Традиция

Тензор энергии-импульса поля давления

Тензор энергии-импульса поля давления — симметричный четырёхмерный тензор второй валентности (ранга), описывающий плотность энергии и плотность потока энергии поля давления в веществе. Данный тензор в ковариантной теории гравитации входит в уравнение для определения метрики наравне с тензором энергии-импульса гравитационного поля, с тензором энергии-импульса поля ускорений, с тензором энергии-импульса поля диссипации, и с аналогичным тензором электромагнитного поля. Ковариантная производная тензора энергии-импульса поля давления задаёт плотность силы давления, действующей в веществе.

Тензор энергии-импульса поля давления является релятивистским обобщением трёхмерного тензора напряжений, используемого в механике сплошных сред. В отличие от тензора напряжений, который применяется обычно для описания относительных напряжений, появляющихся при деформациях тел, тензор энергии-импульса поля давления описывает любые внутренние напряжения, в том числе и в отсутствие деформации тел от внешних воздействий.

Механика сплошных средПравить

Существование различных вариантов тензора энергии-импульса давления показывает отсутствие какого-то однозначного определения этого тензора. Кроме 4-скорости, плотности и давления, в данный тензор часто добавляют функцию с заданными свойствами такими, чтобы тензор мог описывать энергию и напряжения в веществе. Произвол выбора подобной функции связан с тем, что когда полагают давление простой скалярной функцией, то возникает необходимость восполнить векторные свойства сил давления какой-то дополнительной функцией.

Примеры тензоровПравить

Для вещества, находящегося в равновесии при однородном давлении, простейший тензор энергии-импульса давления в метрике (+ – – –) записывается так:  Pik=pc2uiuk−gikp,~ P^{ik} = \frac{p} {c^2 }u^i u^k - g^{ik}p , где  p~ p – давление,  c~ c – скорость света,  ui~ u^i – 4-скорость,  gik~ g^{ik} – метрический тензор.

Ввиду своей простоты тензор в таком виде часто используется не только в механике, но и в общей теории относительности.

Фок вводит в рассмотрение плотность упругой энергии на единицу массы  Π~ \Pi и добавляет эту величину в тензор энергии-импульса давления: [1]  Pik=p+ρ∗Πc2uiuk−gikp,~ P^{ik} = \frac{p+ \rho^{*} \Pi } {c^2 }u^i u^k - g^{ik}p , здесь  ρ∗~ \rho^{*} обозначает ту плотность массы, которая не зависит от давления, и связана с полной инвариантной плотностью массы  ρ0~ \rho_0 соотношением:  ρ∗=ρ01+Π/c2.~ \rho^{*}= \frac{ \rho_0 } {1+\Pi /c^2 }.

Вместо этого Федосин использовал функцию сжатия  L~ L : [2]  Pik=pc2uiuk+(L−p)gik.~ P^{ik} = \frac{p} {c^2 }u^i u^k + (L-p) g^{ik}.

Известны и другие формы тензора энергии-импульса давления, отличающиеся друг от друга способом введения в тензор некоторой дополнительной к давлению скалярной функции. [3] [4] [5]

Описание движения и метрикиПравить

Стандартный подход предполагает вначале определение тензора энергии-импульса системы  Tik=ϕik+Pik+Wik,~ T^{ik}= \phi^{ik}+ P^{ik}+ W^{ik}, где  ϕik=ρ0uiuk~ \phi^{ik}= \rho_0 u^i u^k представляет тензор энергии-импульса вещества, а  Wik~ W^{ik} является тензором энергии-импульса электромагнитного поля. После этого уравнение движения с учётом давления и других полей следует из равенства нулю ковариантной производной тензора энергии-импульса системы:  −∇kTik=0.~ - \nabla_k T^{ik}=0. При этом в общей теории относительности (ОТО) учёт гравитационного поля в уравнении движения осуществляется через зависимость компонент метрического тензора от координат и времени.

Тензор  Tik~ T^{ik} используется в ОТО также для нахождения метрики из уравнения Гильберта-Эйнштейна :  Rik−12gikR+gikΛ=8πGc4Tik,~ R_{ik} - \frac{1} {2 }g_{ik}R + g_{ik} \Lambda = \frac{8 \pi G } { c^4} T_{ik}, где  Rik=Rnink~ R_{ik}={R^n}_{ink} – тензор Риччи,  R=Rikgik~ R=R_{ik}g^{ik} – скалярная кривизна,  G~ G – гравитационная постоянная.

Таким образом, тензор энергии-импульса давления изменяет метрику внутри тел.

Ковариантная теория гравитацииПравить

ОпределениеПравить

В отличие от механики сплошной среды, в ковариантной теории гравитации (КТГ) поле давления считается не скалярным, а 4-векторным полем, состоящим из скалярной и 3-векторной компонент. Поэтому в КТГ тензор энергии-импульса поля давления определяется через тензор поля давления  fik ~f_{ik} и метрический тензор  gik~ g^{ik} из принципа наименьшего действия: [6]  Pik=c24πσ(−gimfnmfnk+14gikfmrfmr),~ P^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi \sigma } \left( - g^{im} f_{nm} f^{nk}+ \frac {1} {4} g^{ik}f_{mr}f^{mr}\right) ,

где  σ~ \sigma – постоянная, имеющая своё собственное значение в каждой задаче. То, что  σ~ \sigma не определена однозначно, является следствием того факта, что давление внутри тел может быть вызвано действием любых причин и сил как внутреннего, так и внешнего характера. Поле давления рассматривается как компонента общего поля. [7]

Компоненты тензора энергии-импульса поля давленияПравить

В пределе слабого поля, когда метрика пространства-времени переходит в метрику пространства Минковского специальной теории относительности, метрический тензор  gik~ g^{ik} переходит в тензор  ηik~ \eta^{ik}, состоящий из чисел 0, 1, –1. В этом случае вид тензора энергии-импульса поля давления существенно упрощается и его можно выразить через компоненты тензора поля давления, то есть через напряжённость поля давления  C ~\mathbf{ C} и соленоидальный вектор  I ~\mathbf{I} :  Pik=|εpFxcFycFzcFxcεp−Cx2+c2Ix24πσ−CxCy+c2IxIy4πσ−CxCz+c2IxIz4πσFyc−CxCy+c2IxIy4πσεp−Cy2+c2Iy24πσ−CyCz+c2IyIz4πσFzc−CxCz+c2IxIz4πσ−CyCz+c2IyIz4πσεp−Cz2+c2Iz24πσ|.~ P^{ik} = \begin{vmatrix} \varepsilon_p & \frac {F_x}{c} & \frac {F_y}{c} & \frac {F_z}{c} \\ \frac {F_x}{c} & \varepsilon_p - \frac{C^2_x+c^2 I^2_x}{4\pi \sigma } & -\frac{C_x C_y+c^2 I_x I_y }{4\pi\sigma } & -\frac{C_x C_z+c^2 I_x I_z }{4\pi\sigma } \\ \frac {F_y}{c} & -\frac{C_x C_y+c^2 I_x I_y }{4\pi\sigma } & \varepsilon_p -\frac{C^2_y+c^2 I^2_y }{4\pi\sigma } & -\frac{C_y C_z+c^2 I_y I_z }{4\pi\sigma } \\ \frac {F_z}{c} & -\frac{C_x C_z+c^2 I_x I_z }{4\pi\sigma } & -\frac{C_y C_z+c^2 I_y I_z }{4\pi\sigma } & \varepsilon_p -\frac{C^2_z+c^2 I^2_z }{4\pi\sigma } \end{vmatrix}.

Временные компоненты тензора обозначают:

1) объёмная плотность энергии поля давления  P00=εp=18πσ(C2+c2I2).~ P^{00} = \varepsilon_p = \frac{1}{8 \pi \sigma }\left(C^2+ c^2 I^2 \right).

2) вектор плотности потока энергии поля давления  F=c24πσ[C×I].~\mathbf{F} = \frac{ c^2 }{4 \pi \sigma }[\mathbf{C}\times \mathbf{I}].

Компоненты вектора  F~\mathbf{F} входят в соответствующие компоненты тензора P01,P02,P03 P^{01}, P^{02}, P^{03}, при этом вследствие симметрии тензора по индексам P01=P10,P02=P20,P03=P30 P^{01}= P^{10}, P^{02}= P^{20}, P^{03}= P^{30}.

3) Пространственные компоненты тензора образуют 3 x 3 подматрицу, являющуюся 3-мерным тензором напряжений поля давления, взятым со знаком минус. Тензор напряжений можно записать в следующем виде:  σpq=14πσ(CpCq+c2IpIq−12δpq(C2+c2I2)),~ \sigma^{p q} = \frac {1}{4 \pi \sigma } \left( C^p C^q + c^2 I^p I^q - \frac {1}{2} \delta^{pq} (C^2 + c^2 I^2 ) \right) ,

где p,q=1,2,3,p,q =1,2,3, компоненты C1=Cx,C^1=C_x, C2=Cy,C^2=C_y, C3=Cz,C^3=C_z, I1=Ix, I^1=I_x, I2=Iy,I^2=I_y, I3=Iz,I^3=I_z, символ Кронекера δpq\delta^{pq} равен 1 при p=q,p=q, и равен нулю при p≠q.p \not=q.

Представленный тензор напряжений является конкретным выражением тензора напряжений Коши.

Трёхмерная дивергенция тензора напряжений поля давления связывает плотность силы давления и скорость изменения плотности потока энергии поля давления:  ∂qσpq=fp+1c2∂Fp∂t,~ \partial_q \sigma^{p q} = f^p +\frac {1}{c^2} \frac{ \partial F^p}{\partial t}, где  fp~ f^p обозначают компоненты трёхмерной плотности силы давления,  Fp~ F^p – компоненты вектора плотности потока энергии поля давления.

Cила давления и уравнения поля давленияПравить

Из принципа наименьшего действия следует, что 4-вектор плотности силы давления  fα~ f^\alpha может быть найден через тензор энергии-импульса поля давления, либо через произведение тензора поля давления и массового 4-тока:  fα=−∇βPαβ=fαiJi.(1)~ f^\alpha = -\nabla_\beta P^{\alpha \beta} = {f^\alpha}_{i} J^i . \qquad (1)

Соотношение (1) тесно связано с уравнениями поля давления:  ∇nfik+∇ifkn+∇kfni=0,~ \nabla_n f_{ik} + \nabla_i f_{kn} + \nabla_k f_{ni}=0,  ∇kfik=−4πσc2Ji.~\nabla_k f^{ik} = -\frac {4 \pi \sigma }{c^2} J^i .

В рамках специальной теории относительности согласно (1) для компонент плотности 4-силы давления можно записать:  fα=(C⋅Jc,f),~ f^\alpha = (\frac {\mathbf{C} \cdot \mathbf{J} }{c}, \mathbf{f} ), где  f=ρC+[J×I]~ \mathbf{f}= \rho \mathbf{C} + [\mathbf{J} \times \mathbf{I} ] – 3-вектор плотности силы давления,  ρ~\rho – плотность движущегося вещества,  J=ρv~\mathbf{J} =\rho \mathbf{v} – 3-вектор плотности массового тока,  v~\mathbf{v} – 3-вектор скорости движения элемента вещества.

В пространстве Минковского уравнения поля давления преобразуются в 4 уравнения для напряжённости поля давления  C ~\mathbf{ C} и соленоидального вектора  I ~\mathbf{I} :  ∇⋅C=4πσρ,~\nabla \cdot \mathbf{ C} = 4 \pi \sigma \rho,  ∇×I=1c2∂C∂t+4πσρvc2,~\nabla \times \mathbf{ I} = \frac {1 }{c^2}\frac{\partial \mathbf{ C}}{\partial t}+\frac {4 \pi \sigma \rho \mathbf{ v}}{c^2},  ∇⋅I=0,~\nabla \cdot \mathbf{ I} = 0,  ∇×C=−∂I∂t.~\nabla \times \mathbf{ C} = - \frac{\partial \mathbf{ I}}{\partial t}.

Уравнение для метрикиПравить

В ковариантной теории гравитации тензор энергии-импульса поля давления в соответствии с принципами метрической теории относительности является одним из тензоров, определяющих метрику внутри тел посредством уравнения для метрики: [8]  Rik−14gikR=8πGβc4(Bik+Pik+Uik+Wik),~ R_{ik} - \frac{1} {4 }g_{ik}R = \frac{8 \pi G \beta }{ c^4} \left( B_{ik}+ P_{ik}+ U_{ik}+ W_{ik} \right),

где  β~ \beta – коэффициент, подлежащий определению,  Bik~ B_{ik},  Pik~ P_{ik},  Uik~ U_{ik} и  Wik~ W_{ik} – соответственно тензоры плотности энергии-импульса поля ускорений, поля давления, гравитационного и электромагнитного полей.

Уравнение движенияПравить

Уравнение движения точечной частицы внутри или за пределами вещества может быть представлено в тензорном виде, с участием тензора энергии-импульса давления Pik P^{ik} или тензора поля давления fnk f_{nk} :  −∇k(Bik+Uik+Wik+Pik)=gin(unkJk+ΦnkJk+Fnkjk+fnkJk)=0.(2)~ - \nabla_k \left( B^{ik}+ U^{ik} +W^{ik}+ P^{ik} \right) = g^{in}\left(u_{nk} J^k + \Phi_{nk} J^k + F_{nk} j^k + f_{nk} J^k \right) =0. \qquad (2)

где  unk ~ u_{nk} – тензор ускорений,  Φnk ~ \Phi_{nk} – тензор гравитационного поля,  Fnk ~F_{nk} – тензор электромагнитного поля,  jk=ρ0quk~j^k = \rho_{0q} u^k – зарядовый 4-ток,  ρ0q~\rho_{0q} – плотность электрического заряда элемента вещества в системе его покоя,  uk~ u^k – 4-скорость.

Временная компонента уравнения (2) при  i=0~ i=0 описывает изменение энергии, а пространственная компонента при  i=1,2,3~ i=1{,}2{,}3 связывает ускорение с плотностями действующих сил.

Законы сохраненияПравить

Временную компоненту в (2) можно рассматривать как локальный закон сохранения энергии и потока энергии. В пределе специальной теории относительности, когда ковариантная производная становится 4-градиентом, а символы Кристоффеля обращаются в нуль, этот закон сохранения приобретает простой вид: [9] [10]  ∇⋅(K+H+P+F)=−∂(B00+U00+W00+P00)∂t,~ \nabla \cdot (\mathbf{ K }+ \mathbf{H}+\mathbf{P}+ \mathbf{F} ) = -\frac{\partial (B^{00}+U^{00}+W^{00}+P^{00} )}{\partial t},

где  K~ \mathbf{K} – вектор плотности потока энергии поля ускорений,  H~ \mathbf{H} – вектор Хевисайда,  P~ \mathbf{P} – вектор Пойнтинга,  F~ \mathbf{F} – вектор плотности потока энергии поля давления.

Согласно данному закону, работа поля по ускорению масс и зарядов компенсируется работой вещества по созданию поля. В результате изменение во времени суммарной энергии в некотором объёме возможно только за счёт втекания в этот объём потоков энергии.

Интегральная форма закона сохранения энергии и потока энергии получается путём интегрирования уравнения (2) по всему 4-объёму, чтобы учесть энергию и поток энергии гравитационного и электромагнитного полей, простирающихся далеко за пределы рассматриваемой физической системы. При интегрировании (2) применяется формула Гаусса-Остроградского, которая заменяет интегрирование дивергенции суммы тензоров по 4-объёму на интегрирование суммы временных компонент тензоров по 3-объёму. В результате в лоренцевых координатах получается интегральный вектор, равный нулю:  Qi=∫(Bi0+Ui0+Wi0+Pi0)dV.~ \mathbb{Q}^i= \int{ \left( B^{i0}+ U^{i0} +W^{i0}+P^{i0} \right) dV }.

Равенство нулю интегрального вектора позволяет объяснить проблему 4/3, согласно которой масса-энергия поля в потоке энергии поля движущейся системы в 4/3 больше, чем в энергии поля неподвижной системы. С другой стороны, согласно [10] обобщённая теорема Пойнтинга и интегральный вектор должны рассматриваться по разному в веществе и за его пределами. В результате возникновение проблемы 4/3 связывается с тем, что временные компоненты тензоров энергии-импульса не образуют 4-векторы и потому принципиально не могут задавать одну и ту же массу в энергии и в потоке энергии полей. [11]

См. такжеПравить

СсылкиПравить

  1. ↑ Фок В.А. Теория пространства, времени и гравитации. 2-е издание. – М.: Физматгиз, 1961. – 568 с.
  2. ↑ Федосин С. Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв. ISBN 5-8131-0012-1.
  3. ↑ Herglotz G. // Ann. d. Phys. 1911, Bd 36, S. 493.
  4. ↑ Ignatowsky W.V. // Phys. Ztschr. 1911, Bd 12, S. 441.
  5. ↑ Lamla E. // Berl. Diss., 1911; Ann. d. Phys. 1912, Bd 37, S. 772.
  6. ↑ Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889304; статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.
  7. ↑ Fedosin S.G. Two components of the macroscopic general field. Reports in Advances of Physical Sciences, Vol. 1, No. 2, 1750002, 9 pages (2017). http://dx.doi.org/10.1142/S2424942417500025. / Две компоненты макроскопического общего поля.
  8. ↑ Fedosin S.G. Lagrangian formalism in the theory of relativistic vector fields. International Journal of Modern Physics A, (2024). https://doi.org/10.1142/S0217751X2450163X.
  9. ↑ Fedosin S.G. The Integral Energy-Momentum 4-Vector and Analysis of 4/3 Problem Based on the Pressure Field and Acceleration Field. American Journal of Modern Physics. Vol. 3, No. 4, 2014, pp. 152-167. http://dx.doi.org/10.11648/j.ajmp.20140304.12 ; статья на русском языке: Интегральный 4-вектор энергии-импульса и анализ проблемы 4/3 на основе поля давления и поля ускорений.
  10. ↑ а б Fedosin S.G. The generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem. International Frontier Science Letters, Vol. 14, pp. 19-40 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/IFSL.14.19. // Обобщённая теорема Пойнтинга для общего поля и решение проблемы 4/3.
  11. ↑ Fedosin S.G. What should we understand by the four-momentum of physical system? Physica Scripta, Vol. 99, No. 5, 055034 (2024). https://doi.org/10.1088/1402-4896/ad3b45. // Что мы должны понимать под 4-импульсом физической системы?

Внешние ссылкиПравить

Источник — https://traditio.wiki/w/index.php?title=Тензор_энергии-импульса_поля_давления&oldid=882572