Принцип суммирования энергий

Принцип суммирования энергий произвольной системы задаёт порядок включения различных видов энергии, связанных с системой, в энергетические функции, описывающие состояние системы. Наиболее часто суммирование энергий применяется в теоретической физике, где используется принцип наименьшего действия, вычисляются полные энергии систем и учитывается закон сохранения энергии. Принцип суммирования энергий является с одной стороны методологическим принципом, а с другой стороны — следствием сложности систем, состоящих из вещества в различных состояниях, и имеющихся в данных системах полей. Сложность увеличивается за счёт движения вещества и поля, при переходах вещества из одного фазового состояния в другое, при трансформации энергий полей и вещества друг в друга. Энергетические функции имеют разный смысл в зависимости от их предназначения. Для оценки изменения полной энергии системы необходимо учитывать, что одни компоненты увеличивают энергию, а другие ей уменьшают, что приводит к разным знакам перед компонентами энергии. Если же энергетические функции используются для нахождения уравнений движения, то знаки перед компонентами энергии выбираются из условия соответствия уравнениям движения вещества и поля. В результате для каждой энергетической функции используется свой собственный порядок суммирования энергий.

Примеры

Термодинамические потенциалы

Для вычисления энергетических функций в термодинамике используют такие физические величины, как давление $~P$, объём $~V$, абсолютная температура $~T$, теплоёмкость $~C$, масса $~M$, количество вещества $~N$. Эти величины достаточно хорошо измеряются, в отличие от энтропии $~S$, химического потенциала $~\mu$, количества теплоты $~Q$, которыми обладает вещество. Внутренняя энергия $~U$ и её приращение $~dU$ для многофазного вещества в квазистатическом процессе выражаются формулами: $$~U= \int ( T dS - P dV + \sum_i \mu_i dN_i + \delta A'),$$ $$~dU= \delta Q - \delta A + \sum_i \mu_i dN_i + \delta A' ,$$

где $~ \delta Q= T dS$ — приращение количества теплоты, $~ \delta A= P dV$ — работа, выполняемая системой, $~ i$ — количество фаз вещества, $~ \delta A'$ — работа, выполняемая над системой.

Кроме внутренней энергии, в термодинамике имеются и другие связанные с ней энергетические функции, например, свободная энергия Гельмгольца: $$~ \mathcal F = U - TS.$$

Соответственно, приращение свободной энергии Гельмгольца равно: $$~d \mathcal F = - S dT - \delta A + \sum_i \mu_i dN_i + \delta A' .$$

Энтальпия и её приращение имеют вид: $$~H=U+PV,$$ $$~dH= \delta Q + V dP + \sum_i \mu_i dN_i + \delta A' .$$

Энергия Гиббса и её приращение: $$~G=U+PV-TS,$$ $$~dG= -S dT + V dP + \sum_i \mu_i dN_i + \delta A' .$$

Большой термодинамический потенциал и его приращение: $$~\Omega = U - TS - \sum_i \mu_i N_i ,$$ $$~d \Omega = - S dT - \delta A - \sum_i N_i d\mu_i + \delta A' .$$

Связанная энергия и её приращение: $$~E_b = U + PV - \sum_i \mu_i N_i ,$$ $$~d E_b = \delta Q +V dP - \sum_i N_i d\mu_i + \delta A' .$$

Возможны ещё два термодинамических потенциала и их приращения: $$~P_1 = U - \sum_i \mu_i N_i ,$$ $$~d P_1 = \delta Q - \delta A - \sum_i N_i d\mu_i + \delta A' ,$$ $$~P_2 = U - TS + PV - \sum_i \mu_i N_i ,$$ $$~d P_2 = - S dT +V dP - \sum_i N_i d\mu_i + \delta A' .$$

Порядок сложения компонент энергии оказывается такой, чтобы получался соответствующий термодинамический потенциал, имеющий свой собственный смысл. Так, внутренняя энергия отражает закон сохранения энергии, а изменение свободной энергии Гельмгольца при изотермическом процессе определяется только разностью работы, выполняемой как системой над окружением, так и окружением над системой.

Многие соотношения термодинамики хорошо выполняются не только для газов, но и для жидкостей и вещества в твёрдом состоянии.

Функция Лагранжа

Одним из путей нахождения уравнений движения систем и законов их существования является варьирование функционала действия, то есть варьирование по различным переменным интеграла по времени от функции Лагранжа, с целью определения экстремальных и наиболее вероятных состояний. Функция Лагранжа $~ L$ состоит из ряда компонент энергии, которые в механике входят либо в кинетическую энергию $~ T$, либо в потенциальную энергию $~ V$. Для нахождения функции Лагранжа в механике записывают разность кинетической и потенциальной энергий: $$L = T - V .$$

Обычно предполагается, что функция Лагранжа зависит только от времени, координат и скоростей, но не от более высоких производных по времени.

Так как вещество в каждой механической системе является источником собственных полей, то в выражение для функции Лагранжа в общем случае добавляются члены, связанные с энергиями этих полей. В специальной теории относительности функция Лагранжа одной частицы с массой $~ M$ и зарядом $~ q$ в электромагнитном поле имеет вид: $$~L = -Mc \frac {ds}{dt}-q \frac {A_\mu dx^\mu }{dt}- \frac { c \varepsilon_0}{4} \int {F_{\mu \nu} F^{\mu \nu } \frac {dx^4}{dt}} =$$ $= - Mc^2 \sqrt {1-v^2/c^2} -q(\varphi- \mathbf {A \cdot v}) + \frac {\varepsilon_0}{2} \int {(E^2 -c^2 B^2)} dx^3$,

где $~c$ — скорость света, $~ds$ — интервал, $~ A_\mu = \left( \frac {\varphi }{c},-\mathbf {A}\right)$ — электромагнитный 4-потенциал с нижним (ковариантным) индексом, $~ dx^\mu$ — 4-вектор смещения частицы, $~ \varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $~ F_{\mu \nu}$ — тензор электромагнитного поля, $~ dx^4 =c dtdx^3 =c dtdx{}dy{}dz$ — элемент 4-объёма, $~ \mathbf {v}$ — скорость движения частицы, $~ \varphi$ и $~ \mathbf {A}$ — скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля соответственно, $~ E$ и $~B$ — напряжённость электрического поля и магнитная индукция соответственно.

В данном случае в функцию Лагранжа входят три компоненты с размерностью энергии, связанные с релятивистской энергией частицы, с энергией частицы в электромагнитном поле, и с энергией самого электромагнитного поля. Выражения для компонент энергии и знаки перед ними выбраны таким образом, чтобы в результате варьирования функционала действия получались уравнения движения частицы в поле и уравнения Максвелла для напряжённостей поля.

Аналогично записывается функция Лагранжа для одной частицы в гравитационном поле в лоренц-инвариантной теории гравитации: $$~L = -Mc \frac {ds}{dt}- M \frac {D_\mu dx^\mu }{dt}+ \frac {c }{16 \pi G} \int {\Phi_{\mu \nu } \Phi^{\mu \nu } \frac {dx^4}{dt}} =$$ $= - Mc^2 \sqrt {1-v^2/c^2} - M (\psi- \mathbf {D \cdot v}) - \frac {1}{8 \pi G} \int {(\Gamma^2 -c^2 \Omega^2)} dx^3$,

где $~ D_\mu = \left( \frac {\psi }{ c}, -\mathbf{D}\right)$ — гравитационный 4-потенциал с нижним (ковариантным) индексом, $~ G$ — гравитационная постоянная, $~ \Phi_{\mu \nu}$ — тензор гравитационного поля, $~ \psi$ и $~ \mathbf {D}$ — скалярный и векторный потенциалы гравитационного поля соответственно, $~ \Gamma$ и $~\Omega$ — напряжённость гравитационного поля и поле кручения соответственно, а масса $~ M$ не только учитывает сумму масс нуклонов вещества, но и вклад от массы-энергии всех полей, взаимодействующих с веществом и изменяющих величину массы частицы.

После варьирования функционала действия получаются уравнения движения частицы в гравитационном поле и максвеллоподобные гравитационные уравнения для гравитационного ускорения и поля кручения. Для того, чтобы лагранжиан можно было использовать в любых системах отсчёта, его следует записать в ковариантном виде. В искривлённом пространстве-времени интервал можно выразить через метрический тензор $~ g_{\mu\nu}$: $$~ds = \sqrt {g_{\mu\nu}\ dx^{\mu} \ dx^{\nu}},$$

а вместо элемента 4-объёма $~ dx^4$ при интегрировании по 4-объёму следует использовать произведение $~ \sqrt {-g}dx^4$, где $~ g$ есть детерминант метрического тензора.

Функция Гамильтона

В классической механике функция Гамильтона или гамильтониан системы частиц может быть определён через лагранжиан: $~H= \sum_i {\vec p_i} \cdot \dot {\vec q_i} - L$,

где $~\vec p_i$ — обобщённый импульс i-ой частицы, а $~\dot {\vec q_i}$ — её обобщённая скорость.

Для консервативных систем, в которых сохраняется энергия, функция Гамильтона как функция от обобщённых координат и импульсов оказывается равной полной энергии $~ E$ системы и имеет следующий вид: $$~ H=E = T + V .$$

В этом случае видно, что различие между функциями Лагранжа и Гамильтона заключено в разных знаках перед потенциальной энергией $~ V$ системы.

Инвариантная энергия

Инвариантная энергия $~E_0$ тела определяется как релятивистская энергия, измеренная неподвижным относительно центра импульсов тела наблюдателем. Стандартный подход предполагает суммирование всех видов энергии тела: $$~E_0= E_m + E_p + E_T + U +W+ E_L ,$$

где $~E_m$ — энергия покоя отдельных частиц вещества, $~E_p$ — энергия давления (сжатия) вещества, понимаемая как потенциальная энергия межатомных взаимодействий, $~E_T$ — тепловая энергия, дающая в сумме с $~E_p$ внутреннюю энергию, $~ U$ — полная гравитационная энергия тела, включающая энергию собственного поля в веществе тела и за его пределами, и гравитационную энергию в поле от внешних источников, $~ W$ — полная электромагнитная энергия тела, $~ E_L$ — энергия излучения, взаимодействующего с веществом тела.

В общей теории относительности это приводит к тому, что нагретое тело должно увеличивать свою массу, а масса гравитационно-связанного тела должна быть меньше, чем суммарная масса частиц вещества, из которого образуется данное тело.

Существует альтернативная точка зрения, согласно которой компоненты энергии входят в равенство для инвариантной энергии с отрицательными знаками: $$~E_0= E_m - E_p - E_T - U -W- E_L .$$

Как следствие, нагретые тела должны иметь меньшую массу, чем холодные, а масса звезды должна быть больше массы рассеянного вещества, из которого она образовалась в ходе гравитационного коллапса.

Третий подход связан с переосмыслением сущности и порядка суммирования энергий в ковариантной теории гравитации (КТГ). Способ вычисления инвариантной энергии существенно зависит от того, каким образом учитывается в энергии скалярная кривизна и космологическая постоянная. В частности, космологическая постоянная может калиброваться таким образом, чтобы исключить скалярную кривизну и тем самым найти однозначное выражение для энергии. Другое нововведение заключается в том, что вместо стандартного тензора энергии-импульса вещества с учётом скалярного давления в рассмотрение вводятся два новых векторных поля — поле ускорений и поле давления, с соответствующими тензорами энергии-импульса. Если добавить сюда электромагнитное и гравитационное поля, получаются 4 поля, симметрично входящие в лагранжиан и в энергию. При вычислении инвариантной энергии для сферического тела в равновесии оказывается, что компоненты энергии всех четырёх полей взаимно сокращаются. Поэтому вклад в инвариантную энергию системы делают лишь потенциальные энергии частиц, находящихся под действием полей. Эти энергии также частично сокращаются, и для инвариантной энергии можно записать: $$~E_{0}= Mc^2=m_b c^2 - \frac {3G m^2_b}{10a}+ \frac {3 q^2_b}{40 \pi \varepsilon_0 a}.$$ Соотношение для масс выглядит следующим образом: $~m' = M < m_ b = m_g,$

где масса $~ m_b$ и заряд $~ q_b$ вычисляются интегрированием соответствующей плотности по объёму тела радиуса $~ a$, масса системы $~ M$ равна суммарной массе частиц $~ m'$, масса $~ m_b$ равна гравитационной массе $~ m_g$, а превышение $~ m_b$ над $~ M$ происходит за счёт того, что частицы внутри тела двигаются и находятся под давлением в гравитационном и электромагнитном полях.

Более точный результат находится в статьях, где для энергии и масс получается следующее: $$~E_{0}= Mc^2 \approx m_b c^2 - \frac {1}{10\gamma_c } \left( 7- \frac {27}{2 \sqrt {14}} \right) \left( \frac {G m^2_b}{a}- \frac {q^2_b}{4 \pi \varepsilon_0 a} \right) .$$ $$~m' < M < m < m_b = m_g .$$

Здесь калибровочная масса $~m'$ связана с космологической постоянной и представляет собой массу-энергию частиц вещества в 4-потенциалах полей системы; $~M$ есть инертная масса системы; вспомогательная масса $~m$ равняется произведению плотности массы частиц на объём вещества системы; масса $~m_b$ есть сумма инвариантных масс (масс покоя) частиц системы, равная по величине гравитационной массе $~m_g$ системы.

Релятивистская энергия

В отличие от инвариантной энергии, релятивистская энергия в общем случае содержит дополнительные компоненты энергии, связанные с движением системы как целого. В результате в формулах для энергии может быть определена зависимость от скорости, например от скорости движения центра импульсов системы $~v$. Если в пространстве Минковского известна инвариантная энергия $~E_0$, то релятивистская энергия в произвольной инерциальной системе отчёта находится с помощью преобразования Лоренца по формуле: $$~E= \frac {E_0} {\sqrt {1-\frac {v^2}{c^2}} }.$$

Для непрерывно распределённого вещества в искривлённом пространстве-времени выражение для энергии физической системы имеет следующий вид: $$~E=\int \left[ \mathbf v \cdot \frac {\partial}{\partial \mathbf v } \left( \frac {\mathcal {L}_p }{ u^0} \right) u^0 - \mathcal {L}_p \right] \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 - \int \mathcal {L}_f \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 +\sum_{n=1}^N \left( \mathbf v_n \cdot \frac {\partial L_f}{\partial \mathbf v_n } \right) .$$

В данном выражении лагранжиан системы $~\mathcal {L}$ представлен в виде суммы двух частей $~\mathcal {L} = \mathcal {L}_p + \mathcal {L}_f$, где $~\mathcal {L}_p$ зависит от 4-потенциалов и 4-токов, а $~\mathcal {L}_f$ содержит тензорные инварианты полей. Величина $~L_f = \int \mathcal {L}_f \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3$ есть та часть функции Лагранжа, которая получается путём интегрирования $~\mathcal {L}_f$ по движущемуся объёму физической системы. В веществе системы скорость частиц есть $~\mathbf v$, величина $~ u^0$ есть временная компонента 4-скорости этих частиц, $~ g$ есть детерминант метрического тензора. При вычислении вклада полей частиц в энергию системы необходимо разделить вещество на $~ N$ частиц или элементов вещества точечных размеров. Каждая такая частица имеет некоторую скорость $~\mathbf v_n$, при этом $~L_f$ и энергия системы $~E$ в общем случае зависят от скоростей $~\mathbf v_n$.

Для четырёх векторных полей энергия выражается через скалярные потенциалы полей $~ \varphi , \psi , \vartheta , \wp$, через векторные потенциалы полей $~ \mathbf A, \mathbf D, \mathbf U , \mathbf \Pi$, и через тензоры полей $~ F_{\mu \nu}, \Phi_{\mu \nu}, u_{\mu \nu}, f_{\mu \nu}$: $$~E= \frac {1}{c} \int \operatorname{\big[} \rho_{0q} \varphi +\rho_0 \psi +\rho_0 \vartheta +\rho_0 \wp - \mathbf v \cdot \frac {\partial}{\partial \mathbf v } \left( \rho_{0q} \varphi +\rho_0 \psi +\rho_0 \vartheta +\rho_0 \wp \right) +$$ $$~+v^2 \frac {\partial}{\partial \mathbf v } \left( \rho_{0q} \mathbf A +\rho_0 \mathbf D + \rho_0 \mathbf U + \rho_0 \mathbf \Pi \right) \operatorname{\big]} u^0 \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 +$$ $$~+\int \left( \frac {1}{4 \mu_0} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} - \frac {c^2}{16 \pi G} \Phi_{\mu \nu} \Phi^{\mu \nu} + \frac {c^2}{16 \pi \eta} u_{\mu \nu} u^{\mu \nu}+ \frac {c^2}{16 \pi \sigma} f_{\mu \nu} f^{\mu \nu} \right) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 +$$ $$~+\sum_{n=1}^N \left( \mathbf v_n \cdot \frac {\partial L_f}{\partial \mathbf v_n } \right).$$

Уравнения для определения метрики

Уравнения Эйнштейна-Гильберта

Уравнения Эйнштейна-Гильберта в общей теории относительности (ОТО) предназначены для поиска метрики в искривлённом пространстве-времени и записываются в тензорном виде: $$R_{\mu\nu } - {R \over 2} g_{\mu\nu } + \Lambda g_{\mu\nu } = {8 \pi \beta G \over c^4} T_{\mu\nu },$$

где $~G$ — гравитационная постоянная Ньютона, $~R_{\mu\nu }$ — тензор Риччи, $~R$ — скалярная кривизна, $~\Lambda$ — космологическая постоянная, а $~T_{\mu\nu }$ представляет собой тензор энергии-импульса с размерностью объёмной плотности энергии,.

В ОТО $~\beta=1$ и в состав тензора $~T_{\mu\nu }$ как правило входят тензор энергии-импульса вещества $~ \phi_{\mu\nu }$ и тензор энергии-импульса электромагнитного поля $~ W_{\mu\nu }$: $$~ T_{\mu\nu} = \phi_{\mu\nu }+ W_{\mu\nu } .$$

Отсутствие тензора энергии-импульса гравитационного поля как источника, влияющего на метрику, связано в ОТО с тем, что гравитационное поле отождествляется с геометрическим полем в виде метрического поля, причём это поле не порождает само себя (отсутствие самодействия метрического поля).

Уравнения КТГ

В ковариантной теории гравитации (КТГ) уравнения для метрики имеют следующий вид: $$R_{\mu\nu } - {R \over 4} g_{\mu\nu } = {8 \pi \beta G \over c^4} T_{\mu\nu },$$

где коэффициент $~\beta$ находится из уравнений движения частиц и волн в каждой заданной форме метрики, а тензор $~T_{\mu\nu }$ является суммой четырёх тензоров: $$~ T_{\mu\nu} = B_{\mu\nu }+ W_{\mu\nu } + U_{\mu\nu } + P_{\mu\nu },$$

где $~ U_{\mu\nu }$ — тензор энергии-импульса гравитационного поля, $~ B_{\mu\nu }$ — тензор энергии-импульса поля ускорений, и $~ P_{\mu\nu }$ есть тензор энергии-импульса поля давления.

Это означает, что в КТГ гравитационное поле является физическим полем и наряду с электромагнитным полем, с полем ускорений и полем давления, является источником, формирующим метрику пространства-времени.

В случае непрерывно распределённого вещества для космологической постоянной получается равенство: $$~ \Lambda = {16 \pi \beta G \over c^4} (D_\kappa J^\kappa + A_\kappa j^\kappa + U_\kappa J^\kappa + \pi_\kappa J^\kappa ),$$

где $~ J^\kappa$ и $~ j ^\kappa$ являются массовым и электромагнитным 4-током, соответственно, $~ U_\kappa$ и $~ \pi_\kappa$ — 4-потенциалы поля ускорений и поля давления.

Ковариантная производная левой части уравнения для метрики в силу калибровки космологической постоянной и скалярной кривизны даёт нуль. Это позволяет записать уравнение движения вещества как равенство нулю ковариантной производной от суммы тензоров в правой части, взятых с контравариантными индексами: $$~ \nabla_\nu ( B^{\mu\nu }+ W^{\mu\nu } + U^{\mu\nu } + P^{\mu\nu } )=0 .$$

Общее поле

В концепции общего поля предполагается, что компонентами этого поля являются все векторные поля, связанные с веществом. 4-потенциал общего поля $~ s_\mu$ равен сумме 4-потенциалов частных полей. В результате сумма членов в объёмной плотности лагранжиана, ответственных за энергию вещества в различных полях, с точностью до знака равна просто произведению $~ s_\mu J^\mu$. Что касается энергии самих частных полей, то эти энергии включаются в лагранжиан через тензор общего поля $~ s_{\mu \nu}$, получаемый как 4-ротор от 4-потенциала общего поля. Для функции Лагранжа получается соотношение: $$~L =\int (kcR-2kc \Lambda - s_\mu J^\mu - \frac {c^2}{16 \pi \varpi} s_{\mu\nu}s^{\mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3,$$

где $~k$ и $~ \varpi$ — постоянные, подлежащие определению, $~ \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3$ — инвариантный 3-объём, выражаемый через произведение $~ dx^1 dx^2 dx^3$ дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень $~\sqrt {-g}$ из детерминанта $~g$ метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Релятивистская энергия системы равна: $$~E = \int {( s_0 J^0 + \frac {c^2 }{16 \pi \varpi } s_{ \mu\nu} s^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3},$$

где $~ s_0$ и $~ J^0$ обозначают временные компоненты 4-векторов $~ s_{\mu }$ и $~ J^{\mu }$.

Особенностью выражения для энергии является то, что в нём энергия общего поля в тензорном произведении $~ s_{ \mu\nu} s^{ \mu\nu}$ включает в себя не только энергии частных полей, но и перекрёстные члены в виде суммы произведений напряжённостей частных полей в различных сочетаниях. Можно сказать, что энергия частиц в частных полях входит в энергию системы линейно, а энергия самих полей — приблизительно квадратичным образом.

См. также

• Принцип наименьшего действия
• Инвариантная энергия
• Теорема энергии поля

Внешние ссылки

• Principle of energies summation