поля имеют возможность обмениваться друг с другом энергией и импульсом. В результате вклад в релятивистскую энергию системы делают только энергии частиц в скалярных потенциалах полей, и энергии электромагнитного и гравитационного полей за пределами сферы.

Проблема 4/3 показывает в частности, почему энергию и импульс электрона и любого другого тела нельзя сводить лишь к действию собственного электромагнитного поля. Несмотря на то, что электрон имеет максимальный заряд на единицу массы и предельно заряжен, в веществе электрона действуют и другие поля, например сильная гравитация. Эти поля имеют свои собственные энергию и импульс, делающие свой вклад в 4-импульс электрона.

Связи между потенциалами полей

В статье была обнаружена связь скалярных потенциалов поля ускорений и поля давления в релятивистской однородной системе: $$~ \wp = \frac {\sigma (\vartheta -c^2)}{ \eta } = \frac {2 (\vartheta -c^2)}{ 3 }.$$

Кроме этого, было найдено релятивистское выражение для давления:

$p = \frac{2\rho c^2 (\gamma - 1) }{3}= \frac {2 \rho c^2 }{3} \left( \frac {1}{\sqrt {1- v^2/ c^2 }}-1 \right) \approx \frac {\rho v^2}{3},$

где $\rho$ — плотность движущегося вещества, $c$ — скорость света, $\gamma =\frac {1}{\sqrt {1- v^2/ c^2 }}$ — Лоренц-фактор.

В пределе малых скоростей это соотношение переходит в стандартную формулу молекулярно-кинетической теории.

Метрика внутри и снаружи системы

Стандартное выражение для квадрата интервала между двумя близкими друг к другу точками в метрических теориях имеет вид: $$ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x) \ dx^{\mu} \ dx^{\nu}.$$

В случае неподвижного тела в сферических координатах $x^0 = ct,$ $x^1 = r ,$ $x^2 = \theta ,$ $x^3 = \phi ,$ имеются четыре ненулевые компоненты метрического тензора: $g_{00},$ $g_{11},$ $g_{22},$ и $g_{33}= g_{22} \sin^2 \theta .$ В результате получается $$ds^2 \ = g_{00} c^2 dt^2 + g_{11} dr^2 + g_{22} d\theta^2 + g_{22} \sin^2 \theta d\phi^2.$$

Для компонент метрики внутри сферического тела в рамках релятивистской однородной модели было найдено $g_{22}= - r^2,$ а также $$(g_{00})_i = -\frac {1}{ (g_{11})_i } = 1+ \frac{ 8 \pi G \beta r^2 } {3c^4 }\left( \rho_0 c^2 \gamma_c + \rho_0 \psi_a - \frac {G m \rho_0 \gamma_c }{2a} + \rho_{0q} \varphi_a + \frac {q \rho_{0q}\gamma_c }{8\pi \varepsilon_0 a}+ \rho_0 \wp_c \right),$$

где $~ G$ – гравитационная постоянная; $~\beta$ – коэффициент порядка единицы, подлежащий определению; $~ r$ – радиальная координата; $~ c$ – скорость света; $~ \rho_0$ – инвариантная плотность массы частиц вещества, движущихся внутри сферы; $~ \gamma_c$ – фактор Лоренца движения частиц в центре сферы; $~ \psi_a = - \frac {G m_g}{a}$ – гравитационный потенциал на поверхности сферы с радиусом $~ a$ и гравитационной массой $~ m_g$; величины $~ m = \frac {4 \pi a^3 \rho_0}{3}$ и $~ q = \frac {4 \pi a^3 \rho_{0q}}{3}$ являются вспомогательными величинами; $~ \rho_{0q}$ – инвариантная плотность зaряда частиц вещества, движущихся внутри сферы; $~ \varphi_a = \frac {q_b}{4\pi \varepsilon_0 a}$ – электрический потенциал на поверхности сферы с электрическим зарядом сферы $~ q_b$; $~ \wp_c$ – потенциал поля давления в центре сферы.

На поверхности тела при $~ r = a$ компонента $~ (g_{00})_i$ метрического тензора внутри тела должна равняться компоненте $~ (g_{00})_o$ метрического тензора за пределами тела. Это позволяет уточнить выражение для компонент метрического тензора за пределами тела, исключив один из двух ранее неизвестных коэффициентов: $$~ (g_{00})_o = -\frac {1}{ (g_{11})_o } = 1+ \frac {2G m \gamma_c \beta }{c^2 r} + \frac{ 2 G \beta } {c^4 r}\left( m \psi_a + \frac {1}{2} m_g (\psi - \psi_a ) - \frac {G m^2 \gamma_c }{2a} + q \varphi_a + \frac {1}{2} q_b (\varphi - \varphi_a ) + \frac {q^2 \gamma_c }{8\pi \varepsilon_0 a} + m \wp_c \right),$$

где $~ \psi = - \frac {G m_g}{r}$ – гравитационный потенциал за пределами сферы; $~ \varphi = \frac {q_b}{4\pi \varepsilon_0 r}$ – электрический потенциал за пределами сферы.

Обобщённый 4-импульс и общий 4-импульс системы

В статье были найдены формулы для вычисления обобщённого 4-импульса физической системы в искривлённом пространстве-времени с учётом вклада от частиц и полей системы. Было также получено дифференциальное четырёхмерное уравнение Эйлера-Лагранжа для непрерывно распределённого вещества. Как формулы для обобщённого 4-импульса, так и уравнение Эйлера-Лагранжа удовлетворяются в релятивистской однородной системе. В статье были выведены ковариантные формулы для релятивистского 4-импульса физической системы, которые также были проверены в релятивистской однородной системе. Было показано, что 4-импульс выражается суммой двух 4-векторов интегрального типа с ковариантными индексами, один из этих 4-векторов есть обобщённый 4-импульс системы, а другой 4-вектор описывает 4-импульс полей системы. Дополнительно были рассмотрены проблема 4/3 и интерпретация интегрального вектора, находимого путём интегрирования по объёму временных компонент тензора энергии-импульса системы. То, что интегральный вектор не может быть 4-импульсом системы, как это предполагается в общей теории относительности. подтверждается прямым расчётом и следует из того, что из компонент тензора нельзя получить 4-вектор. Аналогично, интеграл по объёму от временных компонент тензора энергии-импульса электромагнитного поля даёт не 4-импульс электромагнитного поля, а интегральный вектор, не являющийся 4-вектором. Как следствие, массы-энергии, содержащиеся в компонентах интегрального вектора, не равны друг другу, и соотносятся в пропорции 4/3.

См. также

• Инвариантная энергия
• Общее поле
• Поле ускорений
• Поле давления
• Гравитационное поле
• Электромагнитное поле
• Ковариантная теория гравитации
• Энергия
• Теорема энергии поля

Внешние ссылки

Relativistic uniform system