Теория катастроф (математика)

Теория катастроф — в математике раздел теории бифуркаций, занимающийся изучением динамических систем. В геометрии теория катастроф также является особым случаем более общей теории сингулярностей. Теория катастроф затрагивает специальные случаи, в которых длительное устойчивое равновесие может быть описано при помощи хорошо определённых потенциальных функций Ляпунова. Термины «катастрофа» и «теория катастроф» были введены Р. Томом и К. Зиманом в конце 1960-х — начале 1970-х годов («катастрофа» в данном контексте означает резкое качественное изменение объекта при плавном изменении параметров, от которых он зависит). Одной из главных задач теории катастроф является получение так называемой нормальной формы исследуемого объекта (дифференциального уравнения или отображения) в окрестности «точки катастрофы» и построенная на этой основе классификация объектов.

Теория бифуркаций изучает и классифицирует явления, характеризуемые внезапными изменениями в поведении, которые были вызваны незначительными изменениями во внешних условиях. Эта теория анализирует то, как качественная природа решений уравнений зависит от параметров, которые входят в уравнения. Такие изменения могут приводить к внезапным и резким изменениям, например к непредсказуемому времени и магнитуде оползня.

Малые изменения значений некоторых параметров нелинейных систем влияют на то, что равновесие появляется или исчезает, либо меняет свой тип с устойчивого на неустойчивое и наоборот, что, в свою очередь, приводит к глобальным и резким изменениям в поведении системы. Однако при рассмотрении больших фазовых пространств теория катастроф открывает то, что такие точки бифуркаций стремятся проявиться как хорошо определённые количественные геометрические структуры.

Как философскую основу теории катастроф следует вспомнить концепцию «перехода количественных изменений в качественные».

ИсторияПравить

Первые фундаментальные результаты в области динамических систем, относящиеся к теории катастроф, принадлежат А. Пуанкаре (метод нормальных форм в теории дифференциальных уравнений) и А. А. Андронову (бифуркации динамических систем). Основы теории особенностей гладких осображений были заложены прежде всего в трудах американского тополога Хасслера Уитни (Hassler Whitney) в 1940-х — 1950-х гг., которым предшествовала лемма Морса о нормальной форме функции о окрестности невырожденной критической точки.

В своём современном виде теория катастроф основана на работах французского математика, филдсовского лауреата 1958 года Рене Тома (René Thom) в 1960х. Широкую популярность идеи Уитни и Тома приобрели в 1970-х, благодаря работам Кристофера Зеемана (en:Christopher Zeeman) в 1970-ых. Зиман сравнивая её значение с изобретением математического анализа и говорил о «революции в математике». Затем последовало бурное развитие теории катастроф, которое в 1970-е — 1990-е годы было связано прежде всего с деятельностью В. И. Арнольда и его учеников (А. Н. Варченко, В. А. Васильев, А. Б. Гивенталь, В. В. Горюнов, С. М. Гусейн-Заде, А. А. Давыдов, В. М. Закалюкин, В. Д. Седых и др.), а также с работами Дж. Боардмана, Е. Брискорна, Дж. Брюса, Дж. Мазера, Б. Мальгранжа, Т. Волла.

Элементарные катастрофы по Р. ТомуПравить

Теория катастроф анализирует критические точки (репетиции) потенциальной функции, то есть точки, где не только первая производная функции равна нулю, но и равны нулю же производные более высокого порядка. Динамика развития таких точек может быть изучена при помощи разложения потенциальной функции в рядах Тейлора посредством малых изменений входных параметров.

Если точки роста складываются не просто в случайный узор, но формируют структурированную область стабильности, эти точки существуют как организующие центры для особых геометрических структур с низким уровнем катастрофичности с высоким уровнем катастрофичности в окружающих их областях фазового пространства. Если потенциальная функция зависит от трёх или меньшего числа активных переменных, и пяти или менее активных параметров, то в этом случае существует всего семь обобщённых структур описанных геометрий бифуркаций, которым можно приписать стандартные формы разложений в ряды Тейлора, в которые можно разложить репетиции при помощи диффеоморфизма (гладкой трансформации, обращение которой также гладко). Сегодня эти семь фундаментальных типов известны под именами, которые им дал Рене Том.

Потенциальные функции с одной активной переменнойПравить

Катастрофа типа «Свёртка» («Складка»)Править

Файл:Fold bifurcation.svg

V = x^3 + ax

При отрицательных значениях параметра $a$ , потенциальная функция имеет два экстремума — один стабильный (устойчивое равновесие) и один нестабильный (неустойчивое равновесие). Если параметр $a$ медленно изменяется, система может находиться в точке стабильного минимума. Но если $a = 0$ , стабильные и нестабильный экстремумы встречаются и аннигилируют. Это — точка бифуркации. При $a > 0$ не существует стабильного решения.

Если физическая система проходит через точку бифуркации типа «свёртка», и поэтому параметр $a$ достигает значения $0$ , стабильность решения при $a < 0$ внезапно теряется, и система может осуществить внезапный переход в новое, весьма отличное от предыдущего состояние. Это бифуркационное значение параметра $a$ иногда называется «точкой фиксации».

Катастрофа с точкой возвратаПравить

V = x^4 + ax^2 + bx

Файл:Cusp catastrophe.svg
Файл:Pitchfork bifurcation left.svg	Файл:Cusp shape.svg

Геометрия точек возврата весьма обычна, когда производится изучение того, что происходит с бифуркациями типа «свёртка» при добавлении в управляющее пространство нового параметра $b$ . Изменяя параметры, можно найти, что имеется кривая (синяя) точек в пространстве $(a, b)$ , на которой теряется стабильность, то есть на этой кривой стабильное решение может внезапно «перепрыгнуть» на альтернативное значение (также стабильное).

Но в геометрии точек возврата кривая бифуркаций заворачивает назад, создавая вторую ветвь, на которой уже это второе решение теряет стабильность, а потому может совершить «прыжок» назад на исходное множество решений. При повторном увеличении значения параметра $b$ и последующем уменьшении его, можно наблюдать гистерезис в поведении петель, поскольку система следует по одному решению, «перепрыгивает» на другое, следует по нему и «перепрыгивает» назад на исходное.

Однако это возможно только в области в параметрическом пространстве при $a < 0$ . Если значение параметра $a$ увеличивается, петли гистерезиса становятся меньше и меньше, пока значение $a$ не достигнет $0$ . В этой точке петли исчезают (катастрофа с точкой возврата), и появляется только одно стабильное решение.

Также можно рассмотреть процесс изменения параметра $a$ при неизменном значении $b$ . В симметричном случае при $b = 0$ можно наблюдать бифуркацию типа «вилы» при уменьшающемся значении параметра $a$ одно стабильное решение внезапно разделяется на два стабильных решения и одно нестабильное. В это время физическая система проходит в область $a < 0$ через точку возврата $(a = 0, b = 0)$ (это — пример спонтанного нарушения симметрии). Вдали от точки возврата не существует внезапных изменений в физической системе, поскольку при прохождении по кривой бифуркации свёртки происходит только то, что становится доступным второе альтернативное решение.

Одно из наиболее интересных предложений по использованию катастрофы с точкой возврата заключается в том, что этот тип катастрофы можно использовать для моделирования поведения собаки, которая в ответ на внешнее воздействие может испугаться или обозлиться. Предложение заключается в том, что при умеренном воздействии ( $a > 0$ ) собака будет проявлять плавное изменение отклика с испуга на злость в зависимости от того, как было проведено воздействие. Но более высокий уровень воздействия — это стресс, соответствующий переходу в область $a < 0$ . В этом случае если собака изначально испугалась, она останется испуганной при увеличении уровня воздействия на неё, пока в конечном итоге она не достигнет точки возврата, где произойдёт спонтанный переход в режим злобы. При переходе в этот режим собака будет оставаться озлобленной даже в случае постепенного снижения воздействия на неё.

Другой пример прикладного применения катастрофы с точкой возврата заключается в моделировании поведения электрона при перемещении с одного энергетического уровня на другой, что часто наблюдается в химических и биологических системах. Это указывает на то, что бифуркации рассмотренного типа и геометрия точек возврата является наиболее важной практической частью теории катастроф. Это — шаблоны, которые проявляются вновь и вновь в физике, инженерии и математическом моделировании.

Оставшиеся простые геометрии катастроф являются более специализированными по сравнению с только что рассмотренной, а потому проявляются только в некоторых отдельных случаях.

Катастрофа типа «Ласточкин хвост»Править

V = x^5 + ax^3 + bx^2 + cx

Управляющее пространство в данном типа катастроф является трёхмерным. Каскад бифуркаций в фазовом пространстве состоит из трёх поверхностей бифуркаций типа «свёртки», которые встречаются на двух кривых бифуркаций с точками возврата, которые в конечном итоге встречаются в одной точке, представляющей собой бифуркацию типа «ласточкин хвост».

По мере прохождения значений параметров по поверхностям областей бифуркаций типа «свёртка» пропадает один минимум и один максимум потенциальной функции. В области бифуркаций с точкой возврата два минимума и один максимум замещаются одним минимумом; за ними бифуркации типа «свёртка» исчезают. В точке ласточкиного хвоста два минимума и два максимума встречаются в одном значении переменной $x$ . Для значений $a > 0$ за ласточкиным хвостом существует либо одна пара (минимум, максимум), либо не существует вообще никаких бифуркаций. Это зависит от значений параметров $b$ и $c$ . Две поверхности бифуркаций типа «свёртка» и две линии бифуркаций с точками возврата встречаются при $a < 0$ , а потому исчезают в самой точке ласточкиного хвоста, заменяясь одной поверхностью бифуркаций типа «свёртка». Последняя картина Сальвадора Дали под названием «Ласточкин хвост» создана под влиянием этого типа катастроф.

Катастрофа типа «Бабочка»Править

V = x^6 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx

В зависимости от значений параметров потенциальная функция может иметь три, два или один локальный минимум, причём все минимумы разделены областями с бифуркациями типа «свёртка». В точке с поэтичным наименованием «бабочка» встречаются три различные пространства (трёхмерных плоскости) таких бифуркаций типа «свёртка», две поверхности бифуркаций с точками возврата и кривая бифуркаций типа «ласточкин хвост». Все эти бифуркации пропадают в одной точке и преобразуются в простую структуру с точкой возврата тогда, когда значение параметра $a$ становится положительным.

Потенциальные функции с двумя активными переменнымиПравить

Омбилические катастрофы являются примерами катастроф второго порядка. Они, к примеру, могут наблюдаться в оптике при отражении света от трёхмерных поверхностей. Сами по себе такие катастрофы тесно связаны с геометрией почти сферических поверхностей.

Рене Том предложил рассматривать гиперболическую омбилическую катастрофу как разрушение волны, а эллиптическую омбилическую катастрофу как процесс создания структур, похожих на волосяной покров.

Гиперболическая омбиликаПравить

V = x^3 + y^3 + axy + bx + cy

Эллиптическая омбиликаПравить

V = x^3/3 - xy^2 + a(x^2+y^2) + bx + cy

Параболическая омбиликаПравить

V = x^2y + y^4 + ax^2 + by^2 + cx + dy

Нотация АрнольдаПравить

Владимир Игоревич Арнольд классифицировал катастрофы в связи с их тесной связью с простыми группами Ли.

$A_0$ — несингулярная точка: $V = x$ .
$A_1$ — локальный экстремум: либо стабильный минимум, либо нестабильный максимум, $V = \pm x^2 + ax$ .
$A_2$ — свёртка.
$A_3$ — точка возврата.
$A_4$ — ласточкин хвост.
$A_5$ — бабочка.
$A_k$ — бесконечная последовательность с одной переменной вида $V = x^{k + 1} + \cdots$ .
$D_4^-$ — эллиптическая омбилика.
$D_4^+$ — гиперболическая омбилика.
$D_5$ — параболическая омбилика.
$D_k$ — бесконечная последовательность последующих омбилик.
$E_6$ — символическая омбилика вида $V = x^3 + y^4 + axy^2 + bxy + cx + dy$ .
$E_7$ — .
$E_8$ — .

В теории сингулярностей существуют объекты, которые соответствуют другим простым группам Ли.

Применения теории катастрофПравить

Создание и развитие этой части математического анализа было связано с широками возможностями наглядного анализа некоторых сложных явлений, особенно тех, которые встречаются при описании самых разных естественных явлений (радуга, каустика, устойчивость сложных систем, колебания и разрушение в строительной механике, поведение в этологии, и даже бунты в тюрьмах).

В конце ХХ века математический аппарат теории катастроф широко использовался для качественного и полуколичественного анализа поведения сложных систем, среди которых можно выделить следующие:

Применение теории катастроф в физике и химииПравить

Теория катастроф в геометрической оптике (каустика, сборки при отражении света, принцип Ферма, прохождение лазерного луча через неоднородную каплю, сферическая аберрация, мираж, отражение света от кристаллов
Задача о выпучивании упругого стержня, метод Рэлея-Ритца
Фазовые переходы, теория Ландау фазовых переходов второго рода, термодинамический потенциал, параметр порядка, трикритический потенциал, трикритическая точка, мультикритические явления.

МетеорологияПравить

Гигантские океанские волны, их каустики и сборки.

Применения в экономикеПравить

Применения в экологииПравить

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

На русском языкеПравить

Арнольд В. И. Теория катастроф. — 3-е издание, — М.: Наука, 1990, 128 стр. ISBN 978-5-354-01142-1
Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: Пер с англ. Кн. 1, 2. — М.: 1984
Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности, — М.: Мир, 1977
Дубов Ю. А. Теория катастроф. — М.: Вагриус, 2005, 192 стр. ISBN 5-9697-0037-1
Маневич Л. И. О теории катастроф / Соросовский образовательный журнал, т. 6, № 7, 2000
Острейковский В. А. Анализ устойчивости и управляемости динамических систем методами теории катастроф. М.: Высшая школа, 2005, 328 стр. ISBN 5-06-004610-9
Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и её приложения. — М.: Мир, 1980, 607 стр.
Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей, — М.: Мир, 1988
Том Р. Структурная устойчивость и морфогенез, — М.: Логос, 2002

На иностранных языкахПравить

René Thom, Stabilité structurelle et morphogénèse, Interédition, Paris, 1977
René Thom, Paraboles et catastrophes, Éd. Champs Flammarion n°186, 1983
René Thom, Prédire n’est pas expliquer, Éd. Champs Flammarion n°288, 1993
Arnol’d, Vladimir Igorevich. Catastrophe Theory, 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1992.
Gilmore, Robert. Catastrophe Theory for Scientists and Engineers. New York: Dover, 1993.
Postle, Denis. Catastrophe Theory — Predict and avoid personal disasters. Fontana Paperbacks 1980. ISBN 0-00-635559-5
Poston, T. and Stewart, Ian. Catastrophe: Theory and Its Applications. New York: Dover, 1998. ISBN 0-486-69271-X.
Sanns, Werner. Catastrophe Theory with Mathematica: A Geometric Approach. Germany: DAV, 2000.
Saunders, Peter Timothy. An Introduction to Catastrophe Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1980.
Thom, René. Structural Stability and Morphogenesis: An Outline of a General Theory of Models. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989. ISBN 0-201-09419-3.
Thompson, J. Michael T. Instabilities and Catastrophes in Science and Engineering. New York: Wiley, 1982.
Woodcock, Alexander Edward Richard and Davis, Monte. Catastrophe Theory. New York: E. P. Dutton, 1978. ISBN 0525078126.
Zeeman, E.C. Catastrophe Theory-Selected Papers 1972—1977. Reading, MA: Addison-Wesley, 1977.

Внешние ссылкиПравить

Д. В. Аносов. О развитии теории динамических систем за последнюю четверть века.