Тензор энергии-импульса поля диссипации

Тензор энергии-импульса поля диссипации — симметричный четырёхмерный тензор второй валентности (ранга), описывающий плотность и поток энергии и импульса поля диссипации в веществе. Данный тензор в ковариантной теории гравитации входит в уравнение для определения метрики, наравне с тензором энергии-импульса гравитационного поля, с тензором энергии-импульса поля ускорений, с тензором энергии-импульса поля давления, и с аналогичным тензором электромагнитного поля. Ковариантная производная тензора энергии-импульса поля диссипации задаёт плотность силы диссипации, действующей в веществе и тормозящей движение потоков вещества друг относительно друга.

Тензор энергии-импульса поля диссипации является релятивистским обобщением трёхмерного тензора вязких напряжений, используемого в гидродинамике.

Гидродинамика

Для релятивистского описания уравнения движения вязкой и теплопроводной среды в книге используется четырёхмерный тензор вязких напряжений: $$~ \tau_{ik} = - \eta \left( \frac {\partial u_i} {\partial x^k}+ \frac {\partial u_k} {\partial x^i}- \frac{1} {c^2 }u_k u^n \frac {\partial u_i} {\partial x^n} - \frac{1} {c^2 }u_i u^n \frac {\partial u_k} {\partial x^n} \right) - \left( \xi- \frac {2}{3}\eta \right) \frac {\partial u_n} {\partial x^n} \left( g_{ik}- \frac{1} {c^2 }u_i u_k \right),$$

где $~ \eta$ – коэффициент динамической вязкости, $~ u^i$ – 4-скорость с контравариантным индексом, $~ u_k$ – 4-скорость с ковариантным индексом, $~ \xi$ – коэффициент второй (объёмной) вязкости, $~ g_{ik}$ – метрический тензор, $~ c$ – скорость света.

Вид тензора находится из требований, налагаемых законом возрастания энтропии. Данный тензор определяется таким образом, что в системе отсчёта, в которой движущийся элемент вещества покоится, компоненты тензора $~ \tau_{00}$ и $~ \tau_{0i }$ обнуляются. Это означает, что энергия элемента вещества в сопутствующей системе отсчёта должна вычисляться через другие физические переменные, не связанные с вязкостью, как в случае отсутствия диссипативных процессов. В результате на тензор накладывается условие: $$~ \tau_{ik} u^k =0.$$

Тензор $~ \tau_{ik}$ включатся в состав тензора энергии-импульса вещества с давлением $~ p$ и учитывает в нём вязкость: $$~ T_{ik} = p g_{ik}+ w u_i u_k +\tau_{ik} ,$$ здесь $~ w = e+p$, $~ e$ – собственная плотность энергии вещества без учёта давления.

Уравнение движения вещества с давлением и вязкостью получается из равенства нулю ковариантной производной тензора энергии-импульса вещества: $$~ \frac {\partial T^k_i} {\partial x^k}=0.$$

Существенным недостатком тензора $~ \tau_{ik}$ является то, что он не выводится из принципа наименьшего действия и потому не может использоваться, например, для вычисления метрики в системе. Кроме этого, в общем случае компоненты тензора $~ \tau_{00}$ и $~ \tau_{0i }$ не могут обнуляться в сопутствующей системе отсчёта, поскольку при этом окружающая среда движется относительно рассматриваемого элемента вещества и процесс диссипации энергии не прекращается.

Ковариантная теория гравитации

Определение

В ковариантной теории гравитации (КТГ) поле диссипации считается 4-векторным полем, состоящим из скалярной и 3-векторной компонент, и является компонентой общего поля. В КТГ тензор энергии-импульса поля диссипации определяется через тензор поля диссипации $~h_{ik}$ и метрический тензор $~ g^{ik}$ из принципа наименьшего действия: $$~ Q^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi \tau } \left( - g^{im} h_{nm} h^{nk}+ \frac {1} {4} g^{ik}h_{mr}h^{mr}\right) ,$$

где $~ \tau$ – постоянная, имеющая своё собственное значение в каждой задаче. То, что $~ \tau$ не определена однозначно, является следствием того факта, что диссипация энергии внутри жидких сред может быть вызвана действием любых причин и сил как внутреннего, так и внешнего характера.

Компоненты тензора энергии-импульса поля диссипации

В пределе слабого поля, когда метрика пространства-времени переходит в метрику пространства Минковского специальной теории относительности, метрический тензор $~ g^{ik}$ переходит в тензор $~ \eta^{ik}$, состоящий из чисел 0, 1, –1. В этом случае вид тензора энергии-импульса поля диссипации существенно упрощается и его можно выразить через компоненты тензора поля диссипации, то есть через напряжённость поля диссипации $~\mathbf{ X}$ и соленоидальный вектор $~\mathbf{Y}$ : $$~ Q^{ik} = \begin{vmatrix} \varepsilon_d & \frac {Z_x}{c} & \frac {Z_y}{c} & \frac {Z_z}{c} \\ c P_{dx} & \varepsilon_d - \frac{X^2_x+c^2 Y^2_x}{4\pi \tau } & -\frac{X_x X_y+c^2 Y_x Y_y }{4\pi\tau } & -\frac{X_x X_z+c^2 Y_x Y_z }{4\pi\tau } \\ c P_{dy} & -\frac{X_x X_y+c^2 Y_x Y_y }{4\pi\tau } & \varepsilon_d -\frac{X^2_y+c^2 Y^2_y }{4\pi\tau } & -\frac{X_y X_z+c^2 Y_y Y_z }{4\pi\tau } \\ c P_{dz} & -\frac{X_x X_z+c^2 Y_x Y_z }{4\pi\tau } & -\frac{X_y X_z+c^2 Y_y Y_z }{4\pi\tau } & \varepsilon_d -\frac{X^2_z+c^2 Y^2_z }{4\pi\tau } \end{vmatrix}.$$

Временные компоненты тензора обозначают:

1) объёмная плотность энергии поля диссипации $$~ Q^{00} = \varepsilon_d = \frac{1}{8 \pi \tau }\left(X^2+ c^2 Y^2 \right).$$

2) вектор плотности импульса поля диссипации $~\mathbf{P_d} =\frac{ 1}{ c^2} \mathbf{Z},$ где вектор плотности потока энергии поля диссипации: $$~\mathbf{Z} = \frac{ c^2 }{4 \pi \tau }[\mathbf{X}\times \mathbf{Y}].$$

Компоненты вектора $~\mathbf{Z}$ входят в соответствующие компоненты тензора $Q^{01}, Q^{02}, Q^{03}$, а компоненты вектора $~\mathbf{P_d}$ – в компоненты тензора $Q^{10}, Q^{20}, Q^{30}$, при этом вследствие симметрии тензора по индексам $Q^{01}= Q^{10}, Q^{02}= Q^{20}, Q^{03}= Q^{30}$.

3) Пространственные компоненты тензора образуют 3 x 3 подматрицу, являющуюся 3-мерным тензором плотности потока импульса поля, или тензором напряжений поля диссипации, взятым со знаком минус. Тензор напряжений можно записать в следующем виде: $$~ \sigma^{p q} = \frac {1}{4 \pi \tau } \left( X^p X^q + c^2 Y^p Y^q - \frac {1}{2} \delta^{pq} (X^2 + c^2 Y^2 ) \right) ,$$

где $p,q =1,2,3,$ компоненты $X^1=X_x,$ $X^2=X_y,$ $X^3=X_z,$ $Y^1=Y_x,$ $Y^2=Y_y,$ $Y^3=Y_z,$ символ Кронекера $\delta^{pq}$ равен 1 при $p=q,$ и равен нулю при $p \not=q.$

Трёхмерная дивергенция тензора напряжений поля диссипации связывает плотность силы диссипации и скорость изменения плотности импульса поля диссипации: $$~ \partial_q \sigma^{p q} = f^p +\frac {1}{c^2} \frac{ \partial Z^p}{\partial t},$$ где $~ f^p$ обозначают компоненты трёхмерной плотности силы диссипации, $~ Z^p$ – компоненты вектора плотности потока энергии поля диссипации.

Cила диссипации и уравнения поля диссипации

Из принципа наименьшего действия следует, что 4-вектор плотности силы диссипации $~ f^\alpha$ может быть найден через тензор энергии-импульса поля диссипации, либо через произведение тензора поля диссипации и массового 4-тока: $$~ f^\alpha = -\nabla_\beta Q^{\alpha \beta} = {h^\alpha}_{i} J^i . \qquad (1)$$

Соотношение (1) тесно связано с уравнениями поля диссипации: $$~ \nabla_n h_{ik} + \nabla_i h_{kn} + \nabla_k h_{ni}=0,$$ $$~\nabla_k h^{ik} = -\frac {4 \pi \tau }{c^2} J^i .$$

В рамках специальной теории относительности согласно (1) для компонент плотности 4-силы диссипации можно записать: $$~ f^\alpha = (\frac {\mathbf{X} \cdot \mathbf{J} }{c}, \mathbf{f} ),$$ где $~ \mathbf{f}= \rho \mathbf{X} + [\mathbf{J} \times \mathbf{Y} ]$ – 3-вектор плотности силы диссипации, $~\rho$ – плотность движущегося вещества, $~\mathbf{J} =\rho \mathbf{v}$ – 3-вектор плотности массового тока, $~\mathbf{v}$ – 3-вектор скорости движения элемента вещества.

В пространстве Минковского уравнения поля диссипации преобразуются в 4 уравнения для напряжённости поля диссипации $~\mathbf{ X}$ и соленоидального вектора $~\mathbf{Y}$ : $$~\nabla \cdot \mathbf{ X} = 4 \pi \tau \rho,$$ $$~\nabla \times \mathbf{ Y} = \frac {1 }{c^2}\frac{\partial \mathbf{ X}}{\partial t}+\frac {4 \pi \tau \rho \mathbf{ v}}{c^2},$$ $$~\nabla \cdot \mathbf{ Y} = 0,$$ $$~\nabla \times \mathbf{ X} = - \frac{\partial \mathbf{ Y}}{\partial t}.$$

Уравнение для метрики

В ковариантной теории гравитации тензор энергии-импульса поля диссипации в соответствии с принципами метрической теории относительности является одним из тензоров, определяющих метрику внутри тел посредством уравнения для метрики: $$~ R_{ik} - \frac{1} {4 }g_{ik}R = \frac{8 \pi G \beta }{ c^4} \left( B_{ik}+ P_{ik}+ U_{ik}+ W_{ik} + Q_{ik} \right),$$

где $~ \beta$ – коэффициент, подлежащий определению, $~ B_{ik}$, $~ P_{ik}$, $~ U_{ik}$, $~ W_{ik}$, $~ Q_{ik}$ – соответственно тензоры плотности энергии-импульса поля ускорений, поля давления, гравитационного и электромагнитного полей, поля диссипации, $~ G$ – гравитационная постоянная.

Уравнение движения

Уравнение движения точечной частицы внутри или за пределами вещества может быть представлено в тензорном виде, с участием тензора энергии-импульса диссипации $Q^{ik}$ или тензора поля диссипации $h_{nk}$ : $$~ - \nabla_k \left( B^{ik}+ U^{ik} +W^{ik}+ P^{ik}+ Q^{ik} \right) = g^{in}\left(u_{nk} J^k + \Phi_{nk} J^k + F_{nk} j^k + f_{nk} J^k + h_{nk} J^k \right) =0. \qquad (2)$$

где $~ u_{nk}$ – тензор ускорений, $~ \Phi_{nk}$ – тензор гравитационного поля, $~F_{nk}$ – тензор электромагнитного поля, $~ f_{nk}$ – тензор поля давления, $~ h_{nk}$ – тензор поля диссипации, $~j^k = \rho_{0q} u^k$ – зарядовый 4-ток, $~\rho_{0q}$ – плотность электрического заряда элемента вещества в системе его покоя, $~ u^k$ – 4-скорость.

Временная компонента уравнения (2) при $~ i=0$ описывает изменение энергии, а пространственная компонента при $~ i=1{,}2{,}3$ связывает ускорение с плотностями действующих сил.

Законы сохранения

Временную компоненту в (2) можно рассматривать как локальный закон сохранения энергии-импульса. В пределе специальной теории относительности, когда ковариантная производная становится 4-градиентом, а символы Кристоффеля обращаются в нуль, этот закон сохранения приобретает простой вид: $$~ \nabla \cdot (\mathbf{ K }+ \mathbf{H}+\mathbf{P} + \mathbf{F}+ \mathbf{Z} ) = -\frac{\partial (B^{00}+U^{00}+W^{00} +P^{00}+Q^{00} )}{\partial t},$$

где $~ \mathbf{K}$ – вектор плотности потока энергии поля ускорений, $~ \mathbf{H}$ – вектор Хевисайда, $~ \mathbf{P}$ – вектор Пойнтинга, $~ \mathbf{F}$ – вектор плотности потока энергии поля давления, $~ \mathbf{ Z}$ – вектор плотности потока энергии поля диссипации.

Согласно данному закону, работа поля по ускорению масс и зарядов компенсируется работой вещества по созданию поля. В результате изменение во времени суммы тензорных компонент с плотностью энергии в некотором объёме возможно только за счёт втекания в этот объём потоков энергии.

Интегральная форма закона сохранения энергии-импульса получается путём интегрирования уравнения (2) по всему 4-объёму, чтобы учесть энергию-импульс гравитационного и электромагнитного полей, простирающихся далеко за пределы рассматриваемой физической системы. При интегрировании (2) применяется формула Гаусса-Остроградского, которая заменяет интегрирование дивергенции суммы тензоров по 4-объёму на интегрирование суммы временных компонент тензоров по 3-объёму. В результате в лоренцевых координатах получается интегральный вектор, равный нулю: $$~ \mathbb{Q}^i= \int{ \left( B^{i0}+ U^{i0} +W^{i0} +P^{i0} + Q^{i0} \right) dV }.$$

Равенство нулю интегрального вектора позволяет объяснить проблему 4/3, согласно которой масса-энергия поля в импульсе поля движущейся системы в 4/3 больше, чем в энергии поля неподвижной системы. С другой стороны, согласно обобщённая теорема Пойнтинга и интегральный вектор должны рассматриваться по разному в веществе и за его пределами. В результате возникновение проблемы 4/3 связывается с тем, что временные компоненты тензоров энергии-импульса не образуют 4-векторы и потому принципиально не могут задавать одну и ту же массу в энергии и в импульсе полей.

См. также

• Тензор энергии-импульса гравитационного поля
• Тензор энергии-импульса электромагнитного поля
• Тензор энергии-импульса поля ускорений
• Тензор энергии-импульса поля давления
• Тензор поля диссипации
• Тензор вязких напряжений
• Общее поле
• Поле диссипации
• Поле ускорений
• Поле давления

Внешние ссылки

• Dissipation stress-energy tensor